第7講平面向量的數(shù)量積及坐標表示知識與方法本專題主要內容是向量數(shù)量積的定義、投影向量、數(shù)量積的幾何意義、數(shù)量積的坐標表示、向量的模長公式、兩個向量的夾角計算公式等.數(shù)量積有四種不同形式:原始定義、幾何意義、極化恒等式、余弦定理形式.解題時選擇合適的基底或建立平面直角坐標系表示向量及其數(shù)量積,要能因“題”制宜,靈活運用,合理選擇其中一種形式進行求解.1.數(shù)量積的定義,其中是與的夾角,的取值范圍是.投影向量如圖,設是兩個非零向量,在平面內任取一點,作,過點作直線的垂線,垂足為,我們把叫做向量在上的投影向量.3.數(shù)量積的幾何意義與的數(shù)量積等于與在方向上的投影向量的數(shù)量積.4.數(shù)量積的坐標表示及性質坐標表示:若,則.(1)；(解決垂直問題)(2);(求向量的長度)(3);(求向量的夾角)(4).(當時取等號)5.極化恒等式.6.余弦定理形式.典型例題【例1】已知,若與的夾角為,求的值.【例2】已知都是非零向量,且與垂直,與垂直,求向量與的夾角.【例3】設兩個向量滿足的夾角為,若向量.與的夾角為鈍角,求實數(shù)的取值范圍.【例4】已知是空間單位向量,.,若空間向量滿足,且A. B. C. D.【例5】已知e1，e2是空間單位向量，e1·e2=12，若空間向量b滿足b·e1==2，b·e2=52，且對于任意,則_____.【例6】已知平面向量滿足,且與的夾角為,則的取值范圍是_____.【例7】已知是平面內兩個互相垂直的單位向量,若向量滿足,則的最大值是（）A.1 B.2 C. D.【例8】已知向量,點滿足,若,且,則的取值范圍是_____.【例9】已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內一點,則PA?(PB+A. B. C. D.【例10】已已知點為的外心,若,則的取值范圍是()A.B.C.D.【例11】已知是平面內兩個互相垂直的單位向量,若向量滿足,則最小值為_____.強化訓練1.設為單位向量,非零向量.若的夾角為,則的最大值等于_____.2.已知都是非零向量,且,求向量與的夾角的正弦值.3.已知平面上的三點,若為鈍角,則的取值范圍是()A. B. C. D.且4.設為兩個非零向量的夾角,已知對任意的實數(shù)的最小值為1()A.若確定,則唯一確定B.若確定,則唯一確定C.若確定,則唯一確定D.若確定,則唯一確定5.已知正四面體的棱長為2,空間動點滿足,求.的取值范圍.6.已知是平面內的單位向量,若向量滿足,則的取值范圍是_____.7.已知是平面向量,是單位向量,若非零向量與的夾角為,向量滿足,則的最小值是A. B. C.2 D.8.已知向量滿足,且,則的取值范圍是_____.9.在中,已知是邊上的定點,滿足,且對于邊上任一點,恒有,則()A. B. C. D.10.若三點不共線,,則的取值范圍是（）A. B.C. D.11.已知共面向量滿足,且.若對每一個確定的向量,記的最小值為,則當變化