PAGE北京大學(xué)附屬學(xué)校2023屆高一實(shí)驗(yàn)班選拔考試數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：90分鐘滿分：100分）友情提示：請(qǐng)將答案填于答題卷中，填于試卷上不得分。一、選擇題（每小題3分，共5題，在給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.是2的相反數(shù)，是9的算術(shù)平方根，則()A.5B.-5C.1D.2.設(shè)，，，則的大小關(guān)系是()A.B.C.D.3.從分別寫(xiě)有數(shù)字1、2、3、4、5的5張卡片中任意取出兩張，把第一張卡片上的數(shù)字作為十位數(shù)字，第二張卡片上的數(shù)字作為個(gè)位數(shù)字，組成一個(gè)兩位數(shù)，則所組成的數(shù)是3的倍數(shù)的概率是()A.B.C.D.4.設(shè)，，則的值為()A.B.C.D.5.已知，則的最大值是()A.2023B.2023C.2023D.2023二、填空題（每小題3分，共10小題）6.已知是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且,則；7.已知關(guān)于的不等式的解為，則不等式的解為；8.二次函數(shù)的圖像與軸正方向交于兩點(diǎn)，與軸正方向交于點(diǎn)，已知，，則；9.已知函數(shù)，則函數(shù)的最大值是；10.如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓．在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是；11.在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，某位同學(xué)為了求的值（結(jié)果用表示），設(shè)計(jì)如圖所示的幾何圖形，請(qǐng)你利用這個(gè)幾何圖形計(jì)算=；12.如圖，半徑為的四個(gè)小圓兩兩外切，并都內(nèi)切于半徑為的圓內(nèi)，則=；第10題第11題第12題13.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是；14.在數(shù)式變換中有：（其中為正整數(shù)），某位同學(xué)利用這個(gè)變換關(guān)系處理以下問(wèn)題：；現(xiàn)模仿該同學(xué)的處理方法，則下列式子的值：；15.定義：表示中的最小值，則的最大值是.三、解答題（共6小題，共55分）16．（本題6分）已知一棵樹(shù)AB直立于地面上，某次臺(tái)風(fēng)來(lái)襲將該樹(shù)刮斷，如圖所示，被刮傾斜15o后折斷倒在地上，樹(shù)的頂部恰好接觸到地面D，量得樹(shù)干的傾斜角米，求這棵樹(shù)AB原來(lái)的高度是多少？17．（本題8分）（Ⅰ）化簡(jiǎn)：；（Ⅱ）已知，求代數(shù)式的值.18．（本題8分）在直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與軸、軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，且使得的面積值等于.（Ⅰ）用表示；（Ⅱ）求面積的最小值.19．（本題10分）如圖，點(diǎn)D是上的一點(diǎn)，是外接圓上一點(diǎn)，使得，且，（點(diǎn)為外接圓的圓心）.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求外接圓的半徑.20.（本題10分）如圖，由條直線將平面分成若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)O，A，B均在正方形格子的頂點(diǎn)（格點(diǎn)）處，其中點(diǎn)O與點(diǎn)A位于同一水平線上，相距格，點(diǎn)O與點(diǎn)B位于同一豎直線上，相距格，且，互質(zhì).（Ⅰ）求證：邊上的格點(diǎn)個(gè)數(shù)為++1；（Ⅱ）若，在中（包括三條邊）共有67個(gè)格點(diǎn)，求，的值.21．（本題13分）定義為函數(shù)的特征數(shù)，以特征數(shù)為的函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn).（Ⅰ）若都是整數(shù)，且，求的值；（Ⅱ）若特征數(shù)為的函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)為A,B（其中A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為整數(shù)），與y軸的交點(diǎn)為C，求的面積.龍巖一中2023屆高一實(shí)驗(yàn)班選拔考試數(shù)學(xué)（答題卷）一、選擇題（每小題3分，共5題，在給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）題號(hào)12345答案二、填空題（每小題3分，共10小題）6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．；15．．三、解答題（共6小題，共55分）16．（本題6分）已知一棵樹(shù)AB直立于地面上，某次臺(tái)風(fēng)來(lái)襲將該樹(shù)刮斷，如圖所示，被刮傾斜15o后折斷倒在地上，樹(shù)的頂部恰好接觸到地面D，量得樹(shù)干的傾斜角米，求這棵樹(shù)AB原來(lái)的高度是多少？17．（本題8分）（Ⅰ）化簡(jiǎn)：；（Ⅱ）已知，求代數(shù)式的值.18．（本題8分）在直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與軸、軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，且使得的面積值等于.（Ⅰ）用表示；（Ⅱ）求面積的最小值.19．（本題10分）如圖，點(diǎn)D是上的一點(diǎn)，是外接圓上一點(diǎn)，使得，且，（點(diǎn)為外接圓的圓心）.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求外接圓的半徑.20.（本題10分）如圖，由條直線將平面分成若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)O，A，B均在正方形格子的頂點(diǎn)（格點(diǎn)）處，其中點(diǎn)O與點(diǎn)A位于同一水平線上，相距格，點(diǎn)O與點(diǎn)B位于同一豎直線上，相距格，且，互質(zhì).（Ⅰ）求證：邊上的格點(diǎn)個(gè)數(shù)為++1；（Ⅱ）若，在中（包括三條邊）共有67個(gè)格點(diǎn)，求，的值.21．（本題13分）定義為函數(shù)的特征數(shù)，以特征數(shù)為的函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn).（Ⅰ）若都是整數(shù)，且，求的值；（Ⅱ）若特征數(shù)為的函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)為A,B（其中A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為整數(shù)），與y軸的交點(diǎn)為C，求的面積.龍巖一中2023屆高一實(shí)驗(yàn)班選拔考試數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（每小題3分，共5題，在給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）題號(hào)12345答案CDBAD二、填空題（每小題3分，共10小題）6．66；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．；15．4．備注：第12題答案也可寫(xiě)成.三、解答題（共6小題，共55分）16．（本題6分）解：如圖，過(guò)A作AE⊥CD,垂足為E，由題意知：∠DAC=75o，因?yàn)椤螦DC=60o，在Rt△AED中，,所以DE=1米，……………1分,所以米，……………2分∠EAD=30o，在Rt△AEC中，∠CAE=45o=∠C，所以CE=,……………4分所以,所以米，……………5分所以AB=.……………6分17．（本題8分）解：（Ⅰ）原式=……………3分（Ⅱ）利用換元法，令，所以……8分18．（本題8分）解：（Ⅰ）令，得，，得所以兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，于是的面積為由題意，有解得……………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)，時(shí)，不等式中的等號(hào)成立.所以，面積的最小值為……………8分19．（本題10分）解：（Ⅰ）證明：因?yàn)樗?，∽，所以…………?分（Ⅱ）如圖，連接并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)E，連接AE，由（Ⅰ）可知∽,所以，，因?yàn)?，，所以…………?0分20.（本題10分）（Ⅰ）證明：由題意可得邊OA,OB上的格點(diǎn)共個(gè)，………1分接下來(lái)處理AB邊上的格點(diǎn)，因?yàn)榛ベ|(zhì)，假設(shè)線段上存在某一點(diǎn)（恰為格點(diǎn)且不在A,B兩點(diǎn)處），可設(shè)點(diǎn)到點(diǎn)的水平距離為，豎直距離為（，均為整數(shù)），則，即，………2分由互質(zhì),得是的倍數(shù)，它與矛盾………4分因此，假設(shè)不正確，即線段上（除兩點(diǎn)外）不存在格點(diǎn)，所以邊上的格點(diǎn)個(gè)數(shù)為++1.………5分（Ⅱ）以，為邊作一個(gè)矩形，則在中格點(diǎn)的個(gè)數(shù)與中格點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同，且只有兩點(diǎn)是公共的，而矩形中格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為…………6分因此，，，由，得，…………9分即.…………10分21．（本題13分）解：（Ⅰ）由題意得函數(shù)，因該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)，得整理得，……………………2分由知解得，……………4分又為整數(shù)，所以，即.…………………5分（Ⅱ）設(shè)A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且，由題意可得，為方程的兩根，………