學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2．3。2拋物線的幾何性質(zhì)［學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.了解拋物線的范圍、對稱性、頂點、焦點、準(zhǔn)線等幾何性質(zhì).2.會利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡單的拋物線問題．［知識鏈接]類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì),結(jié)合圖象，說出拋物線y2＝2px(p>0)的范圍、對稱性、頂點、離心率．怎樣用方程驗證？答案(1）范圍:x≥0，y∈R；(2）對稱性：拋物線y2＝2px（p〉0）關(guān)于x軸對稱;（3)頂點:拋物線y2＝2px(p>0）的頂點是坐標(biāo)原點;(4）離心率:拋物線上的點M到焦點的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比叫拋物線的離心率．用e表示，由定義可知e＝1。［預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p〉0)y2＝－2px(p〉0）x2＝2py(p>0）x2＝－2py（p>0)圖形性質(zhì)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R,y≥0x∈R，y≤0對稱軸x軸x軸y軸y軸頂點（0，0）離心率e＝12．焦點弦直線過拋物線y2＝2px(p〉0)的焦點F，與拋物線交于A(x1，y1）、B（x2，y2)兩點，由拋物線的定義知，|AF｜＝x1＋eq\f(p，2),｜BF｜＝x2＋eq\f(p,2）,故｜AB｜＝x1＋x2＋p.3．直線與拋物線的位置關(guān)系直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px（p〉0）的交點個數(shù)決定于關(guān)于x的方程k2x2＋2（kb－p）x＋b2＝0的解的個數(shù)．當(dāng)k≠0時,若Δ>0，則直線與拋物線有兩個不同的公共點;當(dāng)Δ＝0時，直線與拋物線有一個公共點;當(dāng)Δ〈0時,直線與拋物線沒有公共點．當(dāng)k＝0時，直線與拋物線的對稱軸平行或重合，此時直線與拋物線有一個公共點．直線斜率不存在時，依據(jù)圖象判斷公共點個數(shù)．要點一拋物線的幾何性質(zhì)例1拋物線的頂點在原點，對稱軸重合于橢圓9x2＋4y2＝36短軸所在的直線,拋物線焦點到頂點的距離為3，求拋物線的方程及拋物線的準(zhǔn)線方程．解橢圓的方程可化為eq\f（x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1,其短軸在x軸上，∴拋物線的對稱軸為x軸，∴設(shè)拋物線的方程為y2＝2px或y2＝－2px（p>0）．∵拋物線的焦點到頂點的距離為3，即eq\f（p,2)＝3，∴p＝6.∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝12x或y2＝－12x，其準(zhǔn)線方程分別為x＝－3或x＝3.規(guī)律方法（1）注意拋物線各元素間的關(guān)系:拋物線的焦點始終在對稱軸上，拋物線的頂點就是拋物線與對稱軸的交點，拋物線的準(zhǔn)線始終與對稱軸垂直，拋物線的準(zhǔn)線與對稱軸的交點和焦點關(guān)于拋物線的頂點對稱．（2)解決拋物線問題要始終把定義的應(yīng)用貫徹其中,通過定義的運用，實現(xiàn)兩個距離之間的轉(zhuǎn)化，簡化解題過程．跟蹤演練1已知雙曲線方程是eq\f（x2，8)－eq\f(y2,9)＝1，求以雙曲線的右頂點為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及拋物線的準(zhǔn)線方程．解因為雙曲線eq\f（x2，8)－eq\f（y2，9）＝1的右頂點坐標(biāo)為(2eq\r（2），0）,所以eq\f（p，2)＝2eq\r(2）,且拋物線的焦點在x軸正半軸上，所以，所求拋物線方程為y2＝8eq\r(2)x，其準(zhǔn)線方程為x＝－2eq\r(2）.要點二拋物線的焦點弦問題例2已知拋物線y2＝6x，過點P（4，1）引一條弦P1P2使它恰好被點P平分，求這條弦所在直線的方程及｜P1P2|.解設(shè)弦兩端點P1(x1，y1)，P2(x2，y2）．∵P1，P2在拋物線上，∴yeq\o\al(2，1)＝6x1，yeq\o\al(2，2)＝6x2。兩式相減，得（y1＋y2)(y1－y2）＝6(x1－x2）．∵y1＋y2＝2，∴k＝eq\f（y1－y2,x1－x2)＝eq\f（6,y1＋y2)＝3，∴直線的方程為y－1＝3（x－4)，即3x－y－11＝0。由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y2＝6x，,y＝3x－11，))得y2－2y－22＝0,∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22.∴|P1P2｜＝eq\r(1＋\f(1,9))eq\r(22－4×－22）＝eq\f(2\r(230）,3).規(guī)律方法(1)解決拋物線的焦點弦問題時，要注意拋物線定義在其中的應(yīng)用,通過定義將焦點弦長度轉(zhuǎn)化為端點的坐標(biāo)問題,從而可借助根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．(2）設(shè)直線方程時要特別注意斜率不存在的直線應(yīng)單獨討論．跟蹤演練2已知直線l經(jīng)過拋物線y2＝6x的焦點F，且與拋物線相交于A、B兩點．（1)若直線l的傾斜角為60°，求|AB｜的值；(2)若|AB|＝9,求線段AB的中點M到準(zhǔn)線的距離．解(1)因為直線l的傾斜角為60°,所以其斜率k＝tan60°＝eq\r（3）,又F(eq\f(3,2），0）．所以直線l的方程為y＝eq\r(3）（x－eq\f（3,2）)．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y2＝6x，，y＝\r(3)x－\f（3，2))）消去y得x2－5x＋eq\f（9,4)＝0。若設(shè)A（x1，y1)，B（x2，y2）．則x1＋x2＝5，而｜AB｜＝｜AF｜＋|BF|＝x1＋eq\f(p，2)＋x2＋eq\f（p，2）＝x1＋x2＋p?！鄚AB|＝5＋3＝8.(2）設(shè)A（x1，y1）,B（x2,y2)，由拋物線定義知｜AB｜＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq\f(p，2）＋x2＋eq\f（p,2)＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，所以x1＋x2＝6,于是線段AB的中點M的橫坐標(biāo)是3，又準(zhǔn)線方程是x＝－eq\f（3，2）,所以M到準(zhǔn)線的距離等于3＋eq\f(3,2)＝eq\f（9,2）。要點三直線與拋物線的位置關(guān)系例3已知拋物線的方程為y2＝4x，直線l過定點P（－2,1），斜率為k，k為何值時，直線l與拋物線y2＝4x：只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點？解由題意,設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x＋2）．由方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y－1＝kx＋2，，y2＝4x,))（＊）可得ky2－4y＋4(2k＋1）＝0.①(1)當(dāng)k＝0時,由方程①得y＝1。把y＝1代入y2＝4x，得x＝eq\f(1,4).這時,直線l與拋物線只有一個公共點（eq\f(1，4)，1)．(2)當(dāng)k≠0時，方程①的判別式為Δ＝－16（2k2＋k－1)．1°由Δ＝0,即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1，或k＝eq\f(1,2）。于是，當(dāng)k＝－1，或k＝eq\f（1，2）時，方程①只有一個解，從而方程組（＊)只有一個解．這時，直線l與拋物線只有一個公共點．2°由Δ>0，得2k2＋k－1<0，解得－1〈k<eq\f(1，2).于是,當(dāng)－1<k〈eq\f（1，2)，且k≠0時,方程①有兩個解，從而方程組（＊）有兩個解．這時，直線l與拋物線有兩個公共點．3°由Δ〈0，即2k2＋k－1〉0，解得k〈－1，或k>eq\f（1，2).于是，當(dāng)k<－1，或k〉eq\f（1，2)時,方程①沒有實數(shù)解,從而方程組（＊)沒有解．這時，直線l與拋物線沒有公共點．綜上，我們可得當(dāng)k＝－1,或k＝eq\f(1,2)，或k＝0時,直線l與拋物線只有一個公共點；當(dāng)－1〈k<eq\f(1,2),且k≠0時,直線l與拋物線有兩個公共點；當(dāng)k〈－1,或k〉eq\f（1，2）時，直線l與拋物線沒有公共點．規(guī)律方法直線與拋物線交點的個數(shù)，等價于直線方程、拋物線方程聯(lián)立得到的方程組解的個數(shù)．注意直線斜率不存在和得到的方程二次項系數(shù)為0的情況．跟蹤演練3如圖，過拋物線y2＝x上一點A(4，2）作傾斜角互補的兩條直線AB，AC交拋物線于B,C兩點，求證：直線BC的斜率是定值．證明設(shè)kAB＝k(k≠0)，∵直線AB，AC的傾斜角互補，∴kAC＝－k（k≠0)，∵AB的方程是y＝k（x－4)＋2。由方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝kx－4＋2,，y2＝x，)）消去y后，整理得k2x2＋（－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.∵A(4，2），B(xB，yB)是上述方程組的解．∴4·xB＝eq\f(16k2－16k＋4,k2)，即xB＝eq\f（4k2－4k＋1,k2)。以－k代換xB中的k，得xC＝eq\f(4k2＋4k＋1，k2),∴kBC＝eq\f（yB－yC,xB－xC)＝eq\f（kxB－4＋2－[－kxC－4＋2］，xB－xC）＝eq\f（kxB＋xC－8，xB－xC）＝eq\f（k\f（8k2＋2，k2)－8,\f（－8k，k2）)＝－eq\f（1,4).∴直線BC的斜率為定值．1．以x軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點且與x軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，則其方程為（)A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8xD．x2＝8y或x2＝－8y答案C解析設(shè)拋物線y2＝2px或y2＝－2px（p>0），p＝4。2．若拋物線y2＝x上一點P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點的距離，則點P的坐標(biāo)為(）A．（eq\f（1，4），±eq\f（\r（2),4)）B．(eq\f(1，8），±eq\f（\r（2),4)）C．（eq\f（1，4），eq\f(\r(2),4）)D．（eq\f（1,8）,eq\f（\r（2）,4））答案B解析由題意知,點P到焦點F的距離等于它到頂點O的距離,因此點P在線段OF的垂直平分線上，而F(eq\f（1，4），0）,所以P點的橫坐標(biāo)為eq\f(1，8)，代入拋物線方程得y＝±eq\f(\r（2)，4）,故點P的坐標(biāo)為(eq\f(1,8）,±eq\f(\r(2）,4）)，故選B.3．拋物線y＝4x2上一點到直線y＝4x－5的距離最短，則該點坐標(biāo)為()A．（1,2）B．(0，0）C．（eq\f(1,2)，1）D．（1,4）答案C解析因為y＝4x2與y＝4x－5不相交，設(shè)與y＝4x－5平行的直線方程為y＝4x＋m。聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝4x2，,y＝4x＋m）)?4x2－4x－m＝0。①設(shè)此直線與拋物線相切有Δ＝0，即Δ＝16＋16m＝0,∴m＝－1。將m＝－1代入①式，x＝eq\f(1，2），從而y＝1，所求點的坐標(biāo)為（eq\f（1,2)，1)．4．經(jīng)過拋物線y2＝2x的焦點且平行于直線3x－2y＋5＝0的直線l的方程是()A．6x－4y－3＝0B．3x－2y－3＝0C．2x＋3y－2＝0D．2x＋3y－1＝0答案A解析設(shè)直線l的方程為3x－2y＋c＝0，拋物線y2＝2x的焦點F（eq\f(1，2）,0)，所以3×eq\f(1，2)－2×0＋c＝0，所以c＝－eq\f(3,2）,故直線l的方程是6x－4y－3＝0.選A.1。討論拋物線的幾何性質(zhì)，一定要利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；利用幾何性質(zhì),也可以根據(jù)待定系數(shù)法求拋物線的方程．2．直線與拋物線有一個交點，是直線