第02講空間向量基本定理（5大考點8種解題方法）考點考點考向一、空間向量基本定理如果空間中的三個向量a，b，c不共面，那么對空間中的任意一個向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中，空間中不共面的三個向量a，b，c組成的集合{a，b，c}，常稱為空間向量的一組基底.此時，a，b，c都稱為基向量；如果p=xa+yb+zc，則稱xa+yb+zc為p在基底{a，b，c}下的分解式.二、空間向量的正交分解單位正交基底：如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用表示.正交分解：把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解.三、用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題1.用已知向量表示某一向量的三個關(guān)鍵點：(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導是解題的關(guān)鍵．(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量．(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立技巧方法技巧方法1.空間中，任一向量都可以用一組基底表示，且只要基底確定，則表示形式是唯一的.2.用基底表示空間向量時，一般要結(jié)合圖形，運用向量加法、減法的平行四邊形法則、三角形法則，以及數(shù)乘向量的運算法則，逐步向基向量過渡，直至全部用基向量表示.3.在空間幾何體中選擇基底時，通常選取公共起點最集中的向量或關(guān)系最明確的向量作為基底，例如，在正方體、長方體、平行六面體、四面體中，一般選用從同一頂點出發(fā)的三條棱所對應的向量作為基底.4.正交基底的三個向量共起點.考點考點精講考點一：空間向量基底概念及辨析一、單選題1．（2022·全國·高二課時練習）設，，，且是空間的一個基底，給出下列向量組：①；②；③；④，則其中可以作為空間的基底的向量組有（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·湖南·高二課時練習）已知，，是不共面的三個向量，下列能構(gòu)成一組基的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，二、判斷題3．（2022·全國·高二課時練習）已知向量是空間的一組基，則向量也是空間的一組基；()三、解答題4．（2022·全國·高二課時練習）空間向量，，不共面是否可以推出其中任意兩個向量均不平行？5．（2022·全國·高二課時練習）已知向量、、可以構(gòu)成空間向量的一組基底，則這三個向量中哪一個向量可以與向量和向量構(gòu)成空間向量的另一組基底？考點二：用空間基底表示向量一、單選題1．（2022·福建·柘榮縣第一中學高二期中）如圖，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B．C． D．2．（2022·江蘇省揚州市教育局高二期末）如圖，平行六面體的底面是邊長為1的正方形，且，，則線段的長為（

）A． B． C． D．3．（2022·江蘇·漣水縣第一中學高二階段練習）如圖，OABC是四面體，G是的重心，是OG上一點，且，則（

）A． B．=C．= D．=4．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)桂城中學高二階段練習）在四面體中，，，，點在上，且，是的中點，則（

）A． B．C． D．5．（2022·江蘇南通·高二期中）如圖所示，空間四邊形OABC中，，，，點M在OA上，且，M為OA中點，N為BC中點，則等于（

）A． B． C． D．二、多選題6．（2022·廣東廣州·高二期末）如圖，在長方體中，、、分別是棱、、上的點，且滿足，，，則（

）A． B．C． D．三、解答題7．（2022·全國·高二課時練習）如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱AM的長為3，且，N是CM的中點，設，，，用、、表示向量，并求BN的長．考點三：用空間向量基本定理及其應用1.已知矩形，為平面外一點，且平面，，分別為，上的點，且，，，則的值為()A． B． C． D．2.如圖，已知空間四邊形，其對角線為分別是的中點，點在線段上，且使，用向量表示向量為（）A．B．C．D．3.下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有______.①若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則；②若非零向量，，滿足，，則有；③若，，是空間的一組基底，且，則，，，四點共面；④若向量，，，是空間一組基底，則，，也是空間的一組基底.4.已知S是△ABC所在平面外一點，D是SC的中點，若x，則x+y+z=_____.5.如圖，在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知，，，點M，N分別是BC'，B'C'的中點，試用基底表示向量.考點四：空間三向量共面或四點共面1.如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求證:向量共面.2.已知，，三點不共線，對平面外的任一點，若點滿足.（1）判斷，，三個向量是否共面；（2）判斷點是否在平面內(nèi).考點五：利用空間向量基本定理解決幾種常見問題題型一：平行問題1.已知，，，分別是空間四邊形的邊，，，的中點.（1）求證：，，，四點共面；（2）求證：平面；（3）設是和的交點，求證：對空間任一點，有.題型二：垂直問題2.在所有棱長均為2的三棱柱中，，求證：（1）；（2）平面.題型三：夾角問題3.已知平行六面體的底面是邊長為1的菱形，且，.（1）證明：；（2）求異面直線與夾角的余弦值.題型四：求長度4.如圖，在平行六面體中，兩兩夾角為60°，長度分別為2，3，1，點P在線段BC上，且，記.（1）試用表示；（2）求模.鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·遼寧高二期中）已知，如圖，在平行六面體中，，則用向量可表示向量為（）A． B．C． D．2．（2020·朝陽市第一高級中學高二期中）在平行六面體中與交于點則（）A． B．C． D．3．（2020·安徽淮北·高二期中（理））設，，是不共面的三個單位向量，則下列向量組不能作為空間的基底的一組是（）A． B．C． D．4．（2021·江西豐城九中（理））如圖：在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點.若，，，則下列向量中與相等的向量是（）A． B．C． D．5．（2020·蘇州外國語學校高二期中）在平形六面體，其中，，，，，則的長為（）A． B． C． D．二、多選題6．（2019·山東濟南一中高二期中）已知平行六面體，則下列四式中其中正確的有（）A． B．C． D．7．（2020·河北省晉州市第二中學高二期中）有以下命題：①如果向量，與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么，的關(guān)系是不共線；②，，，為空間四點，且向量，，不構(gòu)成空間的一個基底，則點，，，一定共面；③已知向量，，是空間的一個基底，則向量，，也是空間的一個基底.其中正確的命題是（）A．② B．① C．③ D．①②③8．（2020·南平市第八中學高二期中）給出下列命題，其中錯誤的有（）A．若空間向量、、，滿足，，則B．若空間向量、、，滿足，，則C．在空間中，一個基底就是一個基向量D．任意三個不共線的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底9．（2020·江蘇常州高級中學高二期中）下列條件中，使點P與A，B，C三點一定共面的是（）A． B．C． D．10．（2020·朝陽市第一高級中學高二期中）下列說法正確的是（）A．若為空間的一組基底，則三點共線B．若為四棱柱，則C．若則四點共面D．若為正四面體為的重心，則三、填空題11．（2019·海南中學高二期中）若，則直線與平面的位置關(guān)系為____．12．（2020·黑龍江雙鴨山一中高二期中（理））在正方體中，給出以下向量表達式：①；②；③；④.其中能夠化簡為向量的是______________（填序號）.13．（2020·珠海市第二中學高二期中）如下圖，四棱錐中，四邊形為平行四邊形，與交于點，點為上一點，，，，，用基底表示向量_______.14．（2020·天津南開中學高二期中）在正四面體中，是上的點，且，是的中點，若，則的值為__________．15．（2020·山東省淄博第四中學）正三棱柱中，，，為棱的中點，則異面直線與成角的大小為_______．16．（2020·唐山市第十一中學高二期中）如圖，在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值是__________．17．（2019·江蘇高二期中）已知四棱柱的底面是矩形，底面邊長和側(cè)棱長均為2，，則對角線的長為________.18．（2019·邢臺市第八中學）如圖，已知平面平面，，，，，，，，且，，，則_________________.19．（2020·浙江鎮(zhèn)海中學高二期中）空間向量，，，，，，且，，若點P滿足，且，，，，則動點P的軌跡所形成的空間區(qū)域的體積為__________.四、解答題20．（2020·山東省濟南回民中學高二期中）如圖所示，在三棱錐中，兩兩垂直，且，E為的中點．（1）證明：；（2）求直線與所成角的余弦值．21．（2019·吉林扶余市第一中學高二期中（理））如圖，在正四棱柱中，為棱的中點，，.（1）若，求；（2）以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系﹐寫出，，，的坐標，并求異面直線與所成角的余弦值.22．（2021·福建省廈