2022-2023學年廣東省珠海市斗門區(qū)高二下學期期中數(shù)學試題一、單選題1．設為等差數(shù)列的前n項和，若，則（

）A． B． C．10 D．12【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解.【詳解】由,解得，故選：B2．設函數(shù)的導數(shù)為，且，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】可先求函數(shù)的導數(shù)，令求出即可.【詳解】由，令得，解得.故選：B.3．中國空間站（ChinaSpaceStation）的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．2022年10月31日15:37分，我國將“夢天實驗艙”成功送上太空，完成了最后一個關鍵部分的發(fā)射，“夢天實驗艙”也和“天和核心艙”按照計劃成功對接，成為“T”字形架構，我國成功將中國空間站建設完畢．2023年，中國空間站將正式進入運營階段．假設空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實驗，三艙中每個艙中都有2人，則不同的安排方法有（

）A．72種 B．90種 C．360種 D．450種【答案】B【分析】利用分組和分配的求法求得名航天員的安排方案.【詳解】由題知，6名航天員安排三艙，三艙中每個艙中都有2人,所以共有種；故選：B.4．在含有2件次品的30件產(chǎn)品中，任取3件，則恰好取到1件次品的不同方法數(shù)共有（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】采用分步的方法，先取一件次品，再取2件正品即可.【詳解】取一件次品有不同方法數(shù)，取2件正品有不同方法數(shù)，故恰好取到1件次品的不同方法數(shù)：.故選：B.5．若的展開式中的系數(shù)是80，則實數(shù)a的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】求出展開式的通項，令的系數(shù)為可得項的系數(shù)，列方程求解即可.【詳解】展開式的通項為令，可得系數(shù)為，可得．故選：B.6．已知1和4為等比數(shù)列前5項中的兩項，則第5項的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意顯然第5項應該為負，此時，可知第1,3,項也為負，據(jù)此可判斷.【詳解】因為等比數(shù)列中，1和4為等比數(shù)列中兩項，故第1,3,5項可以為負，此時，若最小，則需要且最小，所以第2項為1，第4項為4時，，此時，可得，故選：B.7．若正項數(shù)列滿足，，設，，則下列說法中一定正確的是（

）A．對任意的正整數(shù)n，恒有 B．對任意的正整數(shù)n，恒有C．對任意的正整數(shù)n，恒有 D．對任意的正整數(shù)n，恒有【答案】C【分析】構造，求導后得到單調(diào)性和極值，最值情況，故而得到，推出，A錯誤；舉出反例可得B錯誤；得到，累加法得到，從而得到，D錯誤，C正確.【詳解】設函數(shù)，則，可得在上嚴格遞減，在上嚴格遞增，所以在處取得極小值，也是最小值，故.又，則.因為，即，所以排除B；因為，故當時，，此時排除A；因為，即，所以，得，即，所以排除D，故選：C.【點睛】數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即定義域為正整數(shù)集的函數(shù)，故除利用通項公式，求和公式外還可利用函數(shù)，導函數(shù)的知識點來處理數(shù)列問題.8．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，由可得，利用導數(shù)可確定與圖象的位置關系，進而得到與有三個不同交點，并根據(jù)圖象可確定三個交點，采用數(shù)形結合的方式可確定與、和的交點總數(shù)，即為所求的零點個數(shù).【詳解】設，令可得：；設與相切于點，，切線斜率為，則切線方程為：，即，，解得：，；設與相切于點，，切線斜率為，則切線方程為：，即，，解得：，；作出與圖象如下圖所示，與有三個不同交點，即與有三個不同交點，設三個交點為，由圖象可知：；與無交點，與有三個不同交點，與有兩個不同交點，的零點個數(shù)為個.故選：A.【點睛】方法點睛：求解函數(shù)零點個數(shù)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根的個數(shù)，即為所求零點個數(shù)；（2）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解.二、多選題9．在的展開式中，有理項恰有兩項，則的可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用二項式定理的通項公式得到滿足題意的項【詳解】展開式通項為，對于A，展開式通項為，所以由可得或8，所以此時有兩個有理項，故正確；對于B，展開式通項為，所以由可得或6或12，所以此時有三個有理項，故錯誤；對于C，展開式通項為，所以由可得或10，所以此時有兩個有理項，故正確；對于D，展開式通項為，所以由可得或6或12，所以此時有三個有理項，故錯誤；故選：AC10．已知數(shù)列滿足，為的前n項和，則（

）A．若，則B．若，則C．存在實數(shù)a，使為無窮多項的常數(shù)列D．存在實數(shù)，使成等差數(shù)列【答案】BD【分析】A.易得是周期為3的周期數(shù)列求解判斷；B.根據(jù)是周期為3的周期數(shù)列求解判斷；C.設為常數(shù)列，有求解判斷；D.根據(jù)根據(jù)是周期為3的周期數(shù)列求解判斷.【詳解】當時，，，，，…，∴是周期為3的周期數(shù)列，∴，故A錯誤．由A可知，，∴，故B正確．若為常數(shù)列，則必有，故，即，此方程無解，故C錯誤．當時，由A可知，故D正確．故選：BD．11．以下四個命題，其中滿足“假設當時命題成立，則當時命題也成立”，但不滿足“當（是題中給定的n的初始值）時命題成立”的是（

）A．B．C．凸n邊形的內(nèi)角和為D．凸n邊形的對角線條數(shù)【答案】AB【分析】A、B、C應用數(shù)學歸納法判斷是否滿足要求；D在成立的條件下判斷是否成立即可判斷.【詳解】A：假設當時命題成立，即，當時有，故當時命題也成立，當時有，故當n為給定的初始值時命題不成立；B：假設當時命題成立，即，當時有，故當時命題也成立，當時，等號左邊為2，右邊為，，所以當時命題不成立；C：假設當時命題成立，即，當時有，故當時命題也成立，當時內(nèi)角和為命題成立；D：假設當時命題成立，即，當時有，故當時命題不成立.綜上可知，滿足條件的選項為AB故選：AB.12．已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為R，若為奇函數(shù)，的圖象關于y軸對稱，則下列結論中一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)為奇函數(shù)可得，根據(jù)的圖象關于y軸對稱可得，兩個等式兩邊同時取導數(shù)，可得、，對x賦值，結合選項即可求解.【詳解】因為為奇函數(shù)，定義域為R，所以，故，等式兩邊同時取導數(shù)，得，即①，因為的圖象關于y軸對稱，則，故，等式兩邊同時取導數(shù)，得②.由，令，得，解得，由，令，得，由②，令，得，令，得，解得，故選：ABD.三、填空題13．函數(shù)在處的切線與直線平行，則a＝______．【答案】1【分析】求導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求出切線斜率，結合直線平行建立方程求解即可.【詳解】因為，所以，所以函數(shù)在處的切線斜率為，因為該切線與直線平行，故，解得故答案為：114．張大爺為了鍛煉身體，每天堅持步行，用支付寶APP記錄每天的運動步數(shù).在11月，張大爺每天的運動步數(shù)都比前一天多相同的步數(shù)，經(jīng)過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)前10天的運動步數(shù)是6.9萬步，前20天的運動步數(shù)是15.8萬步，則張大爺在11月份的運動步數(shù)是__________萬步.【答案】26.7【分析】由題分析知張大爺每天的步行步數(shù)成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列及等差數(shù)列前項和公式的性質(zhì)求解.【詳解】設張大爺在11月份每天的運動步數(shù)構成數(shù)列，由題可知該數(shù)列為等差數(shù)列且的前項和為所以成等差數(shù)列，所以，即，解得26.7，所以張大爺在11月份的運動步數(shù)是萬步.故答案為：26.7.15．“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn)．如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和．記“楊輝三角”第n行的第i個數(shù)為，則________．【答案】【分析】根據(jù)楊輝三角及二項式定理即可得解.【詳解】由題意知，當時，.當時，，也適合.綜上，.故答案為：.16．五一期間，某公園準備用不同的花卉裝扮一個有五個區(qū)域的矩形花壇（如圖），要求同一個區(qū)域用同一種花卉，相鄰區(qū)域不能使用同種花卉．現(xiàn)有5種花卉可供選擇，則不同的裝扮方法共有________種（用數(shù)字作答）．

【答案】420【分析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，分D與B裝扮相同花卉和D與B裝扮不同花卉兩種情況求解即可.【詳解】第一類：先裝扮A，有5種情況，裝扮B，有4種情況，裝扮C，有3種情況，D與B用相同花卉裝扮，裝扮E，有3種情況，共有5×4×3×1×3=180種，第二類：先裝扮A，有5種情況，裝扮B，有4種情況，裝扮C，有3種情況，D與B不同顏色花卉裝扮，有2種情況，裝扮E，有2種情況，共有5×4×3×2×2=240種.綜上共有種.故答案為：420.四、解答題17．已知，且二項式系數(shù)和為1024.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）直接由得答案；（2）通過展開式的通項可得的奇數(shù)次方的系數(shù)為負，的偶數(shù)次方的系數(shù)為正，再分別通過令和得到所要的結果.【詳解】（1）二項式系數(shù)的和為，，故；（2），其展開式的通項為，可知的奇數(shù)次方的系數(shù)為負，的偶數(shù)次方的系數(shù)為正．，在中，令，得，令，得，.18．某景區(qū)下周一至周六空氣質(zhì)量預報情況如下表所示．該市有甲、乙、丙三人計劃在下周一至周六選擇一天到該景區(qū)旅游，①甲只選擇空氣質(zhì)量為優(yōu)的一天出游；②乙不選擇周四出游；③丙不選擇周一出游；④甲與乙不選擇同一天出游，從這四個條件中任選其中三個，求這三人出游的不同方法的種數(shù)．周一至周六天空氣質(zhì)量預報：周一周二周三周四周五周六優(yōu)優(yōu)優(yōu)優(yōu)良良【答案】選擇①②③：100；選擇①②④：102；選擇①③④：100；選擇②③④：125.【分析】選擇不同的條件，根據(jù)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理計算求解.【詳解】若選擇①②③,甲、乙、丙分別有不同的選法為4,5,5，則三人出游的不同方法數(shù).若選擇①②④，則需分兩類，第一類，若甲選擇周四出游,則三人出游的不同方法數(shù)；第二類，若甲不選擇周四出游，則三人出游的不同方法數(shù)，故這三人出游的不同方法數(shù).若選擇①③④，甲、乙、丙分別有不同的選法為4,5,5，則三人出游的不同方法數(shù).若選擇②③④，甲、乙、丙分別有不同的選法為5,5,5，則三人出游的不同方法數(shù).19．已知是首項為1的等差數(shù)列，公差是首項為2的等比數(shù)列，．(1)求的通項公式；(2)若數(shù)列的第項，滿足__________（在①②中任選一個條件），，則將其去掉，數(shù)列剩余的各項按原順序組成一個新的數(shù)列，求的前20項和．①②．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差和等比數(shù)列的通項公式，列出基本量方程組，即可求解；（2）若選擇①，得，可知剩下的項就是原數(shù)列的奇數(shù)項，代入等比數(shù)列求和公式，即可求解；若選擇②，，根據(jù)，討論為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，即可判斷求解.【詳解】（1）設的公差為的公比為，因為，所以，聯(lián)立消得，解得或與矛盾，故，代回計算得，所以（2）若選①，則有，所以剩余的項就是原數(shù)列的奇數(shù)項，相當于剩余的項以2為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以；若選②，則有，因為，所以當時，對應的為整數(shù)，滿足，當時，對應的不為整數(shù)，不滿足，所以剩余的項就是原數(shù)列的奇數(shù)項，相當于剩余的項以2為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以；20．已知函數(shù)（a為常數(shù)），討論的單調(diào)性．【答案】答案見解析【分析】先確定函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)求導并分解因式，分，，，討論即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域為.因為，所以，因為，則有：①當時，則，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當時，令，得；令，得或；所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；③當時，（當且僅當時取等號），所以在上單調(diào)遞增；④當時，令，得；令，得或，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；綜上所述：當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.21．已知數(shù)列，滿足，且，數(shù)列滿足．(1)求的通項公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)遞推關系式變形可構造等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求解；（2）求出，放縮后利用裂項相消法求和可證不等式成立.【詳解】（1），