第20講數(shù)學(xué)方法在物理解題中的應(yīng)用（下）【方法指導(dǎo)】1.數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的一個重點，日常生活中的很多實際問題都可以利用數(shù)列知識進行求解，物理情境中也有很多問題與數(shù)列有關(guān)．某一復(fù)雜物理過程中如果同一物理情境重復(fù)出現(xiàn)，往往會涉及數(shù)學(xué)歸納法和數(shù)列知識的應(yīng)用．高中物理涉及的數(shù)列知識主要有等差數(shù)列、等比數(shù)列、通項公式和前n項和公式的應(yīng)用等．解題的基本思路分三步：第一步，逐個分析開始階段的幾個物理過程；第二步，利用數(shù)學(xué)歸納法尋找變化物理量的通項公式；第三步，應(yīng)用數(shù)列知識分析求解．2.對于兩個大于零的變量a、b，若其和a＋b為一定值，則當(dāng)a＝b時，其積ab有極大值；若其積ab為一定值，則當(dāng)a＝b時，其和a＋b有極小值．3.在電磁感應(yīng)中，如導(dǎo)體切割磁感線運動，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢為E＝BLv，感應(yīng)電流I＝eq\f(BLv,R)，受安培力為F＝BIL＝eq\f(B2L2,R)v，因為是變力問題，所以可以用微元法．【例題精析】如圖所示，在豎直平面內(nèi)，某一游戲軌道由直軌道AB和“S”型光滑細管道BCDE平滑連接組成，兩段圓弧半徑相等，B、D等高，圖中θ角均為37°，AB與圓弧相切，AM水平。直軌道AB底端裝有彈射系統(tǒng)（彈簧長度很短，長度和質(zhì)量不計，可以認為彈珠從A點射出），某次彈射系統(tǒng)將直徑略小于管道內(nèi)徑的彈珠彈出，彈珠沖上直軌道AB后，到達B點的速度大小為vB=7m/s，然后進入“S”型光滑細圓管道，最后從管道出口E點水平飛出，落到水平面上的G點（圖中未畫出）。已知彈珠的質(zhì)量為m＝5×10﹣3kg，B點的高度h＝0.9m，細圓管道圓弧半徑R＝0.5m，彈珠與軌道AB間的動摩擦因數(shù)μ＝0.1，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10N/kg（1）求彈射系統(tǒng)對彈珠做的功W0；（2）求彈珠落到水平面上的G點時EG的水平距離L；（3）若彈射系統(tǒng)對彈珠做的功W0不變，“S”型光滑細圓管道BCDE的圓弧半徑R可調(diào)，求彈珠落地點到E點的最大水平距離x；（4）若“S”型光滑細圓管道BCDE的圓弧半徑R不變，彈射系統(tǒng)對彈珠做的功可變化，小球每次返回A點時以原速度大小反彈，求彈珠在斜面上運動的最大路程s。（2018?浙江）如圖所示，一軌道由半徑為2m的四分之一豎直圓弧軌道AB和長度可以調(diào)節(jié)的水平直軌道BC在B點平滑連接而成?，F(xiàn)有一質(zhì)量為0.2kg的小球從A點無初速度釋放，經(jīng)過圓弧上的B點時，傳感器測得軌道所受壓力大小為3.6N，小球經(jīng)過BC段所受阻力為其重力的0.2倍，然后從C點水平飛離軌道，落到水平面上的P點，P、C兩點間的高度差為3.2m。小球運動過程中可以視為質(zhì)點，且不計空氣阻力。（1）求小球運動至B點的速度大??；（2）求小球在圓弧軌道上克服摩擦力所做的功；（3）為使小球落點P與B點的水平距離最大，求BC段的長度；（4）小球落到P點后彈起，與地面多次碰撞后靜止。假設(shè)小球每次碰撞機械能損失75%，碰撞前后速度方向與地面的夾角相等。求小球從C點飛出后靜止所需的時間。【強化專練】如圖所示，半徑為R的四分之一圓弧軌道BC與長度為8R的固定于水平地面的AB豎直管道相切于B點，C點為圓弧軌道最高點（切線水平），輕彈簧下端固定在AB管道的底端，上端系一輕繩，繩通過彈簧內(nèi)部連一手柄P。經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)：輕彈簧自然伸長時，其上端離B點距離為5R，一質(zhì)量為m的彈珠靜止在彈簧上端時，測得此時彈簧形變量為R20。某次緩慢下拉手柄P使彈簧壓縮后釋放手柄，彈珠Q經(jīng)C點被射出，彈珠最后擊中水平地面的某位置（圖中未標(biāo)出），不計一切阻力，彈珠可視為質(zhì)點，直管AB粗細不計。彈簧的彈性勢能滿足公式：Ep=12kx2（k（1）調(diào)整手柄P的下拉距離，可以使彈珠Q經(jīng)BC軌道上的C點射出，落在水平地面上的不同位置，其中與A點最近距離是多少？（2）若彈珠Q落在水平地面上離A的距離為6R，求彈珠Q離開彈簧前的最大動能是多少？（3）若直管AB可以自由伸縮，且圓弧軌道下端始終和管上端保持相切相連，現(xiàn)下拉手柄P使彈簧的彈性勢能為Ep＝10mgR，則彈珠Q彈出后擊中水平面上的位置距A的最大值。如圖為某款彈射游戲的簡化示意圖，水平軌道OAB及EF處于同一水平面上，其中AB段粗糙，長度xAB＝3R，動摩擦因數(shù)μ=13，其余部分均光滑，EF段足夠長。豎直平面內(nèi)固定兩光滑14圓弧軌道BC、CD，半徑分別為R和2R，其中R＝0.8m，BC、CD間存在縫隙，恰能使彈射小球無碰撞通過，間隙大小可忽略，圓弧BC與水平軌道AB相切于B點，E點恰好位于D點的正下方。已知彈射器的彈性勢能與彈簧形變量的平方成正比，可視為質(zhì)點的彈射小球質(zhì)量為m＝0.1kg，當(dāng)彈簧壓縮量為Δx時，恰能運動到C處，g?。?）壓縮量為Δx時，彈簧的彈性勢能Ep；（2）當(dāng)彈簧壓縮量增加到2Δx，小球運動到D點時對圓弧軌道CD的壓力；（3）在（2）題條件下，調(diào)整CD弧的半徑，求落點距E點的最遠距離。如圖所示，水平面AB段光滑、BC段粗糙，右側(cè)豎直平面內(nèi)有一呈拋物線形狀的坡面OD，以坡面底部的O點為原點、OC方向為y軸建立直角坐標(biāo)系xOy，坡面的拋物線方程為y=15x2，一輕質(zhì)彈簧左端固定在A點，彈簧自然伸長狀態(tài)時右端處在B點。一個質(zhì)量m＝0.2kg的小物塊壓縮彈簧后由靜止釋放，從C點飛出落到坡面上。已知坡底O點離C點的高度H＝5m，BC間距離L＝2m，小物塊與BC段的動摩擦因