專題16導數(shù)及其應用

【2014年高考真題】

1.【2014高考安徽卷文第15題】若直線/與曲線C滿足下列兩個條件：

（i）直線/在點P（Xo,打）處與曲線。相切；（而）曲線。在p附近位于直線/的兩側，則稱直線/在點尸

處“切過”曲線C.

下列命題正確的是（寫出所有正確命題的編號）

①直線/:夕=0在點尸（0,0）處物過”曲線C：y=x3

②直線/:x=—1在點產(chǎn)（―1,0）處“切過”曲線C：y=（x+

③直線/:夕=x在點尸（0,0）處“切過”曲線C：y=sinx

④直線/:夕=x在點尸（0,0）處“切過”曲線C：y=tanx

⑤直線/:夕=x—1在點尸（1,0）處“切過”曲線C：y=Inx

【答案】①③④

【解析】由題意，①了=/上在Fu,Oi處的切線方程為x=0,曲線C在尸附近位于切線的兩側，滿

足條件；②y=（x+l）2上在R—LOi婦的切線方程為x=0,曲線C在尸附近位于切線的同側，不滿足

條件；③y=sinx上在PQOi處的切紇方程為了:■,定線C在尸附近位于切線的兩側，滿足條件；?

^=1蹌工上在戶0,01處的切線方程為了=%,曲線C在尸附近位于切線的兩側，滿足條件；⑤丁=lnx上

在RLOi處的切線方程為了=工-1，曲線C在尸附近位于切線的同側，不滿足條件.故選①③④.如下圖:

【考點定位】函數(shù)的切線方程

2.12014高考廣東卷文第11題】11.曲線夕=-5/+3在點（0,-2）處的切線方程為

【答案】1y=-5工-2或5工+^+*-0.

【解析】

?.?y=-5e"+3,-故所二、的切線的字..弓代=一為°=一5,

故所求的切線的方程為y-i-2i=-5x山丁=-5工-2N5x+y+2=0.

【考點定位】導數(shù)的應用

3.12014高考湖南卷文第9題】若0<玉</<1,則（）

xx

A.e*-e'>Inx2-In/B,e*-e'<Inx2-In/

xt2XlX2

C.x2e'>xteD.x2e<xte

t答案】c

【解析】設函數(shù)yg=J-lnx且二水函數(shù)寸尋可得

X

1|TT-1|jp

?=/-上，g'ixi=一5—，因為xeeli,所…尸■符號不確定且g"xi<0,所以函數(shù)

XX

x

XI單調性不確定，函數(shù)giXI在電li上白生瘋貝Ijgijq<gix2i^>—<—=>x2e<移*,所以

再&

選項C是正確的，故選C.

【考點定位】導數(shù)的單調性

4.12014高考江蘇卷文第11題】11.在平面直角坐標系皿y中，若曲線y=ax2+2

X

（」）為常數(shù)）過點尸（2,-5）,且該曲線在點尸處的切線與直線7x+2y+3=0平行，

貝（JQ+6=.

【答案】-3

【解析】曲線丁=依2+2過點尸（2,-5）,則4a+2=—5①，又y'=2ax—2,所以4a—2=一2■②，

x2x42

由①②解得1"=一、所以a+b=-3.

[b=-2,

【考點】導數(shù)。切線斜率

5.12014高考江西卷文第10題】在同意直角坐標系中，函數(shù)

y=/￡與y=°2工3_2〃儲+x+a（qeR）的圖像不可能的是（）

HI）

【答案】B

【解析】當。=0時,兩函數(shù)圖像為D所示，當時，由_/=3。2》2—4水+1=0得：x=’或x='-,

a3a

、=以2-x+烏的對稱軸為x=」-.當。＜0時，由!＜」-＜」-知B不對.當。＞0時，由，＞」-＞」-

22aa2a3aa2a3a

知A,C正確.

【考點定位】導數(shù)的應用

6.12014高考江西卷文第11題】若曲線y=xlnx上點P處的切線平行于直線2x-y+l=0,則點P的

坐標是.

【答案】(e,e)

【解析】

因為y'=lnx+l,設切點(%》)，Zjk=lna+i-二，:=%又b=alna=e,Re,e).

【考點定位】導數(shù)的應用

7.12014高考遼寧卷文第12題】當xe[—2,1]E1寸，不等式a/—/+敘+320恒成立，則實數(shù)a的

取值范圍是()

9

A.[-5,-3]B.[-6,--]C.[-6,-2]D.[-4,-3]

O

【答案】C

【解析】不等式a/一/+4x+3N。工形為a-'2/一』：-3.當x=0時，0之一3,四寒數(shù)a的取

值范圍是長；當xe(0,1]時，。之工2t2^,=~4j-3x,

X.

/⑶=*+：+9=—(x—9?(x+l)＞0,放函數(shù)y(x、L.J.則」(x)mw=/Q)=—6,故。2-6；當

XX

/—4x—3x—4x—3x?

xe[-2,0)時，a￡:,記/(.=」；,令/6)=0,得x=—1或x=9(舍去)，當

XX

xe(-2,-1)時，f'(x)＜0,當xe(-1,0)時，/(x)、0,故/，.)111kl=/(-D=一2，則aS-2.綜上所

述，實數(shù)a的取值范圍是[-6,-2].

【考點定位】導數(shù)的應用.

8.12014高考全國1卷文第12題】已知函數(shù)/(x)=ax3—3x2+1,若/(工)存在唯一的零點%,且

x0>0,則。的取值范圍是()

(2,+8)(B)(l,+oo)(C)(-8,-2)(D)(-co,-1)

【答案】C

【解析】根據(jù)題中函數(shù)特征，當a=0廣.函數(shù).彳.;)=-3,.1顯然有兩個零點且一正一負；當白>0

時，求導可得：/'(X)=玄--6x=3x(ax-二)，利用耳頷:的正U與函數(shù)單調性的關系可得：xe(-8,0)和

xe(2,帝)時函數(shù)單調遞增，xe(0,2)時巴故單調=誠，顯，廳在負零點；當a<0時，求導可得：

aa

o

/*(x)=3ax2-6x=3x(ax-2)?利用導致印正負與函數(shù)占?.匕的關系可得：xe(-oo,—)ftxe(0,-K?)St

a

函數(shù)單調述減xe(2,0)時函數(shù)單調展噌，Z要使得函散有唯一的零點且為正，則滿足：<八/>°,即

。[7(0)>0

得："(/3-3(1小>0,可解得：/>4,則a>2(舍若),a<-2.

【考點定位】導數(shù)的應用

9.[2014高考全國2卷文第11題】若函數(shù)/(司=日-/加在區(qū)間(1,+8)單調遞增，則％的取值范圍是

()

(A)(-8,—2](B)(―oo,—l](C)[2,+8)(D)[l,+oo)

【答案】D

【解析】

f\x)=k--,山已知得/'(x)N0在xe(l,+oo)恒成立，故后24，因為x>l,所以0<工<1,故

XXX

左的取值范圍是[1,+00).

【考點】導數(shù)的應用

-x+a,x<0,

10.【2014高考上海卷文第9題】設/(x)=1若/(0)是/'(x)的最小值，則。的取值范

x+—,x>0,

.X

圍是.

【答案】(-0。,2]

【解析】山題意，當x>0時，/(x)的極小值為/(I)=2,當x<0時，/(x)極小值為/(0)=a,/(0)

是/(x)的最小值,則a42.

【考點】函數(shù)的最值問題

11.12014高考安徽卷文第20題】設函數(shù)/(x)=l+(l+a)x—Y—d,其中a〉0

(1)討論/(x)在其定義域上的單調性；

(2)當xe［0,l］時，求/(x)取得最大值和最小值時的x的值.

【答案】(1)/@)在(-00,土)和(9,+8)內(nèi)單調遞減，在(0毛)內(nèi)單調遞增；(2)所以當0<。<1

時，f(x)在x=l處取得最小值；當a=l時，f(x)在x=O和x=l處同時取得最小只；當l<a<4時，

f(x)在x=0處取得最小值.

【解析】

(1)對原函數(shù)進行求導，/'(x)=l+a-2x-3x2,令f'(x)=O,解得

,馬=.\<知當工<%或毛時/；從而得出，當

xx=———93a」+—：+"''(x)<0

時，f'(x)>O.ifef(x)在(8,毛)邙《2，+°<內(nèi)單調遞減，在(外,毛)內(nèi)單調遞增.(2)依

據(jù)第(1)題，對a進行討論，①當a之"j,“由(1，知，f(x)在［0,1］上單調遞增，所以f(x)

在x=0和x=1處分別取得最小值和最」.眉.②當0--，/4時，/<1?由(1)知，f(x)在［0,馬］上單

調速噌，在［三」］上單調遞減，因此f(%)7tx=電=-1+9*”處取得最大值.又

f(0)=l、/Q)=a,所以當0<a<l時，f(x)在、，=1處取俱最小值；當a=l時，f(x)在x=0和

x=l處同時取得最小只；當l<a<4時，f(x)在x=0處取得最小值.

(1)f(x)的定義域為正,r(x)=l+a—2%一3一.令/，(x)=O,得

-1——4+3a—1+J4+3a?.....,、/..

/=-------------，毛=-------------,毛<x2,所以/(X)=-3(x-毛)(工一毛).當x<毛或x>毛

時當天<工<三時，f'(x)>0.故/"(X)在(-叫毛)和(馬葉00)內(nèi)單調遞減，在(W，毛)內(nèi)

單調遞增.

因為a>0,所以王<0,%2>0?

①當a24時，x2>1,由(1)知，f(x)在［0,1］上年周遞噌，所以f(x)在x=0和x=l處分別

取得最小值和最大值.②當0<a<4時，馬〈1?山(1)知，f(x)在［。,馬］上單調通噌，在［馬」］上單

調遞減,因此/'(X)在x=/=_1+二'+5"處取得最大儼7/(0)=l,/U)=a,所以當0<a<1時,

/(X)在x=l處取得最小值；當a=l時，=0和v-1處同時取得最小只；當l<a<4時，

f(x)在x=0處取得最小值.

【考點定位】導致的應用

12.12014高考北京卷文第20題】已知函數(shù)/(x)=2x3-3x.

(1)求/(x)在區(qū)間上的最大值；

(2)若過點P(l,/)存在3條直線與曲線y=/(x)相切，求t的取值范圍；

(3)問過點/(一1,2),8(2,10),。(0,2)分別存在幾條直線與曲線^=/(x)相切？(只需寫出結論)

【答案】⑴0;⑵(-3,-1);⑶詳見解析.

【解析】(1)由/(x)=2/-3x得/'。)=6/一3,令二")=0,得工=一手或工=學，

因為/(-2)=-10，/(--)=V2,<—)=y2,「3=一1，

所以在區(qū)間上的最大值為了(-亭)=72.

(2)設過點P(1.t)的直線與曲線y=',.：,?：?：：：勿于點(X。、“，則

先=2勺3-3而，且切線斜率為上=6；-3,所線方程七y一為=/而？_句(>_而)，

因此一比=(6勺2-笏(1一通),整理律4勺3-￡,/+￡+?U,

設g(x)=4——6X2+￡+3,則“過點產(chǎn)(匕)存在3條直線與曲線y=/(x)相切”等價于“g(x)有3

個不同零點”，g(x)=12x2-12x=12x(x-l).

g(x)與g(x)的情況如下:

X(-8,0)0(0,1)1(1,+°0)

g'(x)+0—0+

g(x)/t+3/+1/

所以，g(0)=Z+3是g(x)的極大值，g⑴=￡+1是g(x)的極小值，

當g(0)=2+3W0,即￡工-3時，此時g(x)在區(qū)間(-8,1］和(l,4oo)上分別至多有1個零點，所以

g(x)至多有2個零點，

當g(l)=￡+120,時，此時g(x)在區(qū)間(-8,0)和［0.2□)上分別至多有1個零點，所以

g(x)至多有2個零點.

當g(0)>0且g(l)<0,即一3<￡<-1時，因為7<0,目出=￡+11>0,

所以g(x)分別為區(qū)間［-1,0),［0,1)和［1,2)卜￡，：「零點，中于g(x)在區(qū)間(-8,0)和(1,施上單

調，所以g(X)分別在區(qū)間(-8,0)和口,+8、二恰有1個零點.

綜上可知，當過點尸(1/)存在3條直線m注線相切k，t的取值范圍是(-3,-1).

(3)過點A(-1,2)存在3條直線與曲線y=/(x)相切；

過點B(2,10)存在2條直線與曲線y=/(x)相切；

過點C(0,2)存在1條直線與曲線y=/(x)相切.

13.［2014高考大綱卷文第21題】函數(shù)f(x)=ax3+3x2+3x(a/0).

(1)討論函數(shù)Rx)的單調性；

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)，求a的取值范圍.

【答案】(1)a2l時，在(-co,+oo)是增函數(shù)；0〈a〈l時，f(x)在(一oo,X2),(xi,+00)匕是

增函數(shù)：f(x)在(X/X,)上是減函數(shù)：(2)［―』,0)U(0,+8)

4

【解析】

(1)首先求出函數(shù)的導數(shù)，然后求出是/'(x)>0或/'(x)<0的解集即叱

(2)分類討論在區(qū)間(1,2)上庾/。)>0成立的條件，并求出參數(shù)a的取值范圍即可

(1)=3ax2+6x+3,/'(x)=3ax?+6x+3=0的判別式a=36(1-a).

(i)若61,貝之0,且丁(必「0當且儼當a=Lk1,故此時f(x)在R上是噌函數(shù).

(ii)由于aWO,故當息<1時，/1x)=0有〃個根：Xi="】_—,x=------—,

a2a

若O〈a〈l,則當xG(—oo,x：)或xK(x；,+oo)時，f'(')>0>故f(x)在(-8,x：)>(x：>+8)

上是噌函數(shù)，

當xG(x；?x：)時，/(x)<0,故fG,在(x：?x：)上是激函教；

(2)當a>0,x>0時，f'(x)>0,所以當a>0時，f(x)在區(qū)間(1,2)是噌函數(shù).

若小。時，f(x)在區(qū)間(1,2)是噌函數(shù)當且僅當/(I)之。且/(2)20,解得—2Ma<0.

4

綜上，a的取值范圍是［-2,0)U(0,MO).

4

【考點定位】導數(shù)及其應用

14.【2014高考福建卷文第22題】已知函數(shù)/(x)=e、-ax(。為常數(shù))的圖像與歹軸交于點/,曲線

y=/(x)在點A處的切線斜率為-1.

(1)求。的值及函數(shù)/(x)的極值；

(2)證明：當x>0時，x2<ex

(3)證明：對任意給定的正數(shù)e,總存在%,使得當xe(Xo，+8)時,恒有x<ce*

【答案】⑴當x=ln2時,/⑶有極小值/(In2)=2-In4,/(x)無極大值.

(2)見解析.(3)見解析.

【解析】

(1)由/(0)=1-。=-1,得a=2.

從而f(x)=ex-2.

令/'(x)=0,得駐點x=In2.討論可知：

當x<ln2時，/(x)<0,/(x)單調遞減；

當x>ln2時，/'(X)>0,/(x)單調遞噌.

當x=ln2時，/(x)有極小值/Qn2、=2-lnd,/(x)于:極大值.

(2)令g(x)=e*-/,則g'(x)="-2x.

根據(jù)8’0)=/。)2_/(1112)=2-111，，0,如占(x)在Q上單調遞噌，又g(0)=l>0,

當x>0時，由g(x)>g(0)>0,即空.

(3)思路對任意給定的正數(shù)c,?.

C

根據(jù)/得到當時，

C

思路二：令上=1(左>0),轉化得工；只需x、立.

c

分0<ArXl,k>\9應用導致研究/(x)=x-lnx-ln上的單調性.

思路三：就①匕之1,②0<匕<1,加以討論.

解法口

(1)由/(x)=/—ax,得/(工)=/一4.

又/(0)=1—a=—1,得a=2.

所以/(x)=e*-2x/'(x)-e?'-2.

令/(x)=0,得x=；n2.

當x<ln2時，/(x)<0,/(x)單調逐遍，

當x>ln2時，fXxj>0,_/(元；“弓遞增.

所以當x=In2時，了。汴極小值，

且極小值為/Qn2)=產(chǎn)一21n2=2-In4,

/(x)無極大值.

(2)令g(x)=e*-/,則g'(x)=e*-2x.

由(1)得，g'(x)=/(x)>/(In2)=2-In4>0,即g'(x)>0.

所以g(x)在R上單調遞噌，又g(0)=l>0,

所以當x>0時，g(x)>g(0)>0,即/<e".

(3)對任意給定的正數(shù)c,取x0=1,

C

由(2)知，當彳>0時，x2v/.

所以當了>與時，>x2>—x,即八

c

因此，對任意給定的正數(shù)c,總存在畫，當xe(而,400)時，恒有xvc/.

解法二：(1)同解法

(2)同解法丁.

(3)令上=[(上>0),要使不等x成立，匚要產(chǎn)>去成立.

c

而要使e*>Ax成立,則只需人即x>lr..十Ink成立.

①若0<化工1,貝iJlnArWO,兄八U當寸，x>Lx之In矛+ln后成立.

即對任意ce[L+oo),取而=0,當xe(而,+00)時，恒有xvce".

1[

②若上>1,令人(x)=x-lnx-lnh則4(x)=l--=---,

xx

所以當五>1時，h'(x)>0,%0)在(1,400)內(nèi)單調邀曾.

取「=4上，

6ao)=4左一ln(4A)-InA=2(k-InA:)+2(k-In2)

易知人>In左，k>\n2,所以力(%)>().

_4，一

因此對任意C￡(0,1),取與=—,當工￡(%,+8)時，恒有x<ce\

C

綜上，對任意給定的正數(shù)C,總存在％,當X￡(Xo，+8)時，恒有x<ce”.

解法三：(1)同解法一.

(2)同解法一.

(3)①若。之1,取玉)=0,

山(2)的證明過程知，ex>2x,

所以當xe（而,+00）時，有co”之/>2x>x,即xcce”.

②若0<c<1,

令/（x）=c/-x,貝必'（乃="'一1,

令為（五）=0得無=In1.

c

當x>ln」時，A（x）>0,%（工）單調遞窄.

c

2

取飛=21n—，

c

,、過01222

力（而）=cec-21n—=2（--In-）,

ccc

22—

易知一-出一>0,又及（x）在（而,?+<）□）內(nèi)單調遞噌，

CC

所以當xe（x（）,+oo）時，恒有4。）>雙而）>0,即

綜上，對任意給定的正數(shù)c,總存在演，當xe（飛,+00）時，恒有x

【考點定位】導致的計算及導致的應用，全稱量詞與存在量詞，轉化與化歸思想，分類討論思想.

15.【2014高考廣東卷文第21題】已知函數(shù)+QX+1（Q￡尺）

（1）求函數(shù)/（X）的單調區(qū)間；

《。心嗚?,使得小。）=嗎）

（2）當々<0時,試討論是否存在與

【答案】（1）詳見解析：（2）詳見解析.

【解析】

（1）先求出導數(shù)/'（x）為二次函數(shù)，對AW0和A>0進行分類討論，根據(jù)導數(shù)的M負求出函數(shù)/（x）

的單調區(qū)間；（2）由作差法/（%）—/0將等式進行因式分解，得到/（x。）-

）（4x；+14x0+7+12。），于是將問題轉化為方程4x；+14x0+7+12。=0在

（0,卯（g,l）上有解，并求出該方程的兩根，并判定其中?根演尸耳=-7+一48a在區(qū)間

(。,加朋上,并由

0<f<1以及々+4：-4弘=|確定滿足條件/,/時”的取值范圍，然

后取相應的補集作為滿足條件/1帚=_/(?)時a的取值范圍.

(1)/'ixi=/+2五+?,方程X，+2x+?=。的判別式'\jA=4-4々，

①當口之1時，A<0,貝IJ/EN0,叱時力r在K)之碧函數(shù)；

②當々<1時，方程/+2x+以=0的藝根分別為x--J1-0,.=T+J1-以,

解不等式x?+2x+以>09解得x<—1?匕或x>—'「Ji—a,

解彳、等式x'+2x+以<09解得—：-Jl-a<-1~~(2,

此時，函數(shù)力兇的單調遞噌區(qū)間聲~oo「i-3二7i和「1+而7z01，

單調遞減區(qū)間為I—1-Jl—a,—1+Jl-aI；

綜上所述，當時，函數(shù)的單調遞噌區(qū)間為lYO,48i，

當a<1時，函數(shù)/1xi的單調遞噌區(qū)間為I-o0，-1一Jl-aI和［-1+J1-a,+oo?,

單調遞減區(qū)間為I-1-Jl-a,-1+Jl-aI；

⑵g)=$；+x；+/+1_；.(3)+(g)+a，g+l

]_

3*'({I+x；-0+"h。-1

=4卜。一心+與+{|+卜。.小。+撲心)

若存在使得〃/)=/(：/

/1\/IX

必須4k+14而+7+12以=0在o,_U-,1上有解，

I2J12J

*:a<0,A=142-16i7+12a?=4i42—48d?>0,

M而t74-2J21-482—7—J21-48a

萬L程的兩根為x[=--------1-----------=-------1--------,

-14+2121—44—7+421—48a

:----------------=--------------，

84

c-7+J21-Sda

而>0，%=勺t=-----------------，

依題意，0《一,十皿1一4。以<[,即彳J21-48^<T,

4

257

49<21—48?<121,艮口——<以<——,

1212

V74n-7+，21—48?15

又1由--------------=一得/B以=一一，

424

故欲麒足題意的而存在，則a￥-g，

所以,當°+*沙卜〉高時,存在唯三4。如即滿足…「嗎｝

當問一8，-牛卜蜘卜別時，不存在/e(0,加朋滿足/(%)=/?.

【考點定位】導數(shù)的應用

16.12014高考湖北卷文第21題】乃為圓周率，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).

InV

(1)求函數(shù)/(x)=——的單調區(qū)間；

X

(2)求e3,3"e",4：3",萬?這6個數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)；

(3)將e3,3"e",兀",3",/這6個數(shù)按從小到大的順序排列，并證明你的結論.

【答案】(1)單調增區(qū)間為(0,e),單調減區(qū)間為(e,+8)；(2)最大數(shù)為3",最小數(shù)為3"；(3)3￡,

e3,k,e",總3”,

【解析】

(1)先求函數(shù)/(x)的定義域，用導數(shù)法求函數(shù)/(x)的單調區(qū)間；(2)利用(1)的結論結合函數(shù)根

3

據(jù)函數(shù)1y=Inx、y=e,y=爐的性質，確定號、建，-3’,開這6個數(shù)中的最大數(shù)與最小

數(shù).

(1)函數(shù)/")的定義域為(0,侄)，因為/(x)=史，所以/(乃=上季，

XX

當尸⑶>0,即0<x<e時,函敢j(x)單瀉遞增;

當了'(工)<0，即x>e時，函數(shù)了(“單調漫式；

故函數(shù)，(x)的單調噌區(qū)間為(0,e),5調減區(qū)flj為(e3<Q).

(2)因為e<3<”，所以eln3<pin>r，7rM-.^in3.即ln3'<lnk，Ine1<ln3>,

于是根據(jù)函數(shù)y=lnx、y=e,y=兀主定義域上單調遞噌，

所以3’<7f(蘇，e3<e”<3,，

故這6個數(shù)的最大數(shù)在爐與3,之中，最小數(shù)在3‘與『之中，

由e<3<4及(1)的結論得/⑺</(3)〈/(e),即叱V吧〈包￡,

7T3e

由史<也得1n工<必3",所以3”>^,

7T3

由也〈也得1n3‘〈In/,所以3，<e3,

3e

綜上，6個數(shù)中的最大數(shù)為3”,最小數(shù)為3。

【考點定位】導數(shù)法求函數(shù)的單調性、單調區(qū)間，對數(shù)函數(shù)的性質，比較大小.

17.【2014高考湖南卷文第21題】已知函數(shù)/(x)=xcosx-sinx+l(x>0).

(1)求/(x)的單調區(qū)間；

1I17

(2)記王為/(x)的從小到大的第，(ieN*)個零點，證明：對一切〃wN*,有-5r+…+《<*.

苞x,兀3

【答案】⑴單調遞減區(qū)間為(2br,(2A+l)萬)(&wN*),

單調遞增區(qū)間為i?2上+11開J2上+2)”自尢e2/*Li：2)詳見解析

【解析】⑴對函數(shù)/ixi求導得到導函數(shù)小x">0L求"x，大于0和小于0的解集得到單調減

區(qū)間和單調噌區(qū)間,但是必須注意正余弦的周期性和原函數(shù)的定義域I0,-KO..

⑵利用⑴問的結果可知函數(shù)力x?在區(qū)間(0,m上是單調遞減的,即力x，在區(qū)間10,m上至多一個

零點，根據(jù)正余弦的函數(shù)值可得/(2)=0=々g,再根據(jù)/.X.在區(qū)間上?wr,5+h不單調性和函數(shù)

/'XI在區(qū)間I皿I%+117n端點處函數(shù)g聶號可得函數(shù)了|XI在區(qū)間(見3+1I7H上有且只有一個零點，

即n?r<xK+1<i?+lizr=?------)——<，一<=y,則依次討2%=1,%=2,%33利用放縮法即可證明

l：?+l)7T乙.+1?7T

數(shù)/ixi求導可得了'(xi=cosx-xsin：-xsinxi了>Oi,令/“xi=0可得

x=k7V\k€27*i,當xe?2k?r,?2上+1"Mke曾*i時，sinx>0.此時b/'(xi<0；

當xe((2上+11井/2上+2i開時，sinxvO,此時.廣(x)>0,

故函數(shù)小x?的單調遞減區(qū)間為?2k7T,y2k+\\n\yk&N*\,

單調遞噌區(qū)間為“2k+11兀?2片+2ITTII上cW*i.

⑵由⑴可知函數(shù)dxi在區(qū)間(0,m上單調遞減，又」(?)=0,所以再=?

1

當萬6曾*時,因為力閥不"((%+1|箱=?-11*?7T+1J-1I**1?+117T+1<0,且函數(shù)17tXI的圖

像是連續(xù)不斷的,所以/|XI在區(qū)間I切,5+11桿I內(nèi)至少存在一個零點,又_/IXI在區(qū)間i?7T,i?+1I^FI±

是單調的，故市<4+1<IM+1S,因此，

3142

〃=1時，r=-7<一；

X；/3

1117

當〃=2時，」y++

X：門戶)3

當n>3時,

11

4+1+中+…

1111111

=F+fl-7"1-----1—7<-r5rd--------1-----F---------------

%]x；x；x；乃]1x2(/7-2)(/?-1)

1112

綜上所述，對?切的〃wN*,—+—+???+—<—.

再WX,3

【考點定位】導數(shù)及其應用

18.12014高考江蘇第19題】已知函數(shù)/(x)=e*+e7,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)證明：/(x)是/?上的偶函數(shù)；

(2)若關于x的不等式切XxlWeT+m-1在(0,+8)上恒成立，求實數(shù)加的取值范圍；

(3)已知正數(shù)。滿足：存在x°e(l,+8),使得/(x0)</—￡+3%)成立，試比較與/t的大小，

并證明你的結論.

【答案】(1)證明見解析；(2)活工-工(3)當L(e+3<a<e時，eN<af當a=e時，e^=cf-\

32e

當時，產(chǎn)1〉成

【解析】

(1)證明：函數(shù)了①)定義域為五，???/(—x)=ef+/=<x),是偶函數(shù).

(2)由時(x)+加一1得幽C/(x)--1,F1'；當了>0時，然>1,因此

/(x)=?'+g">2,即/(x)—1>1>0,所

/(x)-1ex+e~x-1e+l-e

l-e*1{H-zJ?+t11

1y=」「設￡=1一炭，則2<0,-==￡+--1,\-￡<0,.-.t+-<-2(Z=-13^

e2x+l-ex、t't

號成立),即1工一2-1=一3,——j7<0>所以?

y33

(3)由題意，不等式」(工)<。(一/+3X)在口,+00)上有解，由/(工)<。(一/+3力得

oa3-3ax+ex+e~x<0>記力(x)=aN-3ax+e*+e-*,k'(x)=-1)+ex-e~x>顯然力'①=0,

當x>l時，A'(x)>0(因為a>0),故函數(shù)：力(%)在［1,+co)上噌函數(shù):，〃(x)星小=〃⑴，于是內(nèi)8)<0在

［1,+8)上有解，等價于%(D=a-3a+a+L<0,即a>((e+l)>l.考察函數(shù)

e2盤

g(x)=(e-l)lnx-Cc-l),Cc>l),g'(*——-1,當x=.-l時，g'8=0,當時，

X

g,3>0,當x>e-l時?(工)〈0,即二:?在“道-”.罡噌函數(shù)，在(e-l,+co)上是減函數(shù)，又gQ)=O,

g(e)=0,1(e+1)>1,所以當1(e+3<x<e時，g(r)>0,8P(e-l)lnx>x-l,>ex~1,當x>e

2e2<?

時，g(x)<0..^P(e-l)lnx<x-l,.；1<ex~\因此當［e+3<a<e時，e0-1<a^1.當a=e時,

2e

ei=(/-i,當a>e時，eZ>"T.

【考點】(1)偶函數(shù)的判斷；(2)不等式域成立問題與函數(shù)的交匯，(3)導數(shù)與函數(shù)的單調性，比較

大小.

19.12014高考江西文第18題】已知函數(shù)/(x)=(4/+4辦+/)?,其中“<o.

(1)當a=—4時，求/(x)的單調遞增區(qū)間；

(2)若/(x)在區(qū)間［1,4］上的最小值為8,求a的值.

2

【答案】⑴(0,—)和(2,+8),(2)-10.

【解析】

(1)利用導數(shù)求函數(shù)單調區(qū)間，首先確定定義域：［0,+8),然后對函數(shù)求導，在定義域內(nèi)求導函數(shù)的

,、/。)、廠4x2+4ax+a220x2+12ar+?2(10x+a)(2x+a)、=.,

零點：/'(x)=(8x+4“)Jx+-----,=-----=--------,=-----=--------------當。=-4時，

2y/x2yx2y/x

/，(X)=2(5X—?(X—2),由/，(x)=o得％=2或x=2,列表分析得單調增區(qū)間：(0,2)和(2,+oo),(2)

已知函數(shù)最值，求參數(shù)，解題思路還是從求最值出發(fā).由(1)知,

2222

“、A、r~4x+4ax+a20x+12or+i7(10x+a)(2x+a)…

f\x)=(8x+4a)y/x+-----尸——=--------尸------=-------乍------,所以導函數(shù)的零點為

2y/x2Vx2y/x

X=—R或X=g列表分析可得：函數(shù)增區(qū)間為(0,得)和(一±+8),減區(qū)間為(—養(yǎng)9.由于

/(_彳)=0,所以_1e[1,4],當0<_1<1時，/(x)mm=/(l)=4+4a+a2=8,a=—2±2及，(舍),

當一￡>4時，/(女”1?淪{八1),/(4)},由于〃1)#8,所以/(4)=2(64+16a+*=8,且

/(4)</(1),解得。=—10或。=—6(舍)，當。=一10時，/(x)在(1,4)上單調遞減，滿足題意,綜上

o=-10.

(1)定義域：[0,+8),而

/,⑴=(8x+4a)&+-+4”=20x2+管+/=(10x+喂+。)，當。v時，

2Tx2vx2y/x

f'(x)=2(5x二警二2),由/,(x)=o得X=2或x=2,列表:

\Jx5

(0,|)2(|,2)

X2(2,+oo)

5

—

f'M+00+

2

所以單調增區(qū)間為：(0,1)和(2,+8),(2)山(1)知，

2222

…、小A、廠4x+4<7X+a20x+12or+<7(10X+Q)(2X+Q)/業(yè)—L一”

f\x)=(8x+4。)Jx+-----方-----=--------7=-----=-------，=------,所以導函數(shù)的零點為

2yjx2Vx2>Jx

X=—，或X=-|,列表分析可得：函數(shù)增區(qū)間為(0,—《)和(一|,+8),減區(qū)間為(一養(yǎng)，一最).由于

/(—■|)=(),所以e[1,4],當0<_]<1時，/(x)mm=771)=4+4。+/=8,a=-2±20,(舍),

當(>4時，/(x)mM=min{/⑴,/(4)},由于/⑴工8,所以/(4)=2(64+16°+。2)=8,且

/(4)</(1),解得。=—10或a=—6(舍)，當a=-10時,/(x)在(1,4)上單調遞減，滿足題意,綜上

a=—10.

【考點定位】導數(shù)的應用

20.【2014同考遼宇文第21題】已知函數(shù)/(x)=萬(8-cosx)-2sinx-2，

1-sinx

g(x)=(x-7)+--1

l+sinx71

rr

證明：(I)存在唯一x°e(O,—),使/(x0)=0；

(