專題21三角形一．選擇題（共10小題）1．（2021?黃州區(qū)校級自主招生）直線a∥b，A、B分別在直線a、b上，△ABC為等邊三角形，點C在直線a、b之間，∠1＝10°，則∠2＝（）A．30° B．40° C．50° D．70°2．（2020?浙江自主招生）已知△ABC的三條邊長分別為3，4，6，在△ABC所在平面內畫一條直線，將△ABC分割成兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（）A．5條 B．6條 C．7條 D．8條3．（2020?西安自主招生）已知等腰三角形一個外角是110°，則它的底角的度數(shù)為（）A．110° B．70° C．55° D．70°或55°4．（2019?柯橋區(qū)自主招生）平面上任意一點到邊長為的等邊三角形三頂點距離之和不可能的是（）A．3 B．6 C．4 D．85．（2019?霞山區(qū)校級自主招生）如圖，△ABC中，AD為BC邊上中線，DM，DN分別∠ADB，∠ADC的角平分線，試比較BM+CN與MN的大小關系（）A．BM+CN＝MN B．BM+CN＜MN C．BM+CN＞MN D．無法確定6．（2019?漢陽區(qū)校級自主招生）如圖，已知等邊△ABC外有一點P，P落在∠BAC內，設點P到BC、CA、AB三邊的距離分別為h1，h2，h3且滿足h2+h3﹣h1＝18，那么等邊△ABC的面積為（）A． B． C． D．7．（2019?順慶區(qū)校級自主招生）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，直線將△ABC分成兩個三角形，如果其中一個三角形是等腰三角形，這樣的直線有（）條．A．5 B．7 C．9 D．108．（2019?武侯區(qū)校級自主招生）若一個三角形的三邊和為40，且各邊長均為整數(shù)，則符合條件的三角形的個數(shù)為（）A．31個 B．32個 C．33個 D．34個9．（2019?西湖區(qū)校級自主招生）已知a，b，c是△ABC的三條邊長，則（a﹣b）2﹣c2的值是（）A．正數(shù) B．0 C．負數(shù) D．無法確定10．（2019?錦江區(qū)校級自主招生）已知銳角三角形的邊長是2，3，x，那么第三邊x的取值范圍是（）A．1＜x＜ B． C． D．二．填空題（共12小題）11．（2021秋?余杭區(qū)月考）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點A落在△ABC外的A'處，折痕為DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，則α，β，γ三者之間的等量關系是．12．（2020?西安自主招生）如圖：已知∠BAD＝∠DAC＝9°，AD⊥AE，且AB+AC＝BE．則∠B＝．13．（2020?浙江自主招生）在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，AD為△ABC的中線，則∠ADC＝．14．（2020?浙江自主招生）設銳角△ABC的邊BC上有一點D，使得AD把△ABC分成兩個等腰三角形，試求△ABC的最小內角的取值范圍為．15．（2020?溫江區(qū)校級自主招生）如圖，若△OAC≌△OBD，且∠O＝68°，∠C＝20°，則∠OBD＝°．16．（2019?和平區(qū)校級自主招生）把3，6，10，15，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為用這些數(shù)目的點可以排成正三角形，如圖所示，則第6個三角形數(shù)是．17．（2019?徐匯區(qū)校級自主招生）求三邊為整數(shù)，且最大邊小于16的三角形個數(shù)為個．18．（2019?寶山區(qū)校級自主招生）設△ABC的三邊a，b，c均為正整數(shù)，且a+b+c＝40，當乘積abc最大時，△ABC的面積為．19．（2018?武昌區(qū)校級自主招生）已知等腰三角形的兩邊長分別為a、b，且a、b滿足+（2a+3b﹣13）2＝0，則此等腰三角形的周長為．20．（2018?市北區(qū)校級自主招生）如圖，第（1）個多邊形由正三角形“擴展”而來，邊數(shù)記為a3，第（2）個多邊形由正方形“擴展”而來，邊數(shù)記為a4，…，依此類推，由正n邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)記為an（n≥3）．當an＝132時，n的值為．21．（2018?武侯區(qū)校級自主招生）如圖，設△ABC和△CDE都是等邊三角形，且∠EBD＝62°，則∠AEB的度數(shù)是．22．（2018?涪城區(qū)校級自主招生）如圖，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，若BF＝2，ED＝3，GC＝4，則△ABC的周長為．三．解答題（共6小題）23．（2017?渝中區(qū)校級自主招生）如圖1，在等邊△ABC中，AE⊥BC于點E，點D是AC的中點．延長AC至點P，使得DP＝AE．過點P作BC延長線的垂線，垂足為M，連接DM，過點D作DQ⊥DM交AE于點Q．（1）求證：QE＝CM；（2）如圖2，連接QM，與AC交于點F，請猜想QF與AB之間的數(shù)量關系，并說明理由．24．（2018?通遼）如圖，△ABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于F，且AF＝CD，連接CF．（1）求證：△AEF≌△DEB；（2）若AB＝AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論．25．（2020?沙坪壩區(qū)自主招生）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于點D，點E是AB的中點，連接DE．（1）求證：△ABD是等腰三角形；（2）求∠BDE的度數(shù)．26．（2020?南安市校級自主招生）如圖，已知AB∥CF，D是AB上一點，DF交AC于點E，若AB＝BD+CF，求證：△ADE≌△CFE．27．（2019?南岸區(qū)自主招生）如圖，在△ABC中，AB＝BC，兩條高AD，BE交于點P過點E作EG⊥AB，垂足為G，交AD于點F，過點F作FH∥AB，交BC于點H，交BE交于點Q，連接DE．（1）若AD＝12，CD＝5，求DE的長．（2）若∠ABC＝45°，求證：BE＝（1+）BQ．28．（2018?即墨區(qū)自主招生）如圖所示，在四邊形ABCD中，AC與BD交于O，AB＝AD，CB＝CD，∠BCD＝45°，BE⊥CD于E，BE與AC交于F．（1）求證：CF＝2BO；（2）若DE＝1，求CF?FO的值．專題21三角形參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．【解答】解：作CE∥a．∵a∥b，∴CE∥b，∴∠2＝∠ACE，∠1＝∠ECB，∵△ACB是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠1+∠2＝60°，∵∠1＝10°，∴∠2＝50°，故選：C．2．【解答】解：如圖所示：當BC1＝AC1，AC＝CC2，AB＝BC3，AC4＝CC4，AB＝AC5，AB＝AC6，BC7＝CC7時都能得到符合題意的等腰三角形．故選：C．3．【解答】解：①當110°外角是底角的外角時，底角為：180°﹣110°＝70°，②當110°外角是頂角的外角時，頂角為：180°﹣110°＝70°，則底角為：（180°﹣70°）×＝55°，∴底角為70°或55°．故選：D．4．【解答】解：如圖，當點P為等邊△ABC的中心時，PA+PB+PC＝6最小，將△APC繞點A逆時針旋轉60°得到△ADE，連接PD，∵AP＝AD，∠PAD＝60°，∴△APD是等邊三角形，∴∠APD＝∠ADP＝60°，PD＝AP，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝2，∵點P為等邊△ABC的中心，∴PA＝PB＝PC，∴△PAB≌△PBC≌△PCA（SSS），∴∠APB＝∠APC＝120°，由旋轉得：∠ADE＝∠APC＝120°，∴∠APD+∠APB＝180°，∠ADP+∠ADP＝180°，∴PA+PB+PC＝BP+PD+DE＝BE，即此時PA+PB+PC最小，∵∠ABP＝30°，∠BAC＝60°，∴∠AHB＝90°，∴AH＝AC＝，∴BH＝AH?tan∠BAC＝?tan60°＝3，∵AE＝AC＝AB＝2，AH⊥BE，∴BE＝2BH＝6，在平面內任取一點P′，連接P′A，P′B，P′C，將△P′AC繞點A逆時針旋轉60°得到△AD′E，連接P′D′，∵BP′，P′D′，D′E不在同一條直線上，∴BP′+P′D′+D′E＞PA+PB+PC＝6，∵（3）2＝27，62＝36，27＜36，∴3＜6，故選：A．5．【解答】解：延長ND至P，使DP＝ND，連接MP、BP，如圖：∵點D為BC的中點，∴BD＝CD，又∵∠BDP＝∠CDN，∴△BDP≌△CDN（SAS），∴BP＝CN，∵DM，DN分別∠ADB，∠ADC的角平分線，∠ADB+ADC＝180°，∴∠ADM+∠ADN＝×180°＝90°，∴MD⊥PN，∵DP＝DN，∴MN＝MP，∵BM+BP＞MP，∴BM+CN＞MN，故選：C．6．【解答】解：設等邊△ABC的邊長為a，連接PA、PB、PC，則S△PAB+S△PAC﹣S△PBC＝S△ABC，從而ah3+ah2﹣ah1＝a2，即a（h3+h2﹣h1）＝a2，∵（h3+h2﹣h1）＝18，∴a＝12，∴S△ABC＝a2＝108．故選：C．7．【解答】解：如圖：∴最多畫9條，故選：C．8．【解答】解：根據題意得三角形的三邊都小于20，設最小的兩邊為x≤y≤19，x+y＞20當x＝2時，y＝19，當x＝3時，y＝18，當x＝4時，y＝17，18，當x＝5時，y＝16，17，當x＝6時，y＝15，16，17，當x＝7時，y＝14，15，16，當x＝8時，y＝13，14，15，16，當x＝9時，y＝12，13，14，15，當x＝10時，y＝11，12，13，14，15，當x＝11時，y＝11，12，13，14，當x＝12時，y＝12，13，14，當x＝13時，y＝13，符合條件的三角形的個數(shù)為1+1+2+2+3+3+4+4+5+4+3+1＝33，故選：C．9．【解答】解：∵（a﹣b）2﹣c2＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），∵a+c＞b，b+c＞a，∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，∴（a﹣b）2﹣c2＜0．故選：C．10．【解答】解：首先要能組成三角形，易得1＜x＜5下面求該三角形為直角三角形的邊長情況（此為臨界情況），顯然長度為2的邊對應的角必為銳角（2＜3，短邊對小角）則只要考慮3或者x為斜邊的情況．3為斜邊時，由勾股定理，22+x2＝32，得x＝√5作出圖形，固定2邊，旋轉3邊易知當1＜x＜√5時，該三角形是以3為最大邊的鈍角三角形；x為斜邊時，由勾股定理，22+32＝x2，得x＝√13，同樣作圖可得當√13＜x＜5時，該三角形是以x為最大邊的鈍角三角形．綜上可知，當√5＜x＜√13時，原三角形為銳角三角形．故選：B．二．填空題（共12小題）11．【解答】解：由折疊得：∠A＝∠A'，∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，故答案為：γ＝2α+β．12．【解答】解：延長BA到F，使AF＝AC，連接EF，如圖所示：∵AB+AC＝BE，∴AB+AF＝BE，即BF＝BE，∴∠F＝∠BEF＝，∵∠BAD＝∠DAC＝9°，AD⊥AE，即∠DAE＝90°，∴∠FAE＝180°﹣（∠BAD+∠DAE）＝180°﹣（9°+90°）＝81°，∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝90°﹣9°＝81°，∴∠FAE＝∠CAE，在△AFE和△ACE中，∵，∴△AFE≌△ACE（SAS），∴∠F＝∠ACE，又∵∠ACE為△ABC的外角，∴∠ACE＝∠B+∠BAC＝∠B+18°，∴∠F＝∠B+18°，∴∠B+18°＝，則∠B＝48°．故答案為：48°13．【解答】解：過C作CE⊥AB于點E，則有∠AEC＝∠BEC＝90°，∵∠CAB＝45°，∠B＝30°，∴∠ACE＝∠CAB＝45°，∠BCE＝60°，∴AE＝CE，∵AD為三角形的中線，∴BD＝CD＝DE＝BC，∴∠BED＝30°，∴△CED是等邊三角形，∴DE＝CE＝AE，∠CDE＝60°，∴∠ADE＝∠DAE＝∠BED＝15°，∴∠ADC＝∠CDE﹣∠ADE＝45°．故答案為：45°．14．【解答】解：如圖，設銳角△ABC最小的∠B的度數(shù)為x，則AD＝BD，∴∠B＝∠BAD＝x，∴∠ADC＝2x，若AD＝AC，∴∠ACB＝2x，∵△ABC是銳角三角形，∴∠C＜90°，∠B+∠C＞90°，∴，∴30°＜x＜45°；若CD＝AC，∴∠DAC＝∠ADC＝2x，∴∠BAC＝3x，∴∠BAC＜90°，∠C＜90°，∴∠DAC+∠ADC＞90°，∴，∴22.5°＜x＜30°，若CD＝AD，∴∠DAC＝∠DCA＝90°﹣x，∴∠BAC＝∠DAC+∠BAD＝x+90°﹣x＝90°，不合題意，故△ABC的最小內角的取值范圍為30°＜x＜45°或22.5°＜x＜30°，故答案為30°＜x＜45°或22.5°＜x＜30°．15．【解答】解：∵△OAC≌△OBD，∴∠OAC＝∠OBD，∵∠O＝68°，∠C＝20°，∴∠OAC＝∠OBD＝180°﹣20°﹣68°＝92°．故答案為：92．16．【解答】解：觀察圖形并分析數(shù)據可知：第1個三角形數(shù)：3＝1+2，第2個三角形數(shù)：6＝1+2+3，第3個三角形數(shù)：10＝1+2+3+4，第4個三角形數(shù)：15＝1+2+3+4+5，……那么，第6個三角形數(shù)就是1+2+3+4+5+6+7＝28．故答案為：28．17．【解答】解：設較小的兩邊長為x、y且x≤y，則x≤y＜16，x、y∈N*．當x＝1時，y＝1～15，三角形有15個；當x＝2時，y＝2～15，三角形有27個；當x＝3時，y＝3～15，三角形有36個；當x＝4時，y＝4～15，三角形有42個；當x＝5時，y＝5～15，三角形有45個；當x＝6時，y＝6～15，三角形有45個；當x＝7時，y＝7～15，三角形有42個；…當x＝15時，y＝15，三角形有1個．所以不同三角形的個數(shù)為15+27+36+42+45+45+42+36+28+21+15+10+6+3+1＝372．故答案為：372．18．【解答】解：∵三角形的三邊a、b、c均為整數(shù)，且a+b+c＝40，∴當a＝10時，b＝c＝15，abc＝2250，當a＝11時，b、c為14、15，abc＝2310，當a＝12時，b、c為13、15或14、14，abc＝2340或2358，當a＝13時，b、c為13、14，abc＝2366，當a＝16時，b、c為12、12，或11，13，abc＝2304或2288，∴當a＝13時，b、c為13、14，abc最大，∴△ABC是等腰三角形，∴△ABC的面積＝14，故答案為：14．19．【解答】解：∵+（2a+3b﹣13）2＝0，∴，解得：，當a為底時，三角形的三邊長為2，3，3，則周長為8；當b為底時，三角形的三邊長為2，2，3，則周長為7．故答案為7或8．20．【解答】解：由圖可知a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，a5＝5×6＝30，…an＝n（n+1），可得：n（n+1）＝132，解得：n＝11，故答案為：11．21．【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，且∠EBD＝62°，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，又∵∠ACB＝∠ACE+∠BCE，∠ECD＝∠BCE+∠BCD，∴∠BCD＝∠ACE，△ACE≌△BCD，∴∠DBC＝∠CAE，∴62°﹣∠EBC＝60°﹣∠BAE，∴62°﹣（60°﹣∠ABE）＝60°﹣∠BAE，∴∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠BAE）＝180°﹣58°＝122°．故答案為：122°．22．【解答】解：由AG⊥BD，BD是∠ABC的平分線，可得∠ADB＝∠GDB＝90°，∠ABD＝∠GBD，BD為公共邊，∴△ADB≌△GDB，∴AB＝GB，∵AF⊥CE，CE是∠ACB的角平分線，同理可證；AC＝FC，即△ABG和△ACF都是等腰三角形．又因AG⊥BD，AF⊥CE，所以E、D分別是AF和AG的中點，即ED是△AFG的中位線，∴FG＝2DE，則△ABC的周長為：AB+BC+AC＝BF+FG+BF+FG+CG+FG+CG由BF＝2，ED＝3，GC＝4，F(xiàn)G＝2DE＝6得則△ABC的周長為30．故答案為：30三．解答題（共6小題）23．【解答】（1）證明：如圖1，連接BD，∴BD⊥AC，∴∠BDN+∠CDN＝90°，∵DN⊥DM，∴∠CDM+∠CDN＝90°，∴∠BDN＝∠PDM，∵AE，BD是等邊三角形的高，∴AE＝BD，∵AE＝DP，∴BD＝DP，在Rt△CPM中，∠PCM＝60°，∴∠P＝30°＝∠DBN，在△BDN和△PDM中，，∴△BDN≌△PDM（ASA），∴DN＝DM，∴∠DNE＝∠DMC＝45°，∵E是BC中點，∴△AEC是直角三角形，∵E為AC中點，∴DE＝CD＝AC，∴∠DEC＝∠DCE＝60°，∴∠DEN＝∠DCM，在△DNE和△DMC中，，∴△DNE≌△DMC（AAS），∴NE＝CM，在Rt△QEN中，∠QNE＝∠NQE＝45°，∴QE＝NE，∴QE＝CM；（2）QF＝AB，理由：如圖2，過點D作DH⊥AE，設DH＝x，在Rt△DHQ中，∠DQH＝∠EQN＝45°，∴DQ＝x，在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，∴AD＝2x，∵AD＝AC，DE＝BC＝AC，∴DE＝AD＝2x，AB＝BC＝AC＝4x，由（2）知，△DNE≌△DMC，∴∠EDN＝∠CDM，∵∠NDM＝90°，∠CDE＝60°，∴∠EDN＝∠CDM＝15°，∴∠FDQ＝∠EDN+∠CDE＝75°，∵∠QEC＝∠QDM＝90°，∴∠QEC+∠QDM＝180°∴點E，M，D，Q共圓，∴∠EMQ＝∠QDE＝15°＝∠CDM，∴∠DMQ＝∠DME﹣∠EMQ＝30°，∴∠DQM＝60°＝∠DEM，DM＝DQ＝x，∵∠EMQ＝∠CDM，∴△DQF∽△DEM，∴＝，∴＝＝，Rt△DMN中，MN＝DM＝?x＝2x，由（2）知，NE＝CM，∴NE＝CM＝＝＝x﹣x，∴EM＝CM+CE＝x﹣x+2x＝x+x，∴＝，∴QF＝，而AB＝4x，∴QF＝AB．24．【解答】證明：（1）∵E是AD的中點，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠EAF＝∠EDB，∴△AEF≌△DEB（AAS）；（2）∵AF∥CD，AF＝CD，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵△AEF≌△DEB，∴BE＝FE，∵AE＝DE，∴四邊形ABDF是平行四邊形，∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∴∠ADC＝90°，∴四邊形ADCF是矩形．25．【解答】證明：（1）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∠