/]\log30.3

7.已知a=5陶3-41=5咽3.6,‘=11I，則

A.a>h>cB.b>a>cC.a>c>hD?c>a>h

aa—bW1

8.對實數(shù)〃和b,定義運(yùn)算“③"：a?h=\'-'設(shè)函數(shù)

b,a-b>1.

/（x）=（V—2）③卜―Y）,xwR.若函數(shù)y=/（x）-c的圖像與x軸恰有兩個公共點,

則實數(shù)c的取值范圍是

（3、3

A.（一8,一2]0-I,；B.(―<?,—2]u—1,

\2/4

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

9.一支田徑隊有男運(yùn)動員48人，女運(yùn)動員36人，若用分層抽樣的方法

從該隊的全體運(yùn)動員中抽取?個容量為21的樣本，則抽取男運(yùn)動員的

數(shù)為________

10.一個幾何體的三視圖如右圖所示（單位：m）,則該幾何體的體積

為nr'

H.已知拋物線c的參數(shù)方程為<-'c為參數(shù)）若斜率為1的

y=St.

直線經(jīng)過拋物線C的焦點，且與圓（3-4）2+？2=/（r>0）相切，

貝什=.

12.如圖，已知圓中兩條弦46與CO相交于點F,E是A8延長線上一

點，且。/=。F=血,4/：~8:3￡=4:2:1.若。后與圓相切，則

線段CE的長為.

13.已知集合A={^6Rl|x+3|+|x-4|W9},5={xeRb=4f+；-6,fe(0,+8)卜則

集合Ac8=.

14.已知直角梯形ABC。中，AO〃BC,NAOC=90°,AO=2,8C=1,P是腰0c上的

動點，則|西+3麗|的最小值為.

三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.（本小題滿分13分）

TF

已知函數(shù)_/(x)=tan(2x+—),(I)求/(x)的定義域與最小正周期；(II)設(shè)

4

若/(§=2cos2a,求a的大小.

16.(本小題滿分13分)

學(xué)校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里

裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機(jī)

摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎.(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)

(I)求在1次游戲中，

(i)摸出3個白球的概率；

(ii)獲獎的概率；

(II)求在2次游戲中獲獎次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

17.(本小題滿分13分)如圖，在三棱柱ABC-A/C中，

"是正方形A4線B的中心，44=2正，G”，平面44乃乃，且

(I)求異面直線AC與A|B1所成角的余弦值；

(II)求二面角A-4G一g的正弦值；

(HI)設(shè)N為棱與G的中點，點M在平面44/N內(nèi)，且MNJ.平面4月。，求線段

BM的長.

18.(本小題滿分13分)在平面直角坐標(biāo)系X。》中，

22

點尸色力)(a>6>0)為動點，片,工分別為橢圓=+與=1

ab~

的左右焦點.已知△片尸工為等腰三角形.

(1)求橢圓的離心率e；

(II)設(shè)直線「居與橢圓相交于A,8兩點，M是直線尸入上

的點，滿足麗7?麗=一2,求點〃的軌跡方程.

19.(本小題滿分14分)

已知a>0,函數(shù)/(x)=In尤-ax'x>0.(/(x)的圖像連續(xù)不斷)

(I)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)當(dāng)a=g時，證明：存在/6(2,2),使/(玉))=/弓)；

(IID若存在均屬于區(qū)間［1,3］的a,6,且6一aNl,使/(1)=/(￡),證明

In3-In2

53

20.(本小題滿分14分)

已知數(shù)列｛q｝與｛b,,｝滿足：+??+|+履小=。也=3+丁匚，〃eN*,且

q=2,4=4.

(I)求。3，“4，”5的值;

(H)設(shè)c,,=%,-+%用,〃WN*,證明：｛%｝是等比數(shù)列;

c7

（III）設(shè)&=。2+%+…+。2人，ZWN，證明：——<—（幾EN）.

k=\W6

參考答案

一、選擇題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分40分.

BABDCDCB

二、填空題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分30分.

9.1210.6+〃11.V212.—13.{xl-2<x<5}14.5

三、解答題

15.本小題主要考查兩角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角的

正弦、余弦公式，正切函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查基本運(yùn)算能力.滿分13分.

JFTTTTK7T

(I)解：由2x+—。2+人",左€Z,得xw2+——,AeZ.

4282

JTI7JTJT

所以/(x)的定義域為+AeZ},〃x)的最小正周期為々.

822

(II)解：由f(-1)=2cos2a,Wtan(ti+^-)=2cos2a,

sin（6z+—）

2

=2（cosa-sin2a）9

COS（Q+7）

.e,口sina+cosa、..、

整理得-------；——=2(cosa+sina)(cosa-sina).

cosa-sind

乃1\

因為。w(0,—),所以sina+cosaWO.因此(cos。-sin。)？=—，即為n2a=—.

422

由ae(0,2),得2ac(0,弓).所以2a=2,即。=工.

42612

16.本小題主要考查古典概型及其概率計算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列、互斥事件和相

互獨(dú)立事件等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)用概率知識解決簡單的實際問題的能力.滿分13分.

(I)(i)解：設(shè)“在1次游戲中摸出i個白球”為事件4=a=0,1,2,3),則

C2C11

p（4）=T+—

c；c；5

(ii)解：設(shè)“在1次游戲中獲獎”為事件B,則8=4UA3,又

…、C；c；C\C\C'1Hu獻(xiàn)z

尸（4）=67,日+~^3~石7=5，且A2,A3互斥，所以

117

P（B）=P（A2）+P（A3）=-+-=-.

（n）解：由題意可知x的所有可能取值為o,i,2.

7Q

P(X=0)=(1——)2=—,

10100

7721

P(X=1)=C；—(1一一)=一,

2101050

P(X=2)=(7"=——4Q.

10100

所以X的分布列是

X012

P92149

Too50Too

921497

X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0x二+lx—+2x-=一.

100501005

17.本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查用空間

向量解決立體兒何問題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.滿分13

分.

方法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點B為坐標(biāo)原點.

依題意得4（2女,0,0）,8（0,0,0）,C（V2,-V2,V5）

A(2V2,272,0),B}(0,272,0),C,(夜,近,也)

（I）解：易得/=（一夜，一灰,6）,麗=（一2/,0,0）,

4V2

于是cos〈AC,A]6)=ACA4

I/1/麗「3x2亞-3'

所以異面直線AC與A|B|所成角的余弦值為立

3

（II）解：易知福=（0,2痣,0）,詬=（一啦,一返,百）.

設(shè)平面AACi的法向量加=（x,y,z）,

m?AC.=0-A/2X-&y+y/5z=0,

則《2_即?

m?AA1=02。=0.

不妨令x=J5,可得加=（6,0,、反），同樣地，設(shè)平面AIBCI的法向量”=（x,y,z），

n?AC.=0,-9-岳+底=。,不妨令尸氐

則《1,即.

〃,4-0.—2\j2x=0.

可得〃=。6,夜）.

于是3伽川=&=肅r2而蜘⑺㈤二手

3/s

所以二面角A—AC1一B的正弦值為十.

5%5R

(III)解：由N為棱B|G的中點，得N(---,------,).設(shè)M(a,b,0),

222

nilT7T7/V23V2.V5.-r-3--MN-A.B.=0,

則A/N=(------a、------b,—)x，由A/N_L平血A]BiG，得ZH＜■=.--------

222[MN-A^=0.

叵

/

(〃

\2

即

好

叵

(za

\22

也

a-

2

解故M除￥，0）.

也

b-

4

因此麗=（也，也,0）,所以線段BM的長為I而1=典.

244

方法二：

（I）解：由于AC〃A|G，故是異面直線AC與A|B|所成的角.

因為G”，平面AA|B|B,又H為正方形AA|B|B的中心，

A4=2痣,G"=V5,可得A?=4G=3.

40：+4g2_8￡2

因此cosNC\4=

2AG,A圈3

5

所以異面直線AC與A]B1所成角的余弦值為注.

3

（II）解：連接AG，易知AC產(chǎn)B】G，

又由于AA尸B[A],AC尸A尸G，所以AAGAg,過點A作4R_L于點

R，連接BR,于是與R，4G，故為二面角A—A|G一B|的平面角.

22V14

在RtAA]RBi中，B{R=AjBj-sinZ.RAXBX=25/2?

,.j..,AR~+B[R--AB；2

連接AB”在A4HBi中，AB1=4,AR=B、R,cosNARB[=------------------------=—

11112ARgR7

3/sa

從而sinNARB]=-~二.所以二面角A—A^—Bj的正弦值為2

77

(HD解：因為MNJ_平面ABC”所以MNLAg.取HB1中點D,連接ND,由于

N是棱B?中點，所以ND//QH且ND=；G"=乎?又G"，平面AABB,所以MDJ.

平面AABB,故N￡>J.A4.又MNnNO=N，所以AM_L平面MND,連接MD并延長

交AB于點E,則ME，44，故加6//44「由處=處=弛=上,得

'1'A4,5,A,B.A4

OE=6E=、一,延長EM交AB于點F,可得BE=.連接NE.在Rt^ENM中,

22

2/~I-

ND上ME,故ND?=DE?DM.所以DM=----=*■.可得用W=.連接BM,在

DE44

RtABFM中，=y/FM2+BF2=—.

4

18.本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面向量等基礎(chǔ)知識，考查

用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查解決問題能力與運(yùn)算能力.

滿分13分.

22

⑴解:設(shè)6(-c,0),F2(c,0)(c>0),由題意，可得I2工1=1耳KI,即^a-c)+h=2c.

整理得2(￡y+￡-1=0,得￡=一1(舍)，或￡.所以e=L

aaaa22

(II)解：由⑴知a=2c,6=岳，可得橢圓方程為3x2+4)，2=12c2,直線PF2方程

(2x2+4y2=12c2

為y=J^(x-c).A,B兩點的坐標(biāo)滿足方程組<

y=yJ3(x-c).

Q

消去y并整理，得5/-8cx=0.解得x?=0,々］仁

_8

x,=0,%2-5C，8373r

得方程組的解廠<廣不妨設(shè)A(2c,*c),B(0,-&)

X=-昌3y/355

[%=亨

設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,y),則AM=(x-gc,y-3fc),8M=(x,y+J3c),

由y=G(x-c)4^c=x一理y.于是AM=(^-^-y~^x,^y-^^-x\

麗=(x,Gx).由而?兩=一2,即(第y-|x>x+(|y-￥x)?瓜=一2,

化簡得18x2-16V3xy-15=0.將

y=l.'廠]代入，=〈-'Ey,得。=10*+5>0.所以x>0.因此,點M的軌跡方

16限3'16x

程是18/-16Gxy—15=0(x>0).

19.本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、解不等式、函數(shù)的零點等基

礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力和運(yùn)用函數(shù)思想分析解決問題的能力及分類討論的思想方法.滿

分14分.

(I)解：f'(x)=--2ax=-~~,XG(0,+oo),令/(了)=0,解得

x22a

當(dāng)X變化時，fXxlf(x)的變化情況如下表：

/,(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,叵),/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是

所以,

2a

IL1o

(II)證明：當(dāng)。=—時,/(x)=lnx——/.由(D知/(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增,

88

3

在(2,+oo)內(nèi)單調(diào)遞減.令g(x)=/(x)-〃i).由于/(幻在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增，

3341一9。2

故/(2)>/(-)JPg(2)>0.取x'=-e>2，W(^')=—<0.所以存在

3

/e(2,￡),使8(%)=0,即存在％e(2,+~)第(%)=/(-).

(說明：V的取法不唯一，只要滿足￡>2,且g(x')<0即可)

(ill)證明：由/(0)=/(￡)及(I)的結(jié)論知a＜衛(wèi)＜/?,

2。

從而/(X)在[a,/7]上的最小值為/(a).又由P-a＞\,a,/?e[l,3],知

f/(2)>/(a)>/(l)JIn2-4a>-a,

.故<即\

[/(2)>/(^)>/(3).[In2—4a>In3—9a.

In3-In2ln2

從而<a<

5

20.本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、

綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.滿分14分.

3+(-ir為奇數(shù)

(I)解:由超meN*,可得"=<

22,n為偶數(shù)

當(dāng)n=l時,a1+a,+223=0,由a1=2,a2=4,可得a3=-3;

又b,a,+an+l+bn+lan+2=0,當(dāng)n=2時，2a,+a3+a4=0,可得=一5;

當(dāng)n=3時,23+24+225=。，可得=4.

(II)證明：對任意〃eN*,

aa

2n-l+2n+2a2"+1=°，①

a

2。2"+2n+\+。2"+2=°，②

aa+

2n+l+2n+22a2"+3=°，③

②③‘得。2"=。2"+3"④

將④代入①，可得出,川+。2/3=一(％1+。2“+|)，即=一％("6N"),又

6=%+%=-1,故化,。0,因此冬旦=一1,所以匕,｝是等比數(shù)列.

C,

(III)證明：由(II)可得的*-1+&《+1=(-1)上，

于是，對任意左€可*且左22,有

q+%=-1,

一(〃3+〃5)=-1,

%+%=-1,

(一(%t-3+%-l)=T?

將以上各式相加，得％+(-l>4l=-伏一1)，

即。2J=(T)*心+1)，此式當(dāng)k=l忖也成立.由④式得。2k=(-1盧|伏+3).

從而S2k=(。2+。4)+(°6+。8)"*----1~^a4k-2+。4女)二一氏，

S2k_}=S2k-a4k=&+3.所以，對任意N\n>2,

c_〃rccc

—=￡(。4/一3?%2?。4川-1?)

A=1%m=l，4帆-3〃4/”-2。4析

S/2m+22m-12m+32m、

扃2m2m+22m+12m+3

23

=/(--------------H------------------------)

,?=12m(2m+l)(2/??+2)(2/714-2)

-------1-/.----------------1----------------------

2x3^2/n(2m+l)(2〃+2)(2〃+3)

1953

<—F〉---------------1-----------------------

3￡(2〃?一1)(2加+1)(2〃+2)(2〃+3)

15l1、/1、113

=—I----[r(/-------)+(------)+…+(z-------------------)v1lH----------------------

3235572〃-12n+l(2〃+2)(2〃+3)

15513

=---1-------------------1----------------------

3622〃+1(2〃+2)(2〃+3),對于自，不等式顯然成立.所以，對任意

7

<—.

6

〃€./+2+.?.+—+且=('+*)+(區(qū)+%+.?.+(&+&)

a\a2a2n-\。2n。2。3。4。2〃-142〃

=(1----------)+(1----1-----1------------)+…+(1------------------)

4124242-(42-1)4〃(4”一1)

/1、/12.1n

,/1、1

<n—(—H-----)=n—.

4123

2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的。

1.復(fù)數(shù)衛(wèi)?的共軌復(fù)數(shù)是

l-2z

C.-iD.i

2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)哦、又在(0,)單調(diào)遞增的函數(shù)是

A.y=x2B.y=|x|+l

C.y=-f+lD.y=2第

3.執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的N是6,那么輸出的p是

A.120B.720

C.1440D.5040

4.有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位

同學(xué)參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同?個興

趣小組的概率為

5.已知角。的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x

上，貝ijcos26=

6.在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如右圖所示,

則相應(yīng)的俯視圖可以為(俯視圖)

7.設(shè)直線1過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，1與C交于A,B兩點，|A8|

為C的實軸長的2倍，則C的離心率為

A.V2B.73C.2D.3

8.fx+-V2x--1的展開式中各項系數(shù)的和為2,則該展開式中常數(shù)項為

Ix八X)

A.-40B.-20C.20D.40

9.由曲線y=4,直線y=x-2及y軸所圍成的圖形的面積為

1016

A.—B.4C.—D.6

33

10.已知a與b均為單位向量，其夾角為。，有下列四個命題

:|o+Z?|>10G0,-JR:M>1,萬

Py:\a-b\>1<=^>g:,一.>1oC，%

其中的真命題是

A.P\RB."C.P2,P2D.P2,P4

11.設(shè)函數(shù)/(x)=sin(0x+8)+cos(0x+8)(0>()M<g的最小正周期為萬，且

/(-x)=/(x),則

單調(diào)遞減B.f(無)在|(兀3萬)

A.f(x)在H：?口］單調(diào)遞減

(n3兀、

C./*)在|?單調(diào)遞增D./(x)在|單調(diào)遞增

12.函數(shù)y=」一的圖像與函數(shù)y=2sin乃x(-2<x<4)的圖像所有交點的橫坐標(biāo)之和等

x-l

于

A.2B.4C.6D.8

—、填空題：本大題共4小題，每小題5分。

一人3<2x+y<9,

13.若變量x,y滿足約束條件.<工_；<9則z=x+2y的最小值為。

14.在平面直角坐標(biāo)系X。〉中，橢圓。的中心為原點，焦點耳,居在x軸上，離心率為

匹

—o過R的直線交于CA,6兩點，且A8B的周長為16,那么。的方程為_____o

2

15.已知矩形A8CO的頂點都在半徑為4的球。的球面上，且A8=6,8。=2百，則棱錐

。―A8CO的體積為。

16.在ABC中，8=6O°,AC=0,則AB+2BC的最大值為。

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（本小題滿分12分）

等比數(shù)列｛6,｝的各項均為正數(shù)，且2%+3%=*=9%%

求數(shù)列｛%｝的通項公式.

設(shè)=log3al+log3a2++log3%,求數(shù)列《—”的前n項和.

18.（本小題滿分12分）

如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為平行四

邊形，NDAB=6（）o,AB=2AD,PD_L,底面ABCD.

（I）證明:PA1BD；

（H）若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。

19.（本小題滿分12分）

某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值

越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)用兩種新配方（分別

稱為A配方和B配方）做試驗，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測試了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)

值，得到下面試驗結(jié)果：

A配方的頻數(shù)分布表

指標(biāo)值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]

頻數(shù)82042228

B配方的頻數(shù)分布表

指標(biāo)值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]

頻數(shù)412423210

（I）分別估計用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率;

（II）己知用B配方生產(chǎn)的一種產(chǎn)品利潤y（單位：元）與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為

‘一2/<94

y=?2,94<?<102

4,402

從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為X(單位：元).求X的分布列及數(shù)學(xué)

期望.(以試驗結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的

概率).

20.(本小題滿分12分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(0,-1),B點在直線y=—3上，M點滿足

MB//OA,BA,M點的軌跡為曲線C.

(I)求C的方程；

(IDP為C上動點，/為C在點P處的切線，求O點到/距離的最小值.

21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/。)=以吧+2，曲線y=/(%)在點(1,7(1))處的切線方程為

x+1x

x+2y-3=0.

(I)求a,b的值；

In丫K

(H)如果當(dāng)x>0,且XA1時，/(x)>—-+求k的取值范圍.

x-1X

請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分.做

答是用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)題號下方的方框涂黑.

22.(本小題滿分10分)選修4-1：幾何證明選講

如圖，D,E分別為AABC的邊AB,AC上的點，且不與AA8C的頂點重合.已知AE

的長為m,AC的長為n,AD,AB的長是關(guān)于x的方程/-14x+機(jī)〃=0的兩個根.

(I)證明：C,B,D,E四點共圓；

(H)若Z4=90°,且m=4,”=6,求C,B,D,E所

在圓的半徑.

23.(本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為

X=2COS6Z,

,(a為參數(shù))，M為G上的動點，P點滿足

y=2+2sina

方=2兩，點P的軌跡為曲線

(I)求G的方程；

(ID在以o為極點，X軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線。=心與G的異于極點

3

的交點為A,與。2的異于極點的交點為B，求IABI.

24.(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講

設(shè)函數(shù)/(x)=lx-al+3x,其中a〉0.

(I)當(dāng)a=l時，求不等式/(x)23x+2的解集.

(II)若不等式f(x)WO的解集為｛xlxW-1｝,求a的值.

2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)試卷參考答案

選擇題

(1)C(2)B(3)B(4)A(5)B(6)D

(7)B(8)D(9)C(10)A(11)A(12)D

二、填空題

22

(13)-6(14)土+匕=1(15)8月(16)277

168

三、解答題

(17)解：

(I)設(shè)數(shù)列㈤｝的公比為q,由齒=9々4得婷=94所以

由條件可知c>0,故q=

由2q+3a2=1得2q+3a2q=1,所以q=g。

故數(shù)列｛aj的通項式為an=—,

3〃

(II)bn=\og3ai+log3a2+...+log3an

——(1+2+…+〃)

田12J1、

+1)故丁=-------=-2(--------)

=-----——bnn(n+l)n〃+1

1111、A1、11、、2〃

—+—+-+—=-2((1--)4-4-(Z--------))=-----

b｝b2bn223nn+1〃+

所以數(shù)列｛L1｝的前n項和為2n

b“"+1

(18)解：(1)因為/。48=60。,43=24。，由余弦定理得8。=百4。

M.lTiJBD2+AD2=AB2,故

又尸。_L底面ABC。，可得BO_LP￡>

所以8O_L平面物D故布JLBO

(H)如圖，以D為坐標(biāo)原點，AD的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間

直角坐標(biāo)系D-X”,則

A(l,0,0),B(0，V3,0),C(-l,V3,0),P(0,0,l)?

UU?LUUVLUlU'

AB=(-l,V3,0),FB=(0,V3,-l),Z?C=(-1,0,0)

inm

設(shè)平面PAB的法向量為n=(X,y，z)，則｛螃:::

+V3y=0

即1

=0

因此可取n=(V3,l,V3)

mn

設(shè)平面PBC的法向量為m,則m-Pg=0,

md?C=0.

/?\--42s

可取m=(0,-1,—V3)CcOoSsmftJ

2幣

故二面角A-PB-C的余弦值為"V

22+R

(19)解(I)由試驗結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)的平率為——-=0.3,所以用

100

A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.3。

由試驗結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為斗±3=0.42,所以用B配

100

方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.42

(II)用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，其質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間

[90,94),[94,102),[102,110]的頻率分另U為0.04,,054,0.42,因止匕

p(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,

即X的分布列為

X-224

P0.040.540.42

X的數(shù)學(xué)期望值EX=-2x0.04+2x0.54+4x0.42=2.68

(20)解：(I)設(shè)M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).

ULIU1UIU1uuu

所以肪4二(-X,-1-y),MB=(0,-3-y),AB=(x,-2).

UUU1uuuuuu

再由題意可知(MA+MB)?AB=0,即(-X,-4-2y)>(x,-2)=0.

1o

所以曲線C的方程式為y=-x2-2.

4

(^)設(shè)P(Xo，yo)為曲線C：y=；x2-2上一點，因為y=；x,所以/的斜率為:x0

10

因此直線/的方程為y-%=5%(x-%)，即xox-2y+2%-焉=0。

則O點到/的距離d=.又％=,X；-2,所以

口"一4

g

當(dāng)片=0時取等號，所以O(shè)點到/距離的最小值為2.

/X+1,.

次「X)b

(21)解：(I)f'(X)=

(x+1)2x2

I/⑴=1,

由于直線x+2y—3=0的斜率為一一，且過點(1,1),故(I即

-2/'(1)=--,

4=1,

-a1解得a=l,b=l。

122

(II)由(I)知f(x)=^±+!，所以

x+1x

，/、zlnxk、1…伏-1)(一一1)、

/(x)-(一;+-)=:~7(2Inx+-——------)?

X-1xl-xX

考慮函數(shù)〃(x)=2InX+(D(xjT).(x>0),則

X

■-1)(d+1)+2]

h\x)=

,+])—(x—1)~

⑴設(shè)攵<0,由力(X)=----------------知，當(dāng)XW1時,h*(x)<0o而〃(1)=0,

X

故

當(dāng)xe(0,1)時,A(x)>0,可得」^/z(x)>0；

1-x

當(dāng)xe(1,+8)時，h(x)<0,可得一二~h(x)>0

1-x2

1n￥k1nV

從而當(dāng)x>0,且xWl時，f(x)-(—^+-)>0,B|Jf(x)>—^-+-.

x-1xx-\X

(ii)設(shè)Ovkvl.由于當(dāng)x￡(1,--—)時，(k-1)(x2+l)+2x>0,故人(x)>0,而

1-k

h(1)=0,故當(dāng)x￡(1,--—)時，h(x)>0,可得——L~h(x)<0,與題設(shè)矛盾。

1-k1-x2

(iii)設(shè)kNl.此時力(x)>0,而h(1)=0,故當(dāng)x￡(1,+8)時，h(x)>0,可得

——h(x)<0,與題設(shè)矛盾。綜合得，k的取值范圍為(-oo,0]

1-xr

解：(2)由(1)知/(x)=^-+-.

x+1X

遼”、InxJ』、-Inx1\nx

故要證：f(x)>——只需證——+->——

x-1x+1Xx-1

為去分母，故分X>1與Ovx<l兩種情況討論：

當(dāng)x>l時，需證x(x-l)lnx+x2-l>x(x+l)lnx

x2-11

即lnx<----即需證lnx<x——.