無套利定價原則無套利定價原理一.什么是套利以及幾個例子？商業(yè)貿(mào)易中的”套利”行為？例如1：一個貿(mào)易公司在與生產(chǎn)商甲簽訂一筆買進(jìn)10噸銅合同的同時，與需求商

乙

簽訂一筆賣出10噸銅合同：即貿(mào)易公司與生產(chǎn)商甲約定以55,000元/噸的價格從甲那里買進(jìn)10噸銅，同時與需求商乙約定把這買進(jìn)的10噸銅以57,000元/噸的價格賣給乙，并且交貨時間相同。這樣，1噸銅賺取差價2,000元/噸。

24月24日ETF50套利34月24日ETF180套利44月25日ETF50套利54月25日ETF180套利6金牛能源與轉(zhuǎn)債之間套利的例子7轉(zhuǎn)股價10.81元，100元轉(zhuǎn)9.2507股,134.6元8無風(fēng)險套利的定義

在金融理論中，套利指一個能產(chǎn)生無風(fēng)險盈利的交易策略。這種套利是指純粹的無風(fēng)險套利。但在實際市場中，套利一般指的是一個預(yù)期能產(chǎn)生很低風(fēng)險的盈利策略，即可能會承擔(dān)一定的低風(fēng)險。

9二.無套利定價原理金融市場上實施套利行為變得非常的方便和快速。這種套利的便捷性也使得金融市場的套利機會的存在總是暫時的，因為一旦有套利機會，投資者就會很快實施套利而使得市場又回到無套利機會的均衡中。因此，無套利均衡被用于對金融產(chǎn)品進(jìn)行定價。金融產(chǎn)品在市場的合理價格是這個價格使得市場不存在無風(fēng)險套利機會，這就是“無風(fēng)險套利定價”原理或者簡稱為“無套利定價”原理。什么情況下市場不存在套利機會呢？我們先看一下無風(fēng)險套利機會存在的等價條件：10無風(fēng)險套利機會存在的等價條件

（1）存在兩個不同的資產(chǎn)組合，它們的未來損益（payoff）相同，但它們的成本卻不同；在這里，可以簡單把損益理解成是現(xiàn)金流。如果現(xiàn)金流是確定的，則相同的損益指相同的現(xiàn)金流。如果現(xiàn)金流是不確定的，即未來存在多種可能性（或者說存在多種狀態(tài)），則相同的損益指在相同狀態(tài)下現(xiàn)金流是一樣的。11（2）存在兩個相同成本的資產(chǎn)組合，但是第一個組合在所有的可能狀態(tài)下的損益都不低于第二個組合，而且至少存在一種狀態(tài)，在此狀態(tài)下第一個組合的損益要大于第二個組合的損益。（3）一個組合其構(gòu)建的成本為零，但在所有可能狀態(tài)下，這個組合的損益都不小于零，而且至少存在一種狀態(tài)，在此狀態(tài)下這個組合的損益要大于零。12上述無套利機會的存在等價性條件

（1）同損益同價格：如果兩種證券具有相同的損益，則這兩種證券具有相同的價格。（2）靜態(tài)組合復(fù)制定價：如果一個資產(chǎn)組合的損益等同于一個證券，那么這個資產(chǎn)組合的價格等于證券的價格。這個資產(chǎn)組合稱為證券的“復(fù)制組合”（replicatingportfolio）。13（3）動態(tài)組合復(fù)制定價：如果一個自融資（self-financing）交易策略最后具有和一個證券相同的損益，那么這個證券的價格等于自融資交易策略的成本。這稱為動態(tài)套期保值策略（dynamichedgingstrategy）。所謂自融資交易策略簡單地說，就是交易策略所產(chǎn)生的資產(chǎn)組合的價值變化完全是由于交易的盈虧引起的，而不是另外增加現(xiàn)金投入或現(xiàn)金取出。一個簡單的例子就是購買并持有(buyandhold)策略。14三.確定狀態(tài)下無套利定價原理的應(yīng)用

1、同損益同價格（例子2）假設(shè)兩個零息票債券A和B，兩者都是在1年后的同一天到期，其面值為100元（到期時都獲得100元現(xiàn)金流，即到期時具有相同的損益）。如果債券A的當(dāng)前價格為98元，并假設(shè)不考慮交易成本和違約情況。問題：（1）債券B的當(dāng)前價格應(yīng)該為多少呢？（2）如果債券B的當(dāng)前價格只有97.5元，問是否存在套利機會？如果有，如何套利？152、靜態(tài)組合復(fù)制定價（例子3）假設(shè)3種零息票的債券面值都為100元，它們的當(dāng)前市場價格分別為：①1年后到期的零息票債券的當(dāng)前價格為98元；②2年后到期的零息票債券的當(dāng)前價格為96元；③3年后到期的零息票債券的當(dāng)前價格為93元；并假設(shè)不考慮交易成本和違約。問題：（1）如果息票率為10％，1年支付1次利息的三年后到期的債券A的當(dāng)前價格應(yīng)該為多少？（2）如果息票率為10％，1年支付1次利息的三年后到期的債券A的當(dāng)前價格為120元，問是否存在套利機會？如果有，如何套利？16對于第一個問題，我們只要按照無套利定價原理的推論（2），去構(gòu)造一個“復(fù)制組合”就可以了。先看一個息票率為10％，1年支付1次利息的三年后到期的債券的損益情況。面值為100元，息票率為10％，所以在第1年末、第2年末和第3年末的利息為100×10％＝10元，在第3年末另外還支付本金面值100元。如圖所示：

1年末2年末3年末101011017構(gòu)造相同損益的復(fù)制組合為：（1）購買0.1張的1年后到期的零息票債券，其損益剛好為100×0.1＝10元；（2）購買0.1張的2年后到期的零息票債券，其損益剛好為100×0.1＝10元；（3）購買1.1張的3年后到期的零息票債券，其損益剛好為100×1.1＝110元；所以上面的復(fù)制組合的損益就與圖所示的損益一樣，因此根據(jù)無套利定價原理的推論（2），具有相同損益情況下證券的價格就是復(fù)制組合的價格，所以息票率為10％，1年支付1次利息的三年后到期的債券的當(dāng)前價格應(yīng)該為：0.1×98＋0.1×96＋1.1×93＝121.718對于第二個問題，其原理與例子2類似，債券A的當(dāng)前價格為120元，小于應(yīng)該價格121.7元，因此根據(jù)無套利定價原理，存在套利機會。當(dāng)前市場價格為120元，而無套利定價的價格為121.7元，所以市場低估了這個債券的價值，則應(yīng)該買進(jìn)這個債券，然后賣空無套利定價原理中的復(fù)制組合。即基本的套利策略為：（1）買進(jìn)1張息票率為10％，1年支付1次利息的三年后到期的債券A；（2）賣空0.1張的1年后到期的零息票債券；（3）賣空0.1張的2年后到期的零息票債券；（4）賣空1.1張的3年后到期的零息票債券；193、動態(tài)組合復(fù)制定價（例子4）假設(shè)從現(xiàn)在開始1年后到期的零息票債券的價格為98元。從1年后開始，在2年后到期的零息票債券的價格也為98元。并且假設(shè)不考慮交易成本和違約情況。問題：（1）從現(xiàn)在開始2年后到期的零息票債券的價格為多少呢？（2）如果現(xiàn)在開始2年后到期的零息票債券價格為97元，問是否存在套利機會？如果有，如何套利？20與例子3不同的是，在這個例子中我們不能簡單地在當(dāng)前時刻就構(gòu)造好一個復(fù)制組合，而必須進(jìn)行動態(tài)地交易來構(gòu)造復(fù)制組合。我們要運用無套利定價原理的第三個推論。現(xiàn)在看一下如何進(jìn)行動態(tài)地構(gòu)造套利組合呢？21(1)從現(xiàn)在開始1年后到期的債券Z0×1第1年末損益:100價格:98(2)1年后開始2年后到期的債券Z1×2第2年末損益:100價格:98(3)從現(xiàn)在開始2年后到期的債券Z0×2第2年末損益:100價格:？22按照無套利定價原理的第三個推論，自融資交易策略的損益等同于一個證券的損益時，這個證券的價格就等于自融資交易策略的成本。這個自融資交易策略就是：（1）先在當(dāng)前購買0.98份的債券Z0×1；（2）在第1年末0.98份債券Z0×1到期，獲得0.98×100＝98元；（3）在第1年末再用獲得的98元去購買1份債券Z1×2；這個自融資交易策略的成本為：98×0.98＝96.0423交易策略現(xiàn)金流當(dāng)前第1年末第2年末(1)購買0.98份Z0×1-98×0.98=-96.040.98×100=98

(2)在第1年末購買1份Z1×2

-98100合計：-96.04010024存在交易成本時的無套利定價原理

當(dāng)存在這些交易成本時，上面的無套利定價原理的幾個推論就可能不再適用了。因為存在交易成本，那么所構(gòu)造的套利策略也就不一定能盈利。因為，通過套利策略獲得的盈利可能還不夠支付交易成本。所以，無套利定價原理這時候就不能給出金融產(chǎn)品的確切價格，但可以給出一個產(chǎn)品的價格區(qū)間，或者說價格的上限和下限。

25例子5假設(shè)兩個零息票債券A和B，兩者都是在1年后的同一天到期，其面值為100元（到期時都獲得100元現(xiàn)金流，即到期時具有相同的損益）。假設(shè)購買債券不需要費用和不考慮違約情況。但是假設(shè)賣空1份債券需要支付1元的費用，并且出售債券也需要支付1元的費用。如果債券A的當(dāng)前價格為98元。問題：（1）債券B的當(dāng)前價格應(yīng)該為多少呢？（2）如果債券B的當(dāng)前價格只有97.5元，是否存在套利機會？如果有，如何套利呢？26案例6假設(shè)兩個零息票債券A和B，兩者都是在1年后的同一天到期，其面值為100元（到期時都獲得100元現(xiàn)金流，即到期時具有相同的損益）。假設(shè)不考慮違約情況。但是假設(shè)賣空1份債券需要支付1元的費用，出售債券也需要支付1元的費用，買入1份債券需要0.5元費用。如果債券A的當(dāng)前價格為98元。問題：（1）債券B的當(dāng)前價格應(yīng)該為多少呢？（2）如果債券B的當(dāng)前價格只有97.5元，是否存在套利機會？如果有，如何套利呢？27四.不確定狀態(tài)下無套利定價原理例子在上一節(jié)的債券案例中，未來的損益（現(xiàn)金流）都是在當(dāng)前就確定的，但實際市場中很多產(chǎn)品的未來損益是不確定的，要根據(jù)未來的事件而確定。比如，一個股票看漲期權(quán)，當(dāng)?shù)狡谌展善眱r格大于執(zhí)行價格時，這個期權(quán)可獲得正的損益，為到期日股票價格減去執(zhí)行價格；但是，如果到期日股票價格小于等于執(zhí)行價格，則這個期權(quán)到期日損益為零，即沒有價值。因此，期權(quán)的損益是不確定的，它依賴于未來的股票價格。下面討論這種未來損益不確定情況下的無套利定價原理。281、同損益同價格（例子7）假設(shè)有一風(fēng)險證券A，當(dāng)前的市場價格為100元，1年后的市場價格會出現(xiàn)兩種可能的狀態(tài)：在狀態(tài)1時證券A價格上升至105元，在狀態(tài)2時證券A價格下跌至95元。同樣，也有一證券B，它在1年后的損益為，在狀態(tài)1時上升至105，在狀態(tài)2時下跌至95元。另外，假設(shè)不考慮交易成本。問題：（1）證券B的合理價格為多少呢？（2）如果B的價格為99元，是否存在套利？如果有，如何套利？29案例7與前面幾個案例的不同地方在于，前面案例中的資產(chǎn)為債券，其未來的損益為確定的，即在某一時間時只有一種狀態(tài)，以概率100%發(fā)生。但本案例中的資產(chǎn)為風(fēng)險證券，其未來的損益出現(xiàn)兩種可能，可能上漲，也可能下跌，即未來的狀態(tài)不確定。但根據(jù)無套利定價原理，只要兩種證券的損益完全一樣，那么它們的價格也會一樣。所以，證券B的合理價格也應(yīng)該為100元。302、靜態(tài)組合復(fù)制定價（案例8）假設(shè)有一風(fēng)險證券A，當(dāng)前的市場價格為100元，1年后的市場有兩種狀態(tài)，在狀態(tài)1時證券A價格上升至105元，在狀態(tài)2時證券A價格下跌至95元。同樣，也有一證券B，它在1年后的損益為，狀態(tài)1時上升至120元，狀態(tài)2時下跌至110元。另外，假設(shè)借貸資金的年利率為0，不考慮交易成本。問題：（1）證券B的合理價格為多少呢？ （2）如果證券B的現(xiàn)在價格為110元，是否存在套利？如果有，如何套利？31案例8中證券B的損益與證券A不同，兩個證券的損益狀態(tài)如圖4所示?，F(xiàn)在考慮如何利用證券A和無風(fēng)險債券來構(gòu)建一個與證券B損益相同的組合

10010595風(fēng)險證券APB120110風(fēng)險證券B11.01.0資金借貸32構(gòu)建一個組合：x份證券A和y份的借貸（y大于零為借出錢，y小于零為借入錢）。要使得組合的損益與B的損益完全相同，則：33解得：x＝1，y＝15。因此，買人1份證券A，再借出現(xiàn)金15份的組合的損益與證券B的損益完全相同，所以證券B的價格等于組合的價格：即1×100＋15×1＝115元34當(dāng)證券B的現(xiàn)在價格為110元，存在套利機會構(gòu)造一個套利策略：買進(jìn)證券B，再賣空上面的等損益組合，1份證券A和15份現(xiàn)金。所以整個套利組合為：買進(jìn)證券B，賣空證券A，借入資金15。買進(jìn)證券B的成本為110元，賣空證券A可得到100元，借入資金15所以還剩下5，這部分實際上就是套利策略的盈利。因為期末的現(xiàn)金流為0。這個組合的期初和期末現(xiàn)金流可見表2-3。35

期初時刻的現(xiàn)金流期末時刻的現(xiàn)金流第一種狀態(tài)第二種狀態(tài)(1)買進(jìn)B-110120110(2)賣空A100-105-95(3)借入資金1515-15-15合計500363、動態(tài)組合復(fù)制定價（案例9）把案例8中的市場未來狀態(tài)，從兩種狀態(tài)擴展到3種狀態(tài)。風(fēng)險證券A在1年后的未來損益為，狀態(tài)1時110.25，狀態(tài)2時99.75，狀態(tài)3時90.25。同樣，也有一證券B，它在1年后三種狀態(tài)下的未來損益分別為125，112.5和109如圖2-5。另外，假設(shè)借貸資金的年利率為5.06％，半年利率為2.5%，不考慮交易成本。問題：（1）B的合理價格為多少呢？（2）如果B的價格為110元，是否存在套利？如果有，如何套利？37100110.2599.75風(fēng)險證券A風(fēng)險證券B資金借貸90.25PB125112.510911.05061.05061.050638而上述方程卻無解。為什么呢？因為當(dāng)損益存在三種狀態(tài)時，僅僅依靠兩種證券的組合是無法復(fù)制出任意一種三狀態(tài)的證券的。這在金融學(xué)中稱為“不完全市場”。

110.25x＋1.0506y＝12599.75x＋1.0506y＝112.590.25x＋1.0506y＝10939但在1954年，

Arrow和Debreu就證明在某些條件下，隨著時間而調(diào)整組合的動態(tài)組合策略可復(fù)制出市場中不存在的證券。

40下面我們看一下如何通過證券A和資金借貸的動態(tài)組合復(fù)制出證券B。所謂動態(tài)指的是變化，所以我們把1年的持有期拆成兩個半年，這樣在半年后就可調(diào)整組合。假設(shè)證券A在半年后的損益為兩種狀態(tài)，分別為105元和95元。但證券B在半年后兩種狀態(tài)下的損益值事先不知道。證券A和B的損益如圖2-6所示，而資金借貸的損益如圖2-7所示。41

證券A和B的兩期三狀態(tài)損益圖

110.2599.75風(fēng)險證券A風(fēng)險證券B90.2510010595PBB1B2125112.5109421.05061.05061.050611.0251.02543

動態(tài)組合復(fù)制過程示意圖

110.2599.7590.2510010595原始組合：(1)持有1份A(2)持有現(xiàn)金13.56（借出）操作：賣出0.632份A組合為：(1)持有0.368份A(2)持有現(xiàn)金73.94操作：買進(jìn)0.19份A組合為：(1)持有1.19份A(2)借入現(xiàn)金6.05組合的損益為：125112.510944五.無套利定價原理的一般理論

不確定狀態(tài)下的無套利定價原理的最簡單模型――Arrow-Debreu模型

451、市場環(huán)境假設(shè)假設(shè)市場中有N個證券，s1,s2,s3,…,sN。投資者一開始持有這些證券的組合，而后在持有期結(jié)束后獲得這些組合的損益。假設(shè)僅有兩個投資時刻，開始時刻0和結(jié)束時刻1。投資者可持有這些證券及它們的組合的多頭（買進(jìn)）或空頭（賣出），持有多頭相當(dāng)于在結(jié)束時刻獲得證券的損益，而持有空頭則相當(dāng)于在結(jié)束時刻要付出證券的損益。46假設(shè)第i種證券在初始0時刻的價格為pi，則N種證券的價格向量為：它們在未來1時刻的損益有M種可能狀態(tài)，第i種證券在第j種狀態(tài)下的損益為dij，則這些證券的損益矩陣為：

D＝（dij），i=1～N，j=1～MD的第j列D.j表示1時刻時處于第j種狀態(tài)下1個單位的N種證券的損益向量。假設(shè)損益矩陣D的值對于投資者是已知的，但是投資者無法提前知道在1時刻這些證券處于M種狀態(tài)中的哪一種狀態(tài)，當(dāng)然在同一時刻這些證券都是處于同一種狀態(tài)下。47證券組合用向量θ表示：θ=(θ1,θ2,…,θN)其中θi表示持有的第i種證券的數(shù)量，當(dāng)投資者持有第i種證券的多頭時，θi>0；否則θi<0時，它表示持有第i種證券的空頭（持有空頭相當(dāng)于先借入證券，而在期末時買入證券歸還，所有持有空頭在期末時必須付出證券的損益）。48再假設(shè)市場是無摩擦的，即不考慮交易費用，稅收等。投資者可擁有任意單位的證券，即θi可以不是整數(shù)，為一實數(shù)。證券組合θ在初始0時刻的價格則為： （2-1）這個組合在第j種狀態(tài)下的損益則為：