第八講有限元法演示文稿目前一頁\總數(shù)五十頁\編于七點（5）伽遼金法簡單地說，將近似解的試探函數(shù)作為權函數(shù)。更簡潔的形式：伽遼金法的一般表達式引入變分等效積分形式目前二頁\總數(shù)五十頁\編于七點靜態(tài)線彈性有限元定解問題真實位移的變分，連續(xù)可導。在給定位移的邊界上，虛應變高斯定律張量形式矩陣形式8/9/20133目前三頁\總數(shù)五十頁\編于七點等效積分形式：與原有微分方程和定解條件完全等價。加權余量法：對場函數(shù)進行近似，令加權余量等于零。伽遼金法：加權函數(shù)與場函數(shù)的試探函數(shù)（基函數(shù)、形函數(shù)）相同。小結：伽遼金法是有限元法中使用最為普遍的。目前四頁\總數(shù)五十頁\編于七點基本概念偏微分方程和偏微分方程組：一個未知函數(shù)及其偏導數(shù)組成的方程叫偏微分方程，兩個以上未知函數(shù)及其偏導數(shù)組成的方程組叫偏微分方程組。方程組中未知函數(shù)和方程個數(shù)相等，叫封閉的偏微分方程組（或完全的）。偏微分方程的階和偏微分方程組的階：方程中偏導數(shù)的最高階次叫偏微分方程的階;偏微分方程組的階是方程組中各偏微分方程的階數(shù)之和。目前五頁\總數(shù)五十頁\編于七點線性、非線性和擬線性偏微分方程:a)方程中所有出現(xiàn)未知函數(shù)或其偏導數(shù)的項都是未知函數(shù)的一次式的方程叫線性方程b)未知函數(shù)項或未知函數(shù)偏導數(shù)項不是一次式的方程叫非線性方程；c)非線性方程中所有未知函數(shù)的最高階偏導數(shù)是一次式的方程叫擬線性方程。目前六頁\總數(shù)五十頁\編于七點齊次和非齊次偏微分方程偏微分方程分類：Auxx+2Buxy+Cuyy+Dux+Euy+f=0Δ（=B2–AC）>0：雙曲型，波動方程.Δ（=B2–AC）=0：拋物型，熱傳導方程.Δ（=B2–AC）<0：橢圓型，

位勢方程.目前七頁\總數(shù)五十頁\編于七點定解問題：偏微分方程+定解條件（邊界條件+初始條件）a)初值問題n階方程有n個初始條件，初始條件偏導數(shù)的最高階次是n–1.b)邊值問題i:第一類邊界條件（Dirichlet）,ii:第二類邊界條件（Neuman）,iii:第三類邊界條件（Robin）.目前八頁\總數(shù)五十頁\編于七點

偏微分方程的解a)解：使偏微分方程兩端恒等的有定義的函數(shù)叫偏微分方程的解.b)通解:對于n階方程，未知函數(shù)有m個自變量，其通解由n個獨立的滿足一定可微要求的函數(shù)組成，且每個函數(shù)有m–1個自變量.

uxyz=0,u=f1(x,y)+f2(x,z)+f3(y,z)

utt–c2uxx=0,u=f1(x+ct)+f2(x–ct).

c)定解問題的解：滿足邊界條件和初始條件的通解.目前九頁\總數(shù)五十頁\編于七點

線性疊加原理解的存在、唯一性和穩(wěn)定性解的性質a）橢圓形方程的極值只能在邊界達到。解在內部沒有弱間斷，解在邊界上間斷，在內部也是充分光滑的，邊界條件是封閉的.b）雙曲型方程沒有像橢圓形方程那樣的極值原理，解在內部可以有弱間斷，邊界條件不是封閉的。目前十頁\總數(shù)五十頁\編于七點

泛函與變分（Functionalandvariation）1．泛函函數(shù)的函數(shù)a)兩端固定的曲線長度：b)彈性桿的總勢能：c)溫度場泛函：式中f,u,T叫做泛函的容許函數(shù)：滿足一定邊界條件和連續(xù)性的所有函數(shù)有限元法的基本原理曲線長度總勢能溫度場泛函目前十一頁\總數(shù)五十頁\編于七點變分定義

a)容許函數(shù)的變分有限元法的基本原理目前十二頁\總數(shù)五十頁\編于七點目前十三頁\總數(shù)五十頁\編于七點i）

泛函的值由1個自變量的函數(shù)確定ii）泛函的值由有3個自變量的函數(shù)確定iii）泛函的值由有3個自變量的2個函數(shù)確定目前十四頁\總數(shù)五十頁\編于七點d）變分運算目前十五頁\總數(shù)五十頁\編于七點3．變分問題a)函數(shù)的極值問題（無約束和約束）b)變分問題：求泛函的極值函數(shù)c)泛函極值函數(shù)的必要條件d)歐拉方程目前十六頁\總數(shù)五十頁\編于七點有限元法的基本原理目前十七頁\總數(shù)五十頁\編于七點e)定解問題與變分問題此式即桿的平衡方程，它就是變分的歐拉方程。有限元法的基本原理i）

固定邊界變分問題與基本邊界條件兩端約束的彈性桿問題：目前十八頁\總數(shù)五十頁\編于七點ii）非固定邊界變分問題與自然邊界條件邊界條件：泛函：此式即桿的平衡方程目前十九頁\總數(shù)五十頁\編于七點一端約束（指定位移）的彈性桿解法1：Lagrange乘子法構造新泛函iii）含有約束條件的變分問題Lagrange乘子法與原定解問題完全等效，代價就是引入了新的求解變量目前二十頁\總數(shù)五十頁\編于七點解法2：罰函數(shù)法構造新泛函有限元法的基本原理當k無窮大時，則滿足第一類邊界條件。不引入新的求解變量。目前二十一頁\總數(shù)五十頁\編于七點小結：1.定解問題（微分方程加定解條件）等價于相應泛函取極值。2.泛函取極值就是有限元方法的理論基礎，將微分形式變成了積分形式。3.不是所有的定解問題都存在相應的泛函。4.不存在泛函的定解問題，可以直接用更廣義的加權余量法。目前二十二頁\總數(shù)五十頁\編于七點泛函的變分彈性長桿的定解問題微分方程定解條件對應泛函目前二十三頁\總數(shù)五十頁\編于七點近似函數(shù)表示的微分方程的殘差邊界條件的殘差其思想是使由近似函數(shù)表示的微分方程的殘差和邊界條件的殘差的加權積分為零

2．加權余量法直接從微分方程出發(fā)的一種積分方法。假設未知函數(shù)采用近似函數(shù)表達：有限元法的基本原理目前二十四頁\總數(shù)五十頁\編于七點伽遼金加權余量法弱形式與變分結果一致。分部積分伽遼金加權余量法

3．加權余量法弱形式：泛函取極值變分等于零可以看出，目前二十五頁\總數(shù)五十頁\編于七點取加權函數(shù)的試探函數(shù)與近似解的試探函數(shù)相同

加遼金有限元法解題過程1）構造加權殘差積分方程2）離散化3）單元分析4）總體分析5）建立和求解有限元方程組4．加遼金加權余量法目前二十六頁\總數(shù)五十頁\編于七點弱形式1）構造加權余量積分方程目前二十七頁\總數(shù)五十頁\編于七點b）單元的總體節(jié)點編號和局部節(jié)點編號，單元e=I，總體節(jié)點編號：1，2，局部節(jié)點編號：1，2；單元e=III，總體節(jié)點編號：3，4，局部節(jié)點編號：1，2。2）離散化目前二十八頁\總數(shù)五十頁\編于七點a)在自然坐標系中構造單元近似解：b）構造加權函數(shù)c）單元坐標：3）單元分析加權函數(shù)、近似解試探函數(shù)、坐標插值函數(shù)的類型一致目前二十九頁\總數(shù)五十頁\編于七點d）單元平衡方程目前三十頁\總數(shù)五十頁\編于七點a）建立選擇矩陣：4）總體分析目前三十一頁\總數(shù)五十頁\編于七點b)組集單元剛度矩陣c)組集等效節(jié)點載荷d）解以節(jié)點為未知量的方程組目前三十二頁\總數(shù)五十頁\編于七點熱傳導問題的有限元方法目前三十三頁\總數(shù)五十頁\編于七點1）傅里葉定律熱傳導方程1.一維問題熱流密度與溫度梯度成正比。q:單位時間、單位面積流過的熱量單位：W/(m·K)目前三十四頁\總數(shù)五十頁\編于七點2）平衡方程Q=cpmΔT比熱容：cp1千克的物質的溫度上升（或下降）1攝氏度所需的能量。單位：W·s/(kg·K)擴散率的單位：m^2/s目前三十五頁\總數(shù)五十頁\編于七點x=13m,t=1y,theta=0.1x=13m,t=6667y,theta=0.98目前三十六頁\總數(shù)五十頁\編于七點本構關系目前三十七頁\總數(shù)五十頁\編于七點目前三十八頁\總數(shù)五十頁\編于七點3）三維各向同性導熱材料目前三十九頁\總數(shù)五十頁\編于七點目前四十頁\總數(shù)