二計量經(jīng)濟學一元線性回歸分析第一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五一、線性回歸模型及其普遍性第二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五1、線性回歸模型的特征一個例子

凱恩斯絕對收入假設消費理論：消費（C）是由收入（Y）唯一決定的，是收入的線性函數(shù)：

C=+Y(2.2.1)

但實際上上述等式不能準確實現(xiàn)。原因⑴消費除受收入影響外，還受其他因素的影響；⑵線性關系只是一個近似描述；⑶收入變量觀測值的近似性：收入數(shù)據(jù)本身并不絕對準確地反映收入水平。第三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五因此，一個更符合實際的數(shù)學描述為：

C=+Y+(2.2.2)其中：是一個隨機誤差項，是其他影響因素的“綜合體”。線性回歸模型的特征：

⑴通過引入隨機誤差項，將變量之間的關系用一個線性隨機方程來描述，并用隨機數(shù)學的方法來估計方程中的參數(shù)；⑵在線性回歸模型中，被解釋變量的特征由解釋變量與隨機誤差項共同決定。第四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五

2、線性回歸模型的普遍性

線性回歸模型是計量經(jīng)濟學模型的主要形式，許多實際經(jīng)濟活動中經(jīng)濟變量間的復雜關系都可以通過一些簡單的數(shù)學處理，使之化為數(shù)學上的線性關系。第五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五將非線性關系化為線性關系的常用的數(shù)學處理方法⑴變量置換例如，描述稅收與稅率關系的拉弗曲線：拋物線

s=a+br+cr2c<0s：稅收；r：稅率設X1=r，X2=r2，則原方程變換為

s=a+bX1+cX2c<0變量置換僅用于變量非線性的情況。第六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五⑵函數(shù)變換

例如，Cobb-Dauglas生產(chǎn)函數(shù)：冪函數(shù)

Q=AKLQ：產(chǎn)出量，K：投入的資本；L：投入的勞動方程兩邊取對數(shù)：

lnQ=lnA+lnK+lnL第七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五(3)級數(shù)展開例如，不變替代彈性CES生產(chǎn)函數(shù)：方程兩邊取對數(shù)后，得到：對在ρ=0處展開臺勞級數(shù)，取關于ρ的線性項，即得到一個線性近似式。

第八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五變量置換得到第九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五結論：實際經(jīng)濟活動中的許多問題，都可以最終化為線性問題，所以，線性回歸模型有其普遍意義。即使對于無法采取任何變換方法使之變成線性的非線性模型，目前使用得較多的參數(shù)估計方法——非線性最小二乘法，其原理仍然是以線性估計方法為基礎。線性模型理論方法在計量經(jīng)濟學模型理論方法的基礎。第十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五二、線性回歸模型的基本假設第十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五1、技術線路由于回歸分析的主要目的是要通過樣本回歸函數(shù)（模型）SRF盡可能準確地估計總體回歸函數(shù)（模型）PRF。即通過估計采用普通最小二乘或者普通最大似然方法估計。需要對解釋變量和隨機項作出假設。第十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五2、線性回歸模型在上述意義上的基本假設（1）解釋變量X是確定性變量，不是隨機變量；解釋變量之間互不相關。（2）隨機誤差項具有０均值和同方差:E(i)=0i=1,2,…,nVar(i)=2i=1,2,…,n

（3）隨機誤差項在不同樣本點之間是獨立的，不存在序列相關：

Cov(i,j)=0i≠ji,j=1,2,…,n第十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五（5）隨機誤差項服從０均值、同方差的正態(tài)分布：i~N(0,2)i=1,2,…,n注意：如果第(1)條假設滿足，則第(4)條也滿足;

模型對變量和函數(shù)形式的設定是正確的，即不存在設定誤差。（4）隨機誤差項與解釋變量之間不相關：

Cov(Xi,i)=0i=1,2,…,n第十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五重要提示幾乎沒有哪個實際問題能夠同時滿足所有基本假設；通過模型理論方法的發(fā)展，可以克服違背基本假設帶來的問題；違背基本假設問題的處理構成了單方程線性計量經(jīng)濟學理論方法的主要內(nèi)容：

異方差問題（違背同方差假設）序列相關問題（違背序列不相關假設）共線性問題（違背解釋變量不相關假設）隨機解釋變量（違背解釋變量確定性假設）0均植、正態(tài)性假設是由模型的數(shù)理統(tǒng)計理論決定的。第十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五三、一元線性回歸模型的參數(shù)估計第十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五1、普通最小二乘法（OrdinaryLeastSquare,OLS）給定一組樣本觀測值Xi,Yi（i=1,2,…n），要求樣本回歸函數(shù)盡可能好地擬合這組值，即樣本回歸線上的點與真實觀測點的“總體誤差”盡可能地小。第十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五第十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五

2、最大或然法（MaximumLikelihood,ML）

最大或然法，也稱最大似然法，是不同于最小二乘法的另一種參數(shù)估計方法，是從最大或然原理出發(fā)發(fā)展起來的其它估計方法的基礎。

基本原理：對于最大或然法，當從模型總體隨機抽取n組樣本觀測值后，最合理的參數(shù)估計量應該使得從模型中抽取該n組樣本觀測值的聯(lián)合概率最大。第十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五第二十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五

將該或然函數(shù)極大化，即可求得到模型參數(shù)的極大或然估計量。第二十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五

由于或然函數(shù)的極大化與或然函數(shù)的對數(shù)的極大化是等價的，所以，取對數(shù)或然函數(shù)如下：第二十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五

可見，在滿足一系列基本假設的情況下，模型結構參數(shù)的最大或然估計量與普通最小二乘估計量是相同的。第二十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五但是，隨機誤差項的方差的估計量是不同的。第二十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五3、參數(shù)估計的離差形式(deviationform)注：在計量經(jīng)濟學中，往往以小寫字母表示對均值的離差（deviation)。第二十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五4、樣本回歸線的數(shù)值性質(numericalproperties)樣本回歸線通過Y和X的樣本均值；Y估計值的均值等于觀測值的均值；殘差的均值為0。第二十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五四、最小二乘估計量的統(tǒng)計性質

高斯-馬爾可夫定理第二十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五

當模型參數(shù)估計完成，需考慮參數(shù)估計值的精度，即是否能代表總體參數(shù)的真值，或者說需考察參數(shù)估計量的統(tǒng)計性質。一個用于考察總體的統(tǒng)計量，可從三個方面考察其優(yōu)劣性：（1）線性性(linear)：即是否是另一隨機變量的線性函數(shù)；（2）無偏性(unbiased)：即它的均值或期望值是否等于總體的真實值；（3）有效性(efficient)：即它是否在所有線性無偏估計量中具有最小方差。第二十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五高斯—馬爾可夫定理(Gauss-Markovtheorem)

在給定經(jīng)典線性回歸的假定下，最小二乘估計量是具有最小方差的線性無偏估計量。第二十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五1、線性性：參數(shù)估計量是Y的線性函數(shù)第三十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五2、無偏性：參數(shù)估計量的均值等于總體回歸參數(shù)真值第三十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五第三十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五3、有效性：在所有線性無偏估計量中，最小二乘估計量具有最小方差。第三十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五

第三十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五（2）證明最小方差性第三十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五第三十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五第三十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五4、結論

普通最小二乘估計量具有線性性、無偏性、最小方差性等優(yōu)良性質。具有這些優(yōu)良性質的估計量又稱為最佳線性無偏估計量，即BLUE估計量（theBestLinearUnbiasedEstimators）。顯然這些優(yōu)良的性質依賴于對模型的基本假設。第三十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五五、參數(shù)估計量的概率分布與隨機項