第05講空間向量基本定理【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)01：空間向量基本定理及樣關(guān)概念的理解空間向量基本定理：如果空間中的三個(gè)向量，，不共面，那么對(duì)空間中的任意一個(gè)向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得.其中，空間中不共面的三個(gè)向量，，組成的集合{，，}，常稱為空間向量的一組基底.此時(shí)，，，都稱為基向量；如果，則稱為在基底{，，}下的分解式.知識(shí)點(diǎn)2：空間向量的正交分解單位正交基底：如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?，且長(zhǎng)度都為1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用表示.正交分解：把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.知識(shí)點(diǎn)3：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問(wèn)題用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)用已知向量來(lái)表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量．(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立【題型歸納目錄】題型一：基底的判斷題型二：基底的運(yùn)用題型三：正交分解題型四：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問(wèn)題【典型例題】題型一：基底的判斷1．（課時(shí)1.2空間向量基本定理-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步練習(xí)和分類專題教案（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)））若：，，是三個(gè)非零向量；：，，為空間的一個(gè)基底，則p是q的

（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用基底的判定方法和充分不必要條件的定義進(jìn)行判定.【詳解】空間不共面的三個(gè)向量可以作為空間的一個(gè)基底，若，，是三個(gè)共面的非零向量，則，，不能作為空間的一個(gè)基底；但若，，為空間的一個(gè)基底，則，，不共面，所以，，是三個(gè)非零向量，即p是q的必要不充分條件.故選：B.2．（安徽省池州市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知是空間的一個(gè)基底，若，則下列可以為空間一個(gè)基底的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量共面定理和基底的概念，逐項(xiàng)檢驗(yàn)，即可得到正確結(jié)果.【詳解】由于，可知共面，所以選項(xiàng)A不能作為空間的一個(gè)基底；由于，可知共面，所以選項(xiàng)B不能作為空間的一個(gè)基底；由于，可知共面，所以選項(xiàng)C不能作為空間的一個(gè)基底；假設(shè)不是空間的一組基底，即向量共面，則存在實(shí)數(shù)使得，即，所以,因?yàn)槭强臻g的一組基底，所以的值不存在，即可向量不共面，所以是空間的一組基底，所以選項(xiàng)D正確；故選:D.3．（蘇教版（2019）選修第二冊(cè)限時(shí)訓(xùn)練第4練空間向量基本定理）已知是空間的一個(gè)基底，向量，，，若能作為基底，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量基底的定義，結(jié)合共面向量定理，運(yùn)用假設(shè)法進(jìn)行求解即可.【詳解】若，，共面，由共面向量定理知，存在實(shí)數(shù)x，y，使得，即．因?yàn)?，，不共面，所以，，，解得，，，即?dāng)時(shí)，，此時(shí)不能作為基底，所以若能作為基底，則實(shí)數(shù)滿足的條件是．故選：B4．（北京市通州區(qū)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量可以構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用空間向量基本定理逐個(gè)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋?，，共面，不能?gòu)成基底，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以，，共面，不能?gòu)成基底，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，，，共面，不能?gòu)成基底，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D：若，，共面，則，即，則，無(wú)解，所以，，不共面，可以構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，故選項(xiàng)D正確.故選：D．5．（河北省石家莊市第六中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）設(shè)向量是空間一個(gè)基底，則一定可以與向量構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的向量是A． B． C． D．或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量的一組基底是：任意兩個(gè)不共線，且不為零向量，三個(gè)向量不共面，從而判斷出結(jié)論．【詳解】解：由題意和空間向量的共面定理，結(jié)合，得與、是共面向量，同理與、是共面向量，所以與不能與、構(gòu)成空間的一個(gè)基底；又與和不共面，所以與、構(gòu)成空間的一個(gè)基底．故選：．6．（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量也可以構(gòu)成空間中的一個(gè)基底的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由空間向量基底的定義即可得出答案.【詳解】選項(xiàng)A：令，則，，A正確；選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以不能?gòu)成基底；選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以不能?gòu)成基底；選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以不能?gòu)成基底．故選：A.7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，，，且是空間的一個(gè)基底，給出下列向量組：①；②；③；④，則其中可以作為空間的基底的向量組有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】以為頂點(diǎn)作，，，作出平行六面體，根據(jù)空間向量的加法法則作出，，然后判斷各組向量是否共面可得結(jié)論．【詳解】如圖，作平行六面體，，，，則，，，，由平行六面體知，共面，不共面，不共面，不共面，因此可以作為空間的基底的有3組．故選：C．8．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，是不共面的三個(gè)向量，下列能構(gòu)成一組基的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】【分析】由不共面的三個(gè)向量能構(gòu)成一組基底判斷.【詳解】A.因?yàn)?，則三個(gè)向量共面，所以三個(gè)向量不能構(gòu)成一組基底；B.因?yàn)?，則三個(gè)向量共面，所以三個(gè)向量不能構(gòu)成一組基底；C.假設(shè)，，共面，則必存在x，y，有，因?yàn)?，，是不共面，則，不成立，則三個(gè)向量不共面，所以三個(gè)向量能構(gòu)成一組基底；D.因?yàn)椋瑒t三個(gè)向量共面，所以三個(gè)向量不能構(gòu)成一組基底；故選：C9．（多選題）已知是不共面的三個(gè)向量，則下列向量組中，不能構(gòu)成一個(gè)基底的一組向量是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】【分析】利用空間向量基底的意義逐一分析各選項(xiàng)中的三個(gè)向量是否共面即可得解.【詳解】對(duì)于A，因，則三個(gè)向量共面，它們不能構(gòu)成一個(gè)基底；對(duì)于B，因，則三個(gè)向量共面，它們不能構(gòu)成一個(gè)基底；對(duì)于C，假設(shè)共面，則必有不全為0的實(shí)數(shù)，使得，因不共面，則，即，與不全為0矛盾，因此，不共面，它們能構(gòu)成一個(gè)基底；對(duì)于D，因，則三個(gè)向量共面，它們不能構(gòu)成一個(gè)基底，所以不能構(gòu)成一個(gè)基底的一組向量是ABD.故選：ABD10．（多選題）（重慶市名校聯(lián)盟2021?2022學(xué)年高二上學(xué)期第一次聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題）已知M，A，B，C四點(diǎn)互不重合且任意三點(diǎn)不共線，則下列式子中能使成為空間的一個(gè)基底的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)基底的性質(zhì)，結(jié)合各選項(xiàng)中向量的線性關(guān)系、空間向量基本定理判斷M、A、B、C是否共面，即可知是否能成為空間基底.【詳解】A：因?yàn)?，且，利用平面向量基本定理知：點(diǎn)M不在平面ABC內(nèi)，向量能構(gòu)成一個(gè)空間基底；B：因?yàn)?，利用平面向量基本定理知：向量共面，不能?gòu)成一個(gè)空間基底；C：由，利用平面向量基本定理和空間平行六面體法知：OM是以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的對(duì)角線，向量能構(gòu)成一個(gè)空間基底；D：由，根據(jù)平面向量的基本定理知：向量共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底.故選：AC.11．（多選題）（重慶市2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）若向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)空間向量的基本定理和空間向量的基底，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，解得，故共面；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，解得，故共面；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，無(wú)解，故不共面；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，解得，故共面；故選：ABD12．（多選題）（廣東省梅州市2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】ABD【解析】【分析】逐項(xiàng)判斷各選項(xiàng)的向量是否不共面，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，故，，共面；?duì)于B，因?yàn)椋?，，共面；?duì)于D，因?yàn)?，故，，共面；?duì)于C，若，，共面，則存在實(shí)數(shù)，使得：，，故共面，這與構(gòu)成空間的一個(gè)基底矛盾，故選：ABD13．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量、、可以構(gòu)成空間向量的一組基底，則這三個(gè)向量中哪一個(gè)向量可以與向量和向量構(gòu)成空間向量的另一組基底？【答案】，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】利用共面向量的基本定理可判斷出、、共面，、、共面，然后利用反證法與共面向量的基本定理可證得、、不共面，即可得出結(jié)論.【詳解】解：因?yàn)?，，故、、共面，、、共面，假設(shè)、、共面，則存在實(shí)數(shù)、，使得，所以，，則、、共面，與題設(shè)條件矛盾，故假設(shè)不成立，即、、可構(gòu)成空間向量的一組基底.題型二：基底的運(yùn)用1．（2022·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，OABC是四面體，G是的重心，是OG上一點(diǎn)，且，則（

）A． B．=C．= D．=【答案】B【解析】【分析】利用向量加法減法的幾何意義并依據(jù)空間向量基本定理去求向量【詳解】連接AG并延長(zhǎng)交BC于N，連接ON，由G是的重心，可得，則則故選：B2．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)高二階段練習(xí)）在四面體中，，，，點(diǎn)在上，且，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算可得出關(guān)于、的表達(dá)式，再利用可求得結(jié)果.【詳解】由已知，所以，，故選：D.3．（2022·江蘇南通·高二期中）如圖所示，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在OA上，且，M為OA中點(diǎn)，N為BC中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】由題意得：，故選：A4．（2022·江蘇·泰州中學(xué)高二期中）在四棱柱中，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意利用空間向量基本定理求解即可【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以A錯(cuò)誤因?yàn)椋?，所?故選：D5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐中，設(shè)，若，則=（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】連接根據(jù)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征及空間向量加減法、數(shù)乘的幾何意義，用表示，即可知正確選項(xiàng).【詳解】連接.故選：A6．（2022·江蘇常州·高二期中）在四面體中，，點(diǎn)在上，且為中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算，空間向量基本定理求解即可．【詳解】解：點(diǎn)在線段上，且，為中點(diǎn)，，，．故選：B．7．（2022·江蘇宿遷·高二期中）已知是所在平面外一點(diǎn)，是中點(diǎn)，且，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】利用向量減法的三角形法則進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)镸是PC中點(diǎn)，，又，，∴.故選：A.8．（2022·江蘇揚(yáng)州·高二期中）如圖，在正方體中，，，，若為的中點(diǎn)，在上，且，則等于（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的線性元素和空間向量的基本定理求解.【詳解】，，故選：B9．（2022·福建龍巖·高二期中）在平行六面體中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用向量加法的平行四邊形法則，減法的三角形法則即可求解【詳解】因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以所以即故選：B10．（2022·上海市控江中學(xué)高二期中）如圖，在四面體中，是的中點(diǎn)，設(shè)，，，請(qǐng)用??的線性組合表示___________.【答案】【解析】【分析】先求出，再由求解即可.【詳解】在中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以.故答案為：.11．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱柱中，M為的中點(diǎn)，若，，，則______．（用、、表示）【答案】【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合題意，求解即可.【詳解】根據(jù)題意，.故答案為：.12．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱AM的長(zhǎng)為3，且，N是CM的中點(diǎn)，設(shè)，，，用、、表示向量，并求BN的長(zhǎng)．【答案】，【解析】【分析】根據(jù)題中條件，由向量的線性運(yùn)算，即可得出；再由向量模的計(jì)算公式，結(jié)合題中條件，可求出，即得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，底面是正方形，所以，又由題意，可得，，，，，因此，所以，即的長(zhǎng)為.13．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，是的中點(diǎn)．(1)設(shè)，，，用向量、、表示；(2)設(shè)，，，用向量、、表示．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)向量加法運(yùn)算求解即可；（2）由題知，進(jìn)而得，，，再根據(jù)求解即可.(1)解：如圖，根據(jù)向量加法法則得：.(2)解：由（1）得，因?yàn)?，所以，?所以，14．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知是平行六面體．(1)化簡(jiǎn)；(2)設(shè)是底面的中心，是側(cè)面對(duì)角線上的分點(diǎn)，設(shè)，試求，，的值．【答案】(1)；(2)，，.【解析】【分析】（1）利用平行六面體的性質(zhì)及向量的線性運(yùn)算即得；（2）利用向量線性運(yùn)算的幾何表示可得，進(jìn)而即得.(1)∵是平行六面體，∴(2)∵，又，∴，，.15．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行六面體中，，，兩兩夾角為60°，長(zhǎng)度分別為2，3，1，點(diǎn)在線段上，且，記，，．試用，，表示．【答案】【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算，即可用，，表示.【詳解】因?yàn)樵谄叫辛骟w中，點(diǎn)在線段上，且，所以.題型三：正交分解1．（2022·福建省寧化第一中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）設(shè)是單位正交基底，已知向量在基底下的坐標(biāo)為，其中，，，則向量在基底下的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由題設(shè)得，結(jié)合已知條件求關(guān)于的線性表達(dá)式，即可知在基底下的坐標(biāo).【詳解】由題設(shè)知：，而，，，∴，∴在基底下的坐標(biāo)是.故選：B2．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)為空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底，，，則等于（

）A．7 B． C．23 D．11【答案】B【解析】【分析】由向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)直接求解即可【詳解】解：因?yàn)闉榭臻g的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底，所以，所以．故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題3．（2022·甘肅省武威第一中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知向量是一組單位正交向量，則＝()A．7 B．－20 C．28 D．11【答案】C【解析】【分析】向量是一組單位正交向量，所以，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的分配率求解即可.【詳解】向量是一組單位正交向量，所以.，所以.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知i，j，k為標(biāo)準(zhǔn)正交基底，a＝i＋2j＋3k，則a在i方向上的投影為()A．1 B．－1C． D．－【答案】A【解析】【詳解】a·i＝|a||i|cos〈a，i〉，∴|a|cos〈a，i〉＝(i＋2j＋3k)·i＝1.答案：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量投影的概念及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量為單位正交基底，，，則________．【答案】【解析】【分析】由向量為單位正交基底，可得向量的坐標(biāo)，利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示和模長(zhǎng)公式，即得解【詳解】由題意，向量為單位正交基底故答案為：6．（2022·福建·文博中學(xué)高二階段練習(xí)）已知是空間向量的單位正交基底，是空間向量的另一個(gè)基底，若向量在基底下的坐標(biāo)是，則向量在基底下的坐標(biāo)是___________.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)題意得到，即可求得向量在基底下的坐標(biāo)，得到答案.【詳解】因?yàn)橄蛄吭诨紫碌淖鴺?biāo)是，可得，所以向量在基底下的坐標(biāo)是.故答案為：.7．（2022·山西陽(yáng)泉·高二期末（理））設(shè){i，j，k}是空間向量的單位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，則向量a與b的位置關(guān)系是________.【答案】【解析】【分析】由向量的數(shù)量積運(yùn)算，易得a·b＝0，從而得垂直關(guān)系.【詳解】∵a·b＝－6i2＋8j2－2k2＝－6＋8－2＝0.∴a⊥b.答案：a⊥b．【點(diǎn)睛】本題主要是考查了向量垂直的條件：數(shù)量積為0，屬于基礎(chǔ)題.8．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，是空間的一組單位正交基，向量，，是空間的另一組基．若向量在基下的坐標(biāo)為，求在基下的坐標(biāo)．【答案】【解析】【分析】設(shè)，由空間向量基本定理列出方程組，即可求解．【詳解】由題意有，設(shè)，則則有，得，在基下的坐標(biāo)為9．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）已知在標(biāo)準(zhǔn)正交基下，向量，，，求向量在上的投影．【答案】【解析】【分析】利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合向量投影的定義可求得結(jié)果.【詳解】解：非零向量在非零向量方向上的投影為，由已知可得，且，，所以，向量在上的投影為.10．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，以D為原點(diǎn)，為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系．求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】【分析】用基底表示出向量，證明.【詳解】由題意，,,所以所以.11．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）是空間的一個(gè)單位正交基底，向量，是空間的另一個(gè)基底，用基底表示向量．【答案】【解析】【分析】設(shè)，然后整理解方程組即可.【詳解】設(shè)，即有，因?yàn)槭强臻g的一個(gè)單位正交基底，所以有，所以.題型四：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問(wèn)題1．（2022·江蘇常州·高二期中）如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，若，且，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】將作為基底，利用空間向量基本定理用基底表示，然后對(duì)其平方化簡(jiǎn)后，再開(kāi)方可求得結(jié)果【詳解】由題意得，，因?yàn)?所以，所以，故選：C2．（2022·福建·古田縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，，，，點(diǎn)P在上，且，則在基底下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意和空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意得，，，所以，即，所以.故選：B3．（2022·浙江·於潛中學(xué)高二期中）在如圖所示的平行六面體中，已知，，，N為上一點(diǎn)，且，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】將作為基底，用基底把表示出來(lái)，再由，可得，從而可求出【詳解】令，因?yàn)?，所以，令，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以因?yàn)?，，所以，所以，解得，故選：D4．（2022·遼寧大連·高二期末）如圖，空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于1，E、F、G分別是AB、AD、DC的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理及線性運(yùn)算可得，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)題意可知，空間四邊形的四個(gè)面都是等邊三角形，則，則.故選：A.5．（2022·山西·康杰中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知斜三棱柱所有棱長(zhǎng)均為2，，點(diǎn)?滿足，，則（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】【分析】以向量為基底向量，則，根據(jù)條件由向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，兩邊平方可得答案.【詳解】以向量為基底向量，所以所以故選：D6．（2022·四川·閬中中學(xué)高二階段練習(xí)（理））如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1與B1C相交于點(diǎn)O，∠A1AB=∠A1AC=，∠BAC=，A1A=3，AB=AC=2，則線段AO的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】用表示出，計(jì)算，開(kāi)方得出AO的長(zhǎng)度.【詳解】因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危?,,,，即.故選：A7．（多選題）（2022·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高二期中）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點(diǎn)，若，則下列正確的是（

）A． B．C．的長(zhǎng)為 D．【答案】BD【解析】【分析】AB選項(xiàng)，利用空間向量基本定理進(jìn)行推導(dǎo)即可；C選項(xiàng)，在B選項(xiàng)的基礎(chǔ)上，平方后計(jì)算出，從而求出；D選項(xiàng)，利用向量夾角的余弦公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)誤，對(duì)于B選項(xiàng)，，B正確：對(duì)于C選項(xiàng)，，則，則，C錯(cuò)誤：對(duì)于，則，D正確.故選：BD.8．（2022·全國(guó)·高二期末）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，E、F分別是棱AD、上的中點(diǎn)．若點(diǎn)P為側(cè)面正方形內(nèi)（含邊）動(dòng)點(diǎn)，且存在x、，使成立，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】由題知，共面，即平面，取中點(diǎn)，連接、、，易證平面平面，所以點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的軌跡為線段，由勾股定理計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)槌闪ⅲ怨裁?，即平面，如圖，取中點(diǎn)，連接、、，根據(jù)正方體的性質(zhì)得，，平面，平面，平面，，同理可證平面，且，所以平面平面，所以點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的軌跡為線段，因?yàn)椋?，由勾股定理得，故答案為?9．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）自然界中，構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元稱為晶胞，其形狀一般是平行六面體，具體形狀大小由它的三組棱長(zhǎng)a、b、c及棱間交角、、（合稱為“晶胞參數(shù)”）來(lái)表征.如圖是某種晶體的晶胞，其中，，，，，則該晶胞的對(duì)角線的長(zhǎng)為_(kāi)_________.【答案】【解析】數(shù)形結(jié)合以及使用向量的方法，可得，然后先平方再開(kāi)方可得結(jié)果.【詳解】如圖所示：所以依題可知：，所以所以則，故故答案為：10．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）三棱柱中，，分別是，上的點(diǎn)，且，.若，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______.【答案】【解析】由題意畫(huà)出圖形，設(shè)，，，將用，，表示出來(lái)，求的模長(zhǎng)即可求解.【詳解】如圖設(shè)，，，所以，因?yàn)?所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵是將用從點(diǎn)出發(fā)的一組基底，，表示出來(lái)計(jì)算其模長(zhǎng)即可.11．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知矩形中，，，將矩形沿對(duì)角線折起，使平面與平面垂直，過(guò)，分別向作垂線，垂足分別為，，用，，表示，則______，與之間的距離為_(kāi)_____．【答案】

；

.【解析】【分析】利用向量的線性運(yùn)算的幾何表示可得，然