2021年高考理數(shù)真題試卷（全國乙卷）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（共12題；共60分）1.設2（z+QUOTE）+3(z-QUOTE)=4+6i，則z=（

）.A.

1-2i

B.

1+2i

C.

1+i

D.

1-i2.已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，則S∩T=（

）A.

QUOTE

B.

S

C.

T

D.

Z3.已知命題p：QUOTEx∈R，sinx＜1；命題q：QUOTEx∈R，e|x|≥1，則下列命題中為真命題的是（）A.

pQUOTEq

B.

QUOTEpQUOTEq

C.

pQUOTEq

D.

QUOTE(pVq)4.設函數(shù)f(x)=QUOTE，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A.

f(x-1)-1

B.

f(x-1)+1

C.

f(x+1)-1

D.

f(x+1)+15.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為（）A.

QUOTE

B.

QUOTE

C.

QUOTE

D.

QUOTE6.將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A.

60種

B.

120種

C.

240種

D.

480種7.把函數(shù)y=f(x)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的QUOTE1212倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移QUOTE個單位長度，得到函數(shù)y=sin(x-QUOTE)的圖像，則f(x)=（）A.

sin(QUOTE)

B.

sin(QUOTEx2+蟺12x2+蟺12)

C.

sin(QUOTE)

D.

sin(QUOTE)8.在區(qū)間（0，1）與（1，2）中各隨機取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于QUOTE7474的概率為（）A.

QUOTE7474

B.

QUOTE23322332

C.

QUOTE932932

D.

QUOTE2929.魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經》是關于測量的數(shù)學著作，其中第一題是測量海盜的高。如圖，點E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”。則海島的高AB=（）.A.

QUOTE

B.

QUOTE

C.

QUOTE

D.

QUOTE10.設a≠0，若x=a為函數(shù)QUOTE的極大值點，則（）A.

a＜b

B.

a＞b

C.

ab＜a2

D.

ab＞a211.設B是橢圓C：QUOTEx2a2+y2b2=1x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上頂點，若C上的任意一點P都滿足A.

QUOTE[22,1)[22,1)

B.

QUOTE[12,1)[12,1)

C.

QUOTE(0,22](0,22]

D.

QUOTE12.設QUOTEa=2ln1.01a=2ln1.01，QUOTEb=ln1.02b=ln1.02，QUOTEc=1.04-1A.

a＜b＜c

B.

b＜c＜a

C.

b＜a＜c

D.

c＜a＜b二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。（共4題；共20分）13.已知雙曲線C：QUOTE（m>0）的一條漸近線為QUOTE3x3x+my=0，則C的焦距為________.14.已知向量QUOTE=（1，3），b=（3，4），若（QUOTE-λQUOTE）⊥QUOTE，則λ=________。15.記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為QUOTE33，B=60°，a2+c2=3ac，則b=________.16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為________（寫出符合要求的一組答案即可）.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（共5題；共60分）17.某廠研究了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數(shù)據(jù)如下：舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為QUOTE和QUOTE，樣本方差分別記為s12和s22（1）求QUOTE，QUOTE，s12，s22；（2）判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果QUOTE-QUOTE≥QUOTE2s12+s2222s12+s22218.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M為BC的中點，且PB⊥AM，（1）求BC；（2）求二面角A-PM-B的正弦值。19.記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，bn為數(shù)列{Sn}的前n項和，已知QUOTE2Sn+1bn（1）證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；（2）求{an}的通項公式.20.設函數(shù)f（x）=ln（a-x），已知x=0是函數(shù)y=xf（x）的極值點。（1）求a；（2）設函數(shù)g（x）=QUOTE，證明：g（x）＜1.21.己知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F，且F與圓M：x2+（y+4）2=1上點的距離的最小值為4.（1）求p；（2）若點P在M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點，求QUOTEPAB的最大值.四、［選修4一4：坐標系與參數(shù)方程］（共1題；共10分）22.在直角坐標系xOy中，QUOTEC的圓心為C（2，1），半徑為1.（1）寫出QUOTEC的一個參數(shù)方程；（2）過點F（4，1）作QUOTEC的兩條切線，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條直線的極坐標方程.五、[選修4一5：不等式選講]（共1題；共10分）23.已知函數(shù)f（x）=|x-a|+|x+3|.（1）當a=1時，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）≥-a，求a的取值范圍.

2021年高考理數(shù)真題試卷（全國乙卷）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（共12題；共60分）1.設2（z+QUOTE）+3(z-QUOTE)=4+6i，則z=（

）.A.

1-2i

B.

1+2i

C.

1+i

D.

1-i【答案】C【考點】復數(shù)代數(shù)形式的混合運算【解析】【解答】設QUOTE所以a=b=1，所以z＝1+i。

故答案為：C

【分析】先設z的代數(shù)式，代入運算后由復數(shù)相等的條件，即可求得結果。2.已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，則S∩T=（

）A.

QUOTE

B.

S

C.

T

D.

Z【答案】C【考點】交集及其運算【解析】【解答】當n=2k

QUOTE時，S={s|s=4k+1,

QUOTE},

當n=2k+1

QUOTE時,S={s|s=4k+3,

QUOTE}

所以QUOTES,所以QUOTE,

故答案為：C.

【分析】分n的奇偶討論集合S。3.已知命題p：QUOTEx∈R，sinx＜1；命題q：QUOTEx∈R，e|x|≥1，則下列命題中為真命題的是（）A.

pQUOTEq

B.

QUOTE盧盧pQUOTEq

C.

pQUOTEq

D.

QUOTE盧盧(pVq)【答案】A【考點】全稱量詞命題，存在量詞命題，命題的否定，命題的真假判斷與應用【解析】【解答】因為命題P是真命題，命題q也是真命題，

故答案為：A

【分析】先判斷命題p，q的真假，然后判斷選項的真假。4.設函數(shù)f(x)=QUOTE，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A.

f(x-1)-1

B.

f(x-1)+1

C.

f(x+1)-1

D.

f(x+1)+1【答案】B【考點】函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)奇偶性的性質【解析】【解答】因為f(x)=QUOTE，所以函數(shù)的對稱中心是(-1,-1)，所以函數(shù)f(x)向右平移1個單位，再向上平移1個單位后關于（0，0）中心對稱，而四個選項中只有B滿足條件，

故答案為：B。

【分析】將函數(shù)變形為f(x)=

QUOTE=-1+2x+1=-1+2x+1后，判斷。5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為（）A.

QUOTE蟺2蟺2

B.

QUOTE

C.

QUOTE

D.

QUOTE【答案】D【考點】直線與平面所成的角【解析】【解答】如圖，連接AC，設AC與BD交于O，連接OD1,AD1,BP,設正方體的棱長為x，

因為D1P||OB||BD,且D1P=BO=QUOTE1212BD,所以四邊形OD1PB是平行四邊形，所以BP||OD1,所以QUOTE

即為所求的角，易證QUOTE平面BDD1B1,故QUOTEOD1,又QUOTEAO=12AC=12AD1AO=12AC=12AD1,所以QUOTE＝QUOTE蟺6蟺6.

故答案為：D

【分析】在正方體中，作輔助線，通過平移線，作出所要求的角。6.將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A.

60種

B.

120種

C.

240種

D.

480種【答案】C【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題【解析】【解答】由題意知，必須有2個人一組，其他各組只有1個人，所以分配方法是：QUOTEC52C41A33=240C52C47.把函數(shù)y=f(x)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的QUOTE1212倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移QUOTE蟺3蟺3個單位長度，得到函數(shù)y=sin(x-QUOTE蟺4蟺4)的圖像，則f(x)=（）A.

sin(QUOTE)

B.

sin(QUOTEx2+蟺12x2+蟺12)

C.

sin(QUOTE)

D.

sin(QUOTE)【答案】B【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式【解析】【解答】根據(jù)圖象平移的規(guī)律可知，將y=y=sin(x-QUOTE蟺4蟺4)的圖像上所有的點向左平移平移QUOTE蟺3蟺3個單位，縱坐標不變，得到QUOTEy=sin(x+蟺12),y=sin(x+蟺12),再把所得到的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍，即函數(shù)的周期變原來的2倍，就得到函數(shù)y=QUOTEsin(x2+蟺12a)sin8.在區(qū)間（0，1）與（1，2）中各隨機取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于QUOTE7474的概率為（）A.

QUOTE7474

B.

QUOTE23322332

C.

QUOTE932932

D.

QUOTE292【答案】B【考點】幾何概型【解析】【解答】不妨設這兩個數(shù)為a,b且0<a<1,1<b<2,在平面直角坐標系內，a,b的取值，

表示為一個正方四個頂點：(0,1),(1,0),(1,2),(0,2),且包括邊界在內的正方形區(qū)域。作直線a+b=

QUOTE7474，

滿足a+b>QUOTE7474的a,b取值的可行域如圖中陰影部分表示，

直線a+b＝QUOTE7474與正方形的兩個交點分別為QUOTE(34,1),(0,74)(34,1),(0,74),則可計算事件(a+bQUOTE>74>74R人svyf概率為P＝QUOTE,

故選B。

9.魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經》是關于測量的數(shù)學著作，其中第一題是測量海盜的高。如圖，點E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”。則海島的高AB=（）.A.

QUOTE

B.

QUOTE

C.

QUOTE

D.

QUOTE【答案】A【考點】解三角形的實際應用【解析】【解答】如圖，連接DF,直線DF交AB于M，

則AB＝AM+BM,設QUOTE則

QUOTE因為QUOTE,所以QUOTE所以QUOTE

故答案為：A.

【分析】通過作輔助線，(如圖)，然后利用解直角形的知識來解答。10.設a≠0，若x=a為函數(shù)QUOTE的極大值點，則（）A.

a＜b

B.

a＞b

C.

ab＜a2

D.

ab＞a2【答案】D【考點】二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的性質【解析】【解答】當a>0時，若a為極大值點，則(如圖1)，必有a<b,ab<a2.故B,C項錯；

當a<0時，若a為極大值點，則(如圖2)，必有a>b>a2,故A錯。

故答案為：D.

【分析】對a的正負進行討論，根據(jù)極值點的意義，作圖分析，得到正確選項。11.設B是橢圓C：QUOTEx2a2+y2b2=1x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上頂點，若C上的任意一點P都滿足A.

QUOTE[22,1)[22,1)

B.

QUOTE[12,1)[12,1)

C.

QUOTE(0,22](0,22]

D.

QUOTE【答案】C【考點】橢圓的定義，橢圓的簡單性質【解析】【解答】依題意，點B(0,b),設P(x0,y0),則有QUOTE

QUOTE移項并用十字相乘法得到：QUOTE

因為QUOTE恒成立，即QUOTE恒成立，

據(jù)此解得QUOTE，

故答案為：C。

【分析】由兩點間的距離公式，表示出|PB|2，再根據(jù)橢圓上任意點的縱坐標y0的取值范圍，解相關不等式得到結果。12.設QUOTEa=2ln1.01a=2ln1.01，QUOTEb=ln1.02b=ln1.02，QUOTEc=1.04-1A.

a＜b＜c

B.

b＜c＜a

C.

b＜a＜c

D.

c＜a＜b【答案】B【考點】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質，對數(shù)函數(shù)的圖象與性質【解析】【解答】構造函數(shù)f(x)=ln(1+x)-QUOTE1+2x+11+2x+1，則b-c=f(0.02)，則QUOTE當x>0時，QUOTE1+x=(1+x)2=(1+2x+x2>(1+2x1+x=(1+x)2=(1+2x+x2>(1+2x,

所以f/(x)<0,所以f(x)在QUOTE單調遞減，所以f(0.02)<f(0),即b-c<0,所以b<c;

再構造函數(shù)QUOTE則QUOTEa-c=g(0.01),a-c=g(0.01),而QUOTE,當QUOTE

所以QUOTE所以g(x)在（0，2）上單調遞增，所以QUOTE所以b<c<a,

故答案為：B

【分析】本題就在于構造恰當?shù)暮瘮?shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，從而解題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。（共4題；共20分）13.已知雙曲線C：QUOTE（m>0）的一條漸近線為QUOTE3x3x+my=0，則C的焦距為________.【答案】4【考點】雙曲線的定義，雙曲線的簡單性質【解析】【解答】因為又曲線方程C：QUOTE,一條漸近線是QUOTE，

所以雙曲線方程是QUOTE,

故答案為：4

【分析】由雙曲線漸近線的斜率可得到m的值，再進一步求得焦距的值。14.已知向量QUOTE=（1，3），b=（3，4），若（QUOTE-λQUOTE）⊥QUOTE，則λ=________?！敬鸢浮縌UOTE3535【考點】平面向量的坐標運算，平面向量數(shù)量積的運算，數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系【解析】【解答】因為QUOTE，所以QUOTE，

所以QUOTE，

故答案為：QUOTE35.35.

【分析】先計算出QUOTE的坐標式，再根據(jù)兩向量垂直，列式求解。15.記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為QUOTE33，B=60°，a2+c2=3ac，則b=________.【答案】QUOTE2222【考點】余弦定理，三角形中的幾何計算【解析】【解答】QUOTE

于是QUOTE

【分析】根據(jù)面積的值，計算出ac，再由余弦定理求解。16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為________（寫出符合要求的一組答案即可）.【答案】②⑤或③④【考點】由三視圖還原實物圖【解析】【解答】當俯視圖為④時，右側棱在左側，不可觀測到，所以為虛線，故選擇③為側視圖；

當俯視圖為⑤時，左側棱在左側可觀測到，所以為實線，故選擇②為側視圖，

故答案為：②⑤或③④

【分析】分情況討論各種視圖的位置關系。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（共5題；共60分）17.某廠研究了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數(shù)據(jù)如下：舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為QUOTE和QUOTE，樣本方差分別記為s12和s22（1）求QUOTE，QUOTE，s12，s22；（2）判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果QUOTE-QUOTE≥QUOTE2s12+s2222s12+s222【答案】（1）解：各項所求值如下所示QUOTE=QUOTE110110(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0QUOTE=QUOTE110110(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3QUOTEs12s12=QUOTE110110x[(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.36，QUOTEs22s22=QUOTE110110x[(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.4.

（2）由(1)中數(shù)據(jù)得QUOTE-QUOTE=0.3，2QUOTEs12+s2210s12+s2210顯然QUOTE-QUOTE＜2QUOTEs12+s2210s12+s2210【考點】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，極差、方差與標準差【解析】【分析】（1）先計算新舊樣本平均數(shù)QUOTEx,yx,y，再直接用公式計算s12，s22；

(2)由(1)中的數(shù)據(jù)，計算得：QUOTE-QUOTE=0.3，2QUOTEs12+s2210s12+s2210≈0.34，顯然QUOTE-QUOTE＜2QUOTEs12+s2210s12+s2218.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M為BC的中點，且PB⊥AM，（1）求BC；（2）求二面角A-PM-B的正弦值?！敬鸢浮浚?）解：因為PD⊥平面ABCD，且矩形ABCD中，AD⊥DC，所以以QUOTE，QUOTE，QUOTE分別為x，y，z軸正方向，D為原點建立空間直角坐標系D-xyz。設BC=t，A（t，0，0），B（t，1，0），M（QUOTEt2t2，1，0），P(0，0，1)，所以QUOTE=（t，1，-1），QUOTE=（QUOTE，1，0），因為PB⊥AM，所以QUOTE?QUOTE=-QUOTEt22t22+1=0，所以t=QUOTE22，所以BC=QUOTE22。

（2）設平面APM的一個法向量為QUOTE=（x，y，z），由于QUOTE=（-QUOTE22，0，1），則令x=QUOTE22，得QUOTE=（QUOTE22，1，2）。設平面PMB的一個法向量為QUOTE=（xt，yt，zt），則令QUOTEytyt=1，得QUOTE=(0，1，1).所以cos（QUOTE，QUOTE）=QUOTE=QUOTE=QUOTE3141431414，所以二面角A-PM-B的正弦值為QUOTE70147014.【考點】向量方法證明線、面的位置關系定理，用空間向量求直線與平面的夾角【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，定義相關點的坐標，通過計算求解；（2）呈上，分別求二面角的兩個平面的法向量，用法向量的夾角計算。19.記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，bn為數(shù)列{Sn}的前n項和，已知QUOTE2Sn+1bn（1）證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；（2）求{an}的通項公式.【答案】（1）由已知QUOTE2Sn2Sn+QUOTE1bn1bn=2，則QUOTEbnbn+1bnQUOTE+QUOTE1bn1bn=2QUOTE2bn-1+2=2bnQUOTEbn-bn-1=QUOTE1212(n≥2)，b1=QUOTE3232故｛bn｝是以QUOTE3232為首項，QUOTE1212為公差的等差數(shù)列。

（2）由（1）知bn=QUOTE3232+（n-1）QUOTE1212=QUOTEn+22n+22，則QUOTE2Sn2Sn+QUOTE2n+22n+2=2QUOTESn=QUOTEn+2n+1n+2n+1n=1時，a1=S1=QUOTE3232n≥2時，an=Sn-Sn-1=QUOTEn+2n+1n+2n+1-QUOTEn+1nn+1n=QUOTE故an=QUOTE【考點】等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的前n項和，數(shù)列遞推式【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列及前n項和的定義，由遞推關系，求證。（2）呈上，先寫出bn,再求{bn}前n磺的和Sn，再由an與Sn的關系，進一步求得結果。20.設函數(shù)f（x）=ln（a-x），已知x=0是函數(shù)y=xf（x）的極值點。（1）求a；（2）設函數(shù)g（x）=QUOTE，證明：g（x）＜1.【答案】（1）[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)當x=0時，[xf(x)]′=f(0)=lna=0，所以a=1

（2）由f(x)=ln(1-x)，得x＜1當0＜x＜1時，f(x)=ln(1-x)＜0，xf(x)＜0；當x＜0時，f(x)=ln(1-x)＞0，xf(x)＜0故即證x+f(x)＞xf(x)，x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0令1-x=t(t＞0且t≠1)，x=1-t，即證1-t+lnt-(1-t)lnt＞0令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt，則f′(t)=-1-QUOTE1t1t-[(-1)lnt+QUOTE]=-1+QUOTE1t1t+lnt-QUOTE=lnt所以f(t)在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，故f(t)＞f（1）=0，得證?！究键c】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用【解析】【分析】（1）先對函數(shù)y=xf（x）求導：[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)，因為x=0是方程的根，代入求得a值。

（2）首先由（1）寫出函數(shù)f(x),并求其定義域，將問題轉化為證明x+f(x)＞xf(x)，即證：x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0，然后通過換元，構造函數(shù)，用導數(shù)研究相關函數(shù)的單調性，從而證明命題成立。21.己知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F，且F與圓M：x2+（y+4）2=1上點的距離的最小值為4.（1）求p；（2）若點P在M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點，求QUOTEPAB的最大值.【答案】（1）解：焦點QUOTEF(0,P2)F(0,P2)到QUOTEx2+(y+4)2=1x2+(y+4)2=1的最短距離為QUOTEP2+3=4P2+3=4，所以p=2.

（2）拋物線QUOTEy=14x2y=14x2，設QUOTE，QUOTE，且QUOTE.QUOTElPAlPA，QUOTElPBlPB都過點P(x0，y0），則QUOTE故QUOTE，即QUOTE.聯(lián)立QUOTE{y=12x0x-y0x2=4