概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章隨機變量第一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六

§2.2

§2.3

§2.4第2章隨機變量§2.1隨機變量的定義第二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.1隨機變量的定義

1.引進隨機變量（r.v)的目的隨機事件：樣本空間的子集。例如：擲一次骰子出現(xiàn)的點數(shù)建立一種函數(shù)關(guān)系：

一.隨機變量的定義1).量化隨機事件2).引進微積分來研究隨機試驗第三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.1隨機變量的定義

引例：請適當定義一變量（函數(shù)）使之與下列各隨機試驗的結(jié)果對應起來.例2.1.1

擲一枚硬幣，觀察朝上一面

一.隨機變量的定義例2.1.3

從一批燈泡中任取一只，測其壽命例2.1.2

射擊一個目標，擊中為止，記錄射擊次數(shù)第四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量注（1）隨機變量是一個函數(shù)。定義在樣本空間上。取值在實軸上；（2）與一般函數(shù)不同，它的自變量是隨機實驗的結(jié)果；（3）隨機變量的取值具有隨機性。

一.隨機變量的定義§2.1隨機變量的定義

定義2.1.1.設隨機試驗的樣本空間為，如果對中的每一個元素，有一個實數(shù)與之對應，這樣就得到了一個定義在上的實值函數(shù)，稱為隨機變量。第五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量二.隨機事件的表示

.

§2.1隨機變量的定義第六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六

§2.2

§2.3

§2.4第2章隨機變量及其分布§2.2離散型隨機變量第七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.2離散型隨機變量一.離散型隨機變量

例如,擲骰子朝上一面的點數(shù)(1,2,3,4,5,6)、電梯在一年內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)（0,1,2，…)等均為離散型隨機變量。

連續(xù)型隨機變量:其全部可能取得值雖然也是無限多，但這些值充滿了某個區(qū)間，不能一一羅列出來.

例如，而某元件壽命，零件的長度則的所有可能取值充滿一個區(qū)間,無法按一定次序一一列舉出來,因而它是一個連續(xù)型隨機變量.第八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.2離散型隨機變量二.離散型隨機變量的概率分布第九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.2離散型隨機變量

概率分布（分布律）也可以表示為表格形式：二.離散型隨機變量的概率分布

注(1)上述兩條性質(zhì)是分布律必須具有的性質(zhì).如果一個數(shù)列

具有以上兩條性質(zhì),則它可以作為某離散型隨機變量的分布律.

(2)第十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.2離散型隨機變量

所以，概率分布體現(xiàn)了隨機變量取各個可能值的概率的分布情況。二.離散型隨機變量的概率分布第十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.2離散型隨機變量二.離散型隨機變量的概率分布第十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.2離散型隨機變量二.離散型隨機變量的概率分布第十三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.2離散型隨機變量三.常見的離散型隨機變量的概率分布第十四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.2離散型隨機變量三.常見的離散型隨機變量的概率分布服從兩點分布的隨機變量：例如：射手射擊是否中靶，產(chǎn)品是否合格，明天是否下雨，種子是否發(fā)芽…第十五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.2離散型隨機變量三.常見的離散型隨機變量的概率分布第十六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.2離散型隨機變量三.常見的離散型隨機變量的概率分布2.二項分布第十七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.2離散型隨機變量三.常見的離散型隨機變量的概率分布2.二項分布第十八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.2離散型隨機變量三.常見的離散型隨機變量的概率分布2.二項分布第十九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.2離散型隨機變量三.常見的離散型隨機變量的概率分布二項分布與n次伯努利試驗關(guān)系第二十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.2離散型隨機變量例2.2.4

一種40瓦的燈泡，規(guī)定其使用壽命超過2000小時的為正品，否則為次品。一直有很大一批這樣的燈泡，其次品率為0.2?，F(xiàn)從該批燈泡中隨機的抽取20只做壽命試驗，問這20只燈泡恰有k只次品的概率是多少？解我們將觀測一只燈泡的使用壽命是否超過2000小時，看成一次試驗，觀測20只燈泡，相當于做20次伯努利試驗。三.常見的離散型隨機變量的概率分布2.二項分布用X記20只燈泡中次品的只數(shù)，則X是一個隨機變量且X~B(20,0.2)，于是，得。第二十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.2離散型隨機變量例2.2.5

設每天每輛出租車出現(xiàn)故障的概率為0.02，某出租車公司共有出租車400輛，試求一天內(nèi)沒有出租車出現(xiàn)故障的概率。解觀測一輛出租車是否出現(xiàn)故障，看成一次試驗。觀測400輛出租車，相當于做400次伯努利試驗。三.常見的離散型隨機變量的概率分布2.二項分布用X記一天出現(xiàn)故障的出租車數(shù)量，則X是一個隨機變量且X~B(400,0.02)，于是，得。第二十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.2離散型隨機變量三.常見的離散型隨機變量的概率分布3.泊松分布第二十三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.2離散型隨機變量3.泊松分布查表210頁第二十四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.2離散型隨機變量第二十五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.2離散型隨機變量第二十六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.2離散型隨機變量重點：求解離散型隨機變量的概率分布熟記并會應用常見離散型隨機變量的概率分布課后作業(yè)：P.48——2.4,2.5,2.6，2.7第二十七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六

§2.2

§2.3

§2.4

§2.5-7

第2章隨機變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機變量第二十八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.3連續(xù)型隨機變量及其分布

如燈泡的壽命、測量誤差、天氣溫度的變化等都是連續(xù)型隨機變量，其特點為所有可能取值充滿一個區(qū)間,對這種類型的隨機變量,不能象離散型隨機變量那樣,以指定它取每個值概率的方式,去給出其概率分布,而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.

下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機變量的描述方法.一.連續(xù)型隨機變量第二十九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.3連續(xù)型隨機變量及其分布例.某工廠生產(chǎn)一種零件，由于生產(chǎn)過程中各種隨機因素的影響，零件長度不全相同，現(xiàn)測得該廠生產(chǎn)的100個零件的長度（單位：毫米）如下：129,132,136,145,147,142,138,144,147,142,137,144,144,134,149,142,137,137,155,128,143,144,148,139,143,142,123,142,148,137,142,144,141,149,132,134,145,132,140,142,130,145,148,143,148,135,136,152,141,146,138,131,138,136,144,142,142,137,141,134,142,133,153,143,145,140,137,142,150,141,139,139,150,139,137,139,140,143,149,136,142,134,134,146,145,130,136,140,134,142,142,135,131,136,139,137,144,141,136,140.一.直方圖

設隨機變量X表示零件的長度，下面來畫直方圖第三十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.3連續(xù)型隨機變量及其分布（2）確定區(qū)間：（127.5,155.5）取左端點比最小值稍小，右端點比最大值稍大，可包含所有數(shù)據(jù)；（1）找最大值與最小值：128,155；

（3）等分區(qū)間：將（127.5,155.5）等分為7個小區(qū)間

(127.5,131.5)，(131.5,135.5)，(135.5,139.5),(139.5,143.5)，(143.5,147.5)，(147.5,151.5),(151.5,155.5)，每個區(qū)間稱為一個組，區(qū)間的長度為組距；（4）計算頻數(shù)、頻率和頻率/組距：數(shù)據(jù)落入每個組的個數(shù)為頻數(shù)，每個組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總個數(shù)的比值是頻率，列表：一.直方圖

第三十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.3連續(xù)型隨機變量及其分布組頻數(shù)頻率頻率/組距(127.5,131.5)60.060.015(131.5,135.5)120.120.03(135.5,139.5)240.240.06(139.5,143.5)280.280.07(143.5,147.5)180.180.045(147.5,151.5)80.080.02(151.5,135.5)40.040.01（5）畫直方圖：平面直角坐標系橫軸上截取各組區(qū)間，縱軸表示頻率/組距，以該區(qū)間為底，以頻率/組距為高做長方形，則其面積為該組頻率。畫圖：第三十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.3連續(xù)型隨機變量及其分布0.070.060.050.040.030.020.01頻率/組距127.5131.5135.5139.5143.5147.5151.5155.5組區(qū)間當數(shù)據(jù)個數(shù)越多，分組越細，其輪廓接近于一條曲線概率密度曲線第三十三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.3連續(xù)型隨機變量及其分布二.連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)

第三十四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.3連續(xù)型隨機變量及其分布第三十五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.3連續(xù)型隨機變量及其分布三.概率密度函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1.2是判定一個函數(shù)

f(x)是否為某隨機變量X的概率密度函數(shù)的充要條件.第三十六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.3連續(xù)型隨機變量及其分布第三十七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量及其分布§2.4連續(xù)型隨機變量及其分布四.常見的連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)1.均勻分布Uniform.adj均勻的，統(tǒng)一的第三十八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量及其分布§2.4連續(xù)型隨機變量及其分布第三十九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量及其分布§2.4連續(xù)型隨機變量及其分布即乘客候車時間少于5分鐘的概率為第四十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量及其分布§2.4連續(xù)型隨機變量及其分布2.指數(shù)分布指數(shù)分布是最常用的壽命分布，如元件的壽命，隨機服務系統(tǒng)的服務時間等都服從指數(shù)分布.第四十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量及其分布§2.4連續(xù)型隨機變量及其分布第四十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.3連續(xù)型隨機變量及其分布3.正態(tài)分布Normal.adj正常的，標準的第四十三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量及其分布§2.4連續(xù)型隨機變量及其分布鐘形曲線第四十四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.3連續(xù)型隨機變量及其分布4.標準正態(tài)分布X～N(0,1)概率密度記作記性質(zhì)（1）正態(tài)分布（2)標準正態(tài)分布令第四十五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量及其分布§2.4連續(xù)型隨機變量及其分布注：（1）若X～N(0,1),第四十六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.3連續(xù)型隨機變量及其分布查表4.標準正態(tài)分布第四十七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.3連續(xù)型隨機變量及其分布解

合格品的概率為例2.3.3

已知某臺機器生產(chǎn)的螺栓長度X（單位：厘米）服從參數(shù)的正態(tài)分布。規(guī)定螺栓長度在10.05±0.12內(nèi)為合格品，試求螺栓為合格品的概率。4.標準正態(tài)分布第四十八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.3連續(xù)型隨機變量及其分布4.標準正態(tài)分布第四十九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.3連續(xù)型隨機變量及其分布重點：

1.連續(xù)型隨機變量的概率計算方法

2.三種常見的連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)，極其應用課后作業(yè):p48-p492.92.112.122.14

第五十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六

§2.2

§2.3

§2.4第2章隨機變量及其分布§2.3隨機變量的分布函數(shù)第五十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.3隨機變量的分布函數(shù)一.隨機變量的分布函數(shù)

刻畫概率的分布情況：（1）離散型隨機變量——分布律（概率分布）（2）連續(xù)型隨機變量——概率密函數(shù)問題：引入分布函數(shù)，可對上述兩類隨機變量的概率分布情況進行刻畫。第五十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.3隨機變量的分布函數(shù)一.隨機變量的分布函數(shù)

第五十三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.3隨機變量的分布函數(shù)

因此，只要知道了隨機變量X的分布函數(shù)，它的統(tǒng)計特性就可以得到全面的描述.第五十四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.3隨機變量的分布函數(shù)一.分布函數(shù)的性質(zhì)

第五十五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.3隨機變量的分布函數(shù)一.分布函數(shù)的性質(zhì)

第五十六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.3隨機變量的分布函數(shù)二.求隨機變量的分布函數(shù)F(x)是X取的諸值xk

的概率之和，故又稱F(x)為累積概率函數(shù).第五十七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.3隨機變量的分布函數(shù)三.隨機變量的分布函數(shù)實例第五十八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.3隨機變量的分布函數(shù)三.隨機變量的分布函數(shù)實例第五十九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.3隨機變量的分布函數(shù)三.隨機變量的分布函數(shù)實例第六十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期六第二章隨機變量§2.3隨機變量的分布函數(shù)三.隨機變量的分布函數(shù)實例第六十一頁，共七十頁，編輯