第一章命題演算基礎1.1命題和聯(lián)結詞

1.2真假性

1.2.1解釋

1.2.2等價公式1.2.3聯(lián)結詞的完備集1.2.4對偶式和內否式1.3范式及其應用完全解釋、部分解釋定義：設n元公式中所有的不同的命題變元為

P1,…,Pn如果對每個命題變元均給予一個確定的值，則稱對公式給了一個完全解釋；如果僅對部分變元給予確定的值，則稱對公式給了一個部分解釋。n元公式有2n個完全解釋。例考察公式=（PQ）

R

PQRTTTTTTFFTT*不能確定F**T成真解釋與成假解釋定義：對于任何公式，凡使得取真值的解釋，不管是完全解釋還是部分解釋，均稱為的成真解釋。定義：對于任何公式，凡使得取假值的解釋，不管是完全解釋還是部分解釋，均稱為的成假解釋。例考察公式=（PQ）

R

PQRTTTT1個成真解釋TTFF1個成假解釋TT*不能確定1個成真解釋1個成假解釋F**T4個成真解釋永真公式與永假公式定義：如果一個公式的所有完全解釋均為成真解釋，則稱該公式為永真公式或稱為重言式。定義:如果一個公式的所有完全解釋均為成假解釋，則稱該公式為永假公式或稱為予盾式。例由定義可知：

PP為永假公式；

PP為永真公式。可滿足公式與非永真公式定義：如果一個公式存在成真解釋，則稱該公式為可滿足公式；如果一個公式存在成假解釋，則稱該公式為非永真公式。例由定義可知：

PP永假公式

PP永真公式

PQ可滿足公式，非永真公式PQ可滿足公式，非永真公式第一章命題演算基礎1.1命題和聯(lián)結詞

1.2真假性1.2.1解釋

1.2.2等價公式1.2.3聯(lián)結詞的完備集1.2.4對偶式和內否式1.3范式及其應用邏輯等價定義：給定兩個公式和，設P1，P2，……，Pn為和的所有命題變元，那么和有2n個解釋。如果對每個解釋，和永取相同的真假值，則稱和是邏輯等價的，記為=。?八組重要的等價公式

雙重否定律

P=P結合律

（P

Q）

R=P（Q

R）（P

Q）

R=P（Q

R）分配律

P（Q

R）=（PQ）（P

R）

P（QR）=（PQ）（P

R）交換律

P

Q=Q

P PQ=QP八組重要的等價公式等冪律

P

P=P PP=P PP=T PP=T等值公式

PQ=P

Q PQ=（PQ）（Q

P）

=（PQ）（PQ）

=（PQ）（PQ）

（PQ）=PQ

（PQ）=PQ八組重要的等價公式部份解釋

PT=PPF=F

PT=TPF=P

T

P=PF

P=T P

T=TP

F=P

T

P=PF

P=P

吸收律

P（PQ）=P

P（P

Q）=P?例判斷下列公式的類型

q∨((p∨q)∧p)永真解:q∨((p∨q)∧p) =q∨((p∨q))∨p =(q∨p)∨((p∨q)) =T所以，它是永真的。

例判斷下列公式的類型

(p∨p)((q∧q)∧r)永假解:(p∨p)((q∧q)∧r) =T((q∧q)∧r) =(q∧q)∧r =F∧r =F所以，它是永假的。例判斷下列公式的類型

(pq)∧p可滿足解:(pq)∧p =(p∨q)∧p =p

所以，它是可滿足的。

成真匯解釋就和成主假解咳釋的可求解國方法（1）否股定深股入：左即把振否定掌詞一摟直深竹入至杜命題悶變元坊上；（2）部寺分解絮釋：胃選定痛某個池出現(xiàn)競次數(shù)提最多自的變磚元對懶它作燥真或餓假的膝兩種烈解釋暑從而耳得公赤式；（3）化黨簡；（4）依斯次類煎推，硬直至爐產生誦公式泄的所圍有解頭釋。例(p溜7)試判漲定公日式(PQ)((QP)R)的永攤真性蹈和可謝滿足室性。解1：否羽定深己入原式=況(PQ)((QP)R)對P=私T進行襲解釋膠并化寶簡，結果書見教吐材。例(p被7)(PQ)((QP)R)解2：在否加定深浮入的應基礎卷上對P=天F進行泉解釋叮并化雁簡。原式=（FQ）（（QF）梨R）=（QF）鄙R=QRQ=T時，染原式=TR=耽R，璃于是R=遠T時，頓原式=FR=牛F時，忽原式=T因此錦，公譯式存弱在成步真解逐釋（P，Q，R）=（F，T，F(xiàn)）；公式劍存在罵成假甜解釋（P，Q，R）=（F，T，T）。故公熄式可構滿足稠但非限永真宿。例(p季7)(PQ)((QP)R)解3：所以歪，公耐式存號在成滑真解扔釋：(T柄,T怒,*壞),撫(T冷,F利,F災),孝(做F,碑T,蜂F)吩,唯(F湯,F繞,T攤);公式脖存在魄成假餃解釋嗓：(T傳,F奮,T嚇),陰(筑F,刺T,穿T)柴,挎(F病,F祖,F尼)。故公橋式可所滿足由但非渴永真沈。(P,Q,R)A=(PQ)B=QPC=BRAC(T,T,T)FTFT(T,T,F)FFFT(T,F,T)TTFF(T,F,F)TTTT(F,T,T)TTFF(F,T,F)TTTT(F,F,T)TFTT(F,F,F)TFFF例試求嚇下列卸公式乒的成這真解光釋和碼成假棍解釋（PQ）（Q（RP））解:當P=唱T時,原式=旅(TQ)(Q(RT))=Q(Q(R))怪=QR當P=牛F時,原式=灰(FQ)(Q(RF))=儲T(QF狀)=踐Q由上繪可知:公式懷不是砍永真輛公式,是可迫滿足乏的.成真勒解釋慘為(P壩,Q碧,R沖)=仁(T街,F僅,F衫),喝(F曲,T舉,*付),成假千解釋混為（(P容,Q染,R潛)=誦(T漫,T再,T嘆),躍(T寨,F冒,T孕),選(T饅,T師,F滾),面(F爸,F侄*)挖.第一唉章拖命毫題演綢算基凝礎1.依1命題抖和聯(lián)朽結詞1.敏2真假柴性1.涌2.復1解釋1.睬2.懇2等價掠公式1.番2.鴨3聯(lián)結興詞的倍完備仆集1.灰2.著4對偶殼式和資內否巷式1.郵3范式算及其管應用聯(lián)結辜詞的允完備臺集定義設S是聯(lián)渡結詞黨的集樹合，秋如果對任津何命挪題演絨算公究式均甘可以恰由S中的盒聯(lián)結癥詞表鑰示出諒來的場公式牢與之厲等價，則說S是聯(lián)怪結詞勒的完陳備集筋。由聯(lián)惡結詞度的定愈義知扮，聯(lián)屆結詞返集合{，，，，}是完蠶備的薄。定理1聯(lián)結德詞的南集合{，，}是完他備的輔。證明忘：因印為PQ=P∨QPQ=（P∨Q）∧（P∨Q）所以{，，}可以榆表示朽集合{，，，，}。又因蓬為{，，，，}是完制備的麻，即任徐何公房誠式均可停以由找集合{，，，，}中聯(lián)部結詞斧表達摩出來駛的公落式與之之等矮價，所以柴任何蔬公式均可父以由型集合{，，}中的盒聯(lián)結其詞表蔑達出士來的非公式辭與之纏等價骨。故集拋合{，，}是完拼備的社。定理奸聯(lián)結蒸詞的蓄集合{，損∧}是完賄備的疑。證明瞞：因要為P∨Q=(摟P∧Q)所以{，}可以陶表示纏集合{，，}又因脫為{，，}是完銳備的放，即胞任何粥公式均可悅以由誼集合{，，}中聯(lián)郵結詞露表達顯出來貿的公爆式與哥之等徹價，所以看任何服公式均可泳以由影集合{，}中的待聯(lián)結始詞表扁達出配來的泛公式漏與之敲等價苗。故集搖合{，}是完雜備的近。定理申聯(lián)結伙詞的妥集合{，壤∨}是完杯備的萄。證明?。阂蚝餅镻∧Q=(虜P∨Q)所以{，∨}可以泛表示蘆集合{，，}又因精為{，，}是完硬備的獎，即突任何帶公式均可隆以由嗓集合{，，}中聯(lián)尚結詞代表達律出來天的公幸式與詞之等回價，所以蘿任何江公式均可豆以由在集合{，∨}中的厭聯(lián)結身詞表后達出摟來的出公式兔與之挺等價嶼。故集堤合{，∨}是完迷備的亂。定理聯(lián)結擱詞的賭集合{，}是完獅備的掏。證明木：因變?yōu)镻Q=P∨Q所以P∨Q=P歉Q即{，}可以愧表示夠集合{，}又因血為{，}是完扔全備抵的，達即任樣何公克式均可援以由燦集合{，}中聯(lián)出結詞植表達挪出來錫的公醫(yī)式與組之等沈價，所以惰任何幻玉公式均可聞以由勢集合{，}中的恰聯(lián)結紅詞表丸達出捏來的晚公式尺與之視等價菊。故集埋合{，}是完枝備的升。與非:停PQPQ扛=（P怎∧Q）PQPQTTFTFTFTTFFT定理2(穴p8乎)聯(lián)結該詞的恭集合{↑}是完背備的打。證明帽：顯站然，劑有：P=PPP∧Q=水（PQ）所以{}可以倡表示灑集合{，∧}又因嘩為{，∧}是完賴備的室，即司任何壞公式樂均可抱以由沿集合{，∧}中的度聯(lián)結獨詞表凍達出應來的性公式鑼與之尋等價亮，所以私任何腰公式璃均可膽以由青集合{}中的街聯(lián)結副詞表暫達出熱來的乓公式翼與之間等價慨。故集圈合{}是完譯備的選?；蚍荘↓借Q=(P∨Q)定理炸：幣聯(lián)結哪詞的旨集合{↓估}是完隨備的丹。PQP↓Q

TT

FTF

FFT

FFF

T例(p哥8)試證很明聯(lián)織結詞思集合{∧友}不完膚備。證明淺：假父設{∧}是完噸備的根據(jù)著完備辮性的延定義閃知P=件Q1揚∧至Q陸2核∧千Q3伯∧農…們…堆∧Q償n當P，Q1合,斃Q2仰,誰Q3積,刷……球,辦Q球n全取頂為真望時，公式鬧左邊=F，公式訓右邊=T。顯然寸矛盾窄。故聯(lián)弱結詞北集合{∧}不完陰備。第一治章徑命堵題演志算基脊礎1.衛(wèi)1命題丸和聯(lián)厘結詞1.嘴2真假瞧性1.兵2.岡1解釋1.奔2.瓦2等價址公式1.暖2.咐3聯(lián)結藝詞的抱完備事集1.頌2.援4對偶紐奉式和胞內否廢式1.虛3范式多及其韻應用對偶駁式的定礙義定義侵：將慨任何籃一個絞不含矮蘊含黎詞和喪等價紋詞的湖命題篇演算千公式中的換為，換為后所塵得的鐮公式煮稱為的對偶望式，記晃為*。例斜已知廉公式=P（Q（RS））,則*=栗P（Q（RS））(*)炒*=紗P（Q（RS））例求如璃下公墾式的對逮偶式拆：=(吉PR)(P(QR)燭)解：PQ=PQPQ=(PQ昂)今(鑒PQ)=(PR)(通(PQR)(P(QR)倚))*=(PR)(步(PQR)(P(QR)份))注意越：求默合式瞎公式求的對睡偶式柜時，燈應先接消去鋒公式刃中的蠅蘊含刷詞和境等價丈詞。內否聚式的突定義定義祝：將紡任何釘命題撐演算田公式中的掩所有肯定琴形式測換為嚴否定朋形式陶、否定員形式輸換為族肯定牽形式后所大得的卸公式忠稱為的內否排式，記熟為。例浸如頂公式=P（Q（RS））則=P（Q（RS））（）=驕P（Q（RS））=例=(蝴PR)(P(QR)陷)求公敵式的對身偶式晌與內浩否式校。解：PQ=PQPQ=(PQ賽)夢(捎PQ)=(PR)(孩(PQR)(P(QR))意)*=(PR)(屆(PQR)(P(QR))攤)—=(P汁R)(維(P吹QR)(P(QR))顏)例=瓣(PQ)∨((爐QR)∨P)試寫橡出公犧式的對水偶式恩和內宏否式解：因為PQ=PQ,所以=塌(P純∨Q囑)∨咸((Q∨R)世∨P)于是*=慕(P堅∧Q姓)∧裁((Q∧R)活∧P)-=咱(P∨Q)松∨(巧(Q憤∨R沫)∨疊P)雙重殼對偶假式和精內否恩式性質1（*）*=初（）=例筍=熔(P訪∨Q傳)∨扮((Q∨R)酷∨P)*=睡(P借∧Q梨)∧鉤((Q∧R)逮∧P)(料*)末*=魄(P繭∨Q男)∨漸((Q∨R)循∨P)=-=郵(P∨Q)刃∨(命(Q讓∨R燃)∨玻P)(-)-=斜(P帶∨Q狡)∨負((Q∨R)擱∨P)=合取煎與析抖取的竭對偶蘭式和鉆內否礙式性質2松(俗A∨B)境*海=燥A蜻*∧B*(A∨B)—=攀A—∨B—(A∧B)劈燕*犁=纖A襲*∨B*(A∧B)—=屆A—∧B—對偶滿式和啦內否后式的艙否定定理1(斃p9壺)（A*）=（A）*（A）=（A）證明液可以恐模仿典定理2的證打明進么行，秋省略約定答在討經(jīng)論對熄偶式詳和內拾否式層的定邪理時諒，命賞題公其式中勿僅含圓有，和三個奮聯(lián)結飾詞，止即應先囑消去懶公式驚中的醒蘊含呆詞和印等價皺詞。定理2(神