自動(dòng)控制原理第七章第一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)2第七章線性離散系統(tǒng)的分析7.1引言7.2信號(hào)的采樣與保持7.3z變換理論7.4脈沖傳遞函數(shù)7.5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差7.6離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析7.7離散系統(tǒng)的數(shù)字校正第二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)37.1引言1.什么是離散系統(tǒng)？依據(jù)系統(tǒng)中的信號(hào)形式分類(lèi)：連續(xù)時(shí)間(continuous-time)系統(tǒng)：所有信號(hào)都是時(shí)間變量的連續(xù)函數(shù)離散時(shí)間(discrete-time)系統(tǒng)：某些信號(hào)是一串脈沖或數(shù)碼采樣控制(sampled-datacontrol)系統(tǒng)：離散信號(hào)是脈沖序列數(shù)字控制(digitalcontrol)系統(tǒng)：離散信號(hào)是數(shù)字序列第三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)4

連續(xù)信號(hào)：定義在連續(xù)時(shí)間上的信號(hào)。離散信號(hào)：定義在離散時(shí)間點(diǎn)或段上的信號(hào)。離散模擬信號(hào)：時(shí)間上是離散的，幅值上是連續(xù)的脈沖序列離散數(shù)字信號(hào)：時(shí)間上是離散的，幅值上是離散的數(shù)字序列連續(xù)系統(tǒng)：其中的所有變量在時(shí)間和幅值上都是連續(xù)的離散系統(tǒng)：其中的一個(gè)或多個(gè)變量在時(shí)間上是不連續(xù)的離散系統(tǒng)的兩種情況：（1）實(shí)際系統(tǒng)/變量是離散的，如：人口數(shù)量，汽車(chē)產(chǎn)量（2）實(shí)際系統(tǒng)/變量是連續(xù)的====》離散系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)離散化又稱采樣系統(tǒng)第四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)52.為什么要研究離散系統(tǒng)？科技進(jìn)步，數(shù)字控制器逐步取代模擬控制器：脈沖技術(shù)數(shù)字式元部件數(shù)字計(jì)算機(jī)微處理器學(xué)習(xí)離散系統(tǒng)分析設(shè)計(jì)方法的目的：用于計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的分析、設(shè)計(jì)。第五頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)6數(shù)字控制的優(yōu)勢(shì)：由數(shù)字計(jì)算機(jī)構(gòu)成的數(shù)字校正裝置比連續(xù)裝置易于實(shí)現(xiàn)，且由軟件實(shí)現(xiàn)的控制規(guī)律易于改變，控制靈活；采用高靈敏度的控制元件，可提高控制精度；采樣信號(hào)，特別是數(shù)字信號(hào)的傳遞可以有效地抑制噪聲，提高了系統(tǒng)的抗干擾能力，信號(hào)傳遞和轉(zhuǎn)換精度高；采樣的引入使得大延時(shí)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定得以改善。計(jì)算機(jī)在控制精度、速度、性價(jià)比方面的優(yōu)越性；計(jì)算機(jī)具有很好的通用性，可以方便改變控制規(guī)律。直接數(shù)字控制發(fā)展到計(jì)算機(jī)分布控制；對(duì)單一生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行控制到實(shí)現(xiàn)整個(gè)工業(yè)過(guò)程的控制；從簡(jiǎn)單的控制規(guī)律發(fā)展到更高級(jí)的優(yōu)化控制、自適應(yīng)控制等。第六頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)7數(shù)字控制的代價(jià)：采樣點(diǎn)間的信息損失，帶來(lái)量化誤差和量化噪聲。需要增加A/D、D/A等轉(zhuǎn)換裝置或部件。與連續(xù)系統(tǒng)相比穩(wěn)定性變差動(dòng)態(tài)性能會(huì)有所損失第七頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)8研究思路：描述--分析--設(shè)計(jì)分析與設(shè)計(jì)基礎(chǔ):離散系統(tǒng)理論

采樣與保持

z變換理論（數(shù)學(xué)工具）脈沖傳遞函數(shù)第八頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)93.采樣控制系統(tǒng)

其特征是系統(tǒng)中有一處或多處采樣開(kāi)關(guān)，如下圖所示。采樣開(kāi)關(guān)后的信號(hào)就不是連續(xù)的模擬信號(hào)，而是在時(shí)間上離散的脈沖序列，稱為離散信號(hào)。(e是連續(xù)的誤差信號(hào)，經(jīng)采樣開(kāi)關(guān)后，變成一組脈沖序列e*，脈沖控制器對(duì)e*進(jìn)行某種運(yùn)算，產(chǎn)生控制信號(hào)脈沖序列，保持器將采樣信號(hào)變成模擬信號(hào)，作用于被控對(duì)象。)采樣的方式是多樣的，例如周期采樣、多速率采樣、隨機(jī)采樣等，本章只討論周期采樣。

圖7-1采樣控制系統(tǒng)第九頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)104.數(shù)字控制系統(tǒng)

以數(shù)字計(jì)算機(jī)為控制器去控制具有連續(xù)工作狀態(tài)的被控對(duì)象的閉環(huán)控制系統(tǒng)。采樣開(kāi)關(guān)的功能是通過(guò)計(jì)算機(jī)程序來(lái)實(shí)現(xiàn)的。模擬信號(hào)經(jīng)A/D轉(zhuǎn)換后，不僅在時(shí)間上離散，在幅值上也是離散的，稱為數(shù)字信號(hào)。

圖7-2數(shù)字控制系統(tǒng)第十頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)11第十一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)127.2信號(hào)的采樣與保持7.2.1采樣過(guò)程把連續(xù)信號(hào)變換為脈沖序列的裝置稱為采樣器，又叫采樣開(kāi)關(guān)。采樣過(guò)程可以用一個(gè)周期性閉合的采樣開(kāi)關(guān)S

來(lái)表示，如下圖所示。采樣開(kāi)關(guān)每隔T秒閉合一次，閉合的持續(xù)時(shí)間為τ。第十二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)13理想采樣器：采樣開(kāi)關(guān)的閉合時(shí)間τ=0。物理意義：可以看成是單位理想脈沖串T(t)被輸入信號(hào)e(t)進(jìn)行調(diào)制的過(guò)程，如圖所示。圖（d）中，e(t)為調(diào)制信號(hào)，T(t)為載波信號(hào)，e*(t)為理想輸出脈沖序列（調(diào)制波）。圖7-4理想采樣過(guò)程第十三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)14采樣開(kāi)關(guān)的周期性動(dòng)作相當(dāng)于產(chǎn)生一串理想脈沖序列（圖b）輸入模擬信號(hào)經(jīng)過(guò)理想采樣器的過(guò)程，相當(dāng)于e(t)調(diào)制在載波T(t)上的結(jié)果（圖c）因?yàn)橹辉诓蓸铀查gt=nT才有意義，故上式可寫(xiě)成第十四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)157.2.2保持器連續(xù)信號(hào)經(jīng)過(guò)采樣器后轉(zhuǎn)換成離散信號(hào)，經(jīng)由脈沖控制器處理后仍然是離散信號(hào)，而采樣控制系統(tǒng)的連續(xù)部分只能接收連續(xù)信號(hào)，因此需要保持器來(lái)將離散信號(hào)轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號(hào)。最簡(jiǎn)單同時(shí)也是工程上應(yīng)用最廣的保持器是零階保持器，這是一種采用恒值外推規(guī)律的保持器。它把前一采樣時(shí)刻的值不增不減地保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻，其輸入信號(hào)和輸出信號(hào)的關(guān)系如下圖所示。

圖7-5零階保持器的輸入和輸出信號(hào)第十五頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)16零階保持器的單位脈沖響應(yīng)如下圖所示，可表示為

上式的拉氏變換式為圖7-6零階保持器的單位脈沖響應(yīng)第十六頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)17令上式中的s＝j(luò)ω

，可求得零階保持器的頻率特性

第十七頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一零階保持器T=0.4T=0.8T=0.2T=3第十八頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)19零階保持器的幾點(diǎn)說(shuō)明：幅值隨角頻率ω

的增大而衰減，具有明顯的低通特性除了主頻譜外，還存在一些高頻分量產(chǎn)生相角滯后，使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性變差輸出信號(hào)為階梯信號(hào)，產(chǎn)生半周期的時(shí)間滯后輸出信號(hào)為階梯信號(hào)同時(shí)增加系統(tǒng)輸出紋波第十九頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)20問(wèn)題的提出連續(xù)信號(hào)e(t)經(jīng)過(guò)采樣后，只能給出采樣點(diǎn)上的數(shù)值，不能知道各采樣時(shí)刻之間的數(shù)值。從時(shí)域上看，采樣過(guò)程損失了e(t)所含的信息。采樣信號(hào)的信息并不等于連續(xù)信號(hào)的全部信息，怎樣才能從采樣信號(hào)中不失真地復(fù)現(xiàn)原來(lái)的連續(xù)信號(hào)，使采樣信號(hào)e*(t)反映e(t)的變化規(guī)律呢？7.2.3香農(nóng)采樣定理

(samplingtheorem,C.E.Shannon,1948)

--設(shè)計(jì)離散控制系統(tǒng)必須嚴(yán)格遵守的準(zhǔn)則(a)連續(xù)信號(hào)te(t)(b)離散信號(hào)te(t)第二十頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)21信號(hào)頻譜：連續(xù)信號(hào)：?jiǎn)我活l譜，ωm為頻譜中的最大角頻率采樣信號(hào)：以采樣角頻率s為周期的無(wú)窮多個(gè)頻譜之和連續(xù)信號(hào)e(t)經(jīng)傅氏變換獲得單一有限帶寬的連續(xù)頻譜|E(jw)|定性分析：如果連續(xù)信號(hào)e(t)變化緩慢（最大角頻率max較低），而采樣角頻率s比較高（即采樣周期T=2/s較?。?，則e*(t)基本上能反映e(t)的變化規(guī)律。圖7-8連續(xù)信號(hào)頻譜圖7-9采樣信號(hào)頻譜連續(xù)信號(hào)第二十一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一采樣信號(hào)的頻譜δT(t)=ωs=2π/T為采樣角頻率,Cn是傅氏系數(shù),其值為：δT(t)=連續(xù)信號(hào)的頻譜為采樣信號(hào)的頻譜為ωm-ωm0ωm-ωm0ωs2ωs3ωs-3ωs-2ωs-ωsωm-ωm0ωs-ωsωm-ωm0ωs2ωs3ωs-3ωs-2ωs-ωsωs

=2ωm濾波器的寬度滿足什么條件時(shí)能從得到??!ωs

≥2ωm或：T≤π/ωm第二十二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)23（香農(nóng)）采樣定理:

如果被采樣的連續(xù)信號(hào)e(t)的頻譜為有限寬，且頻譜的最大寬度為ωm

，又如果采樣角頻率滿足ωs

≧2ωm

，并且采樣后再加理想濾波器，則連續(xù)信號(hào)可以不失真地恢復(fù)出來(lái)。此時(shí)，采樣頻譜各分量無(wú)相互交疊，采樣信號(hào)無(wú)畸變，可通過(guò)理想濾波器（保持器）復(fù)現(xiàn)原頻譜。理想的低通濾波器在物理上是不可實(shí)現(xiàn)的，在實(shí)際應(yīng)用中只能用非理想的低通濾波器來(lái)代替理想的低通濾波器。圖7-10理想濾波器的頻率特性第二十三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)24

如果不能滿足上述采樣條件，采樣后信號(hào)的頻率就會(huì)重疊，即高于采樣頻率ωs一半的頻率成分將被重建成低于采樣頻率一半的信號(hào)。這種頻譜的重疊導(dǎo)致的失真稱為混疊，而重建出來(lái)的信號(hào)稱為原信號(hào)的混疊替身，因?yàn)檫@兩個(gè)信號(hào)有同樣的樣本值。第二十四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)257.3z變換理論7.3.1z變換的定義連續(xù)函數(shù)f(t)的拉氏變換為設(shè)

f(t)的采樣信號(hào)為

f*(t)對(duì)上式進(jìn)行Laplace變換，得第二十五頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)26引入新的變量z=eTs采樣信號(hào)

f*(t)

的

z

變換定義為：z

變換的實(shí)質(zhì)為采樣函數(shù)的拉氏變換Z[f(t)]是為了書(shū)寫(xiě)方便，并不意味著是連續(xù)函數(shù)f(t)的z變換F(z)和f*(t)

是一一對(duì)應(yīng)的

第二十六頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)277.3.2z變換的性質(zhì)其中a1和a2為任意實(shí)數(shù)。1.線性定理若f1*

(t)和f2*(t)的z變換分別為F1(z)和F2(z)，則第二十七頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)28證明：第二十八頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)292.實(shí)數(shù)位移定理若f*(t)的z變換為F(z)，則第二十九頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)30證明:第三十頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)31實(shí)數(shù)位移定理又稱平移定理。實(shí)數(shù)位移的含義是指整個(gè)采樣序列在時(shí)間軸上左右平移若干個(gè)采樣周期，其中向左平移稱為超前，向右平移稱為遲后（即時(shí)延、滯后）。第一個(gè)和第二個(gè)式子分別稱為遲后定理和超前定理算子z有明確的物理意義：z-k代表時(shí)域中的滯后環(huán)節(jié)，它將采樣信號(hào)滯后k個(gè)周期zk代表時(shí)域中的超前環(huán)節(jié)，它將采樣信號(hào)超前k個(gè)周期zk僅用于運(yùn)算，在物理系統(tǒng)中并不存在。第三十一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)323.復(fù)位移定理已知f(kT)的z變換函數(shù)為

F(z)，則證明：第三十二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)334.初值定理設(shè)存在，則當(dāng)z→∞

時(shí)，對(duì)上式取極限后，右邊除第一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)均趨于0。證明：第三十三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)345.終值定理如果f(t)的z變換為F(z)，f(nT)(n=0,1,2…)為有限值，且極限存在，則證明：由實(shí)數(shù)移位定理和上面兩式相減并取極限z→1，得第三十四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)356.卷積定理如果，則證明：令k-n=j，則k=0時(shí)，j=-n

第三十五頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)367.z域尺度定理若已知f(kT)的z變換函數(shù)為F(z)，則對(duì)任意常數(shù)a證明：第三十六頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)377.3.3z變換方法1.級(jí)數(shù)求和法只要知道連續(xù)函數(shù)f(t)在各個(gè)采樣時(shí)刻的數(shù)值，即可按照z變換的定義求得其z變換。第三十七頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)38例7-1求單位脈沖信號(hào)的z變換

解：設(shè)f(t)=δ(t)，則

由于

f*(t)在

t=0時(shí)刻的脈沖強(qiáng)度為1，其余時(shí)刻的脈沖強(qiáng)度均為零，所以有第三十八頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)39例7-2求單位階躍信號(hào)1(t)的z變換

解：

設(shè)f(t)=1(t)，則

該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)楱Oz∣>1，在該收斂域內(nèi)，上式（等比數(shù)列）可以寫(xiě)成如下閉合形式第三十九頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)40例7-3求單位斜坡信號(hào)的z變換

解：設(shè)f(t)=t,(t>0)，則上式兩邊對(duì)z求導(dǎo)數(shù)，并將和式與導(dǎo)數(shù)交換，得上式兩邊同乘(-Tz)，便得單位斜坡信號(hào)的z變換第四十頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)41例7-4求指數(shù)函數(shù)的z變換解：設(shè)f(t)=e-at，則第四十一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)422.部分分式法先求出已知連續(xù)函數(shù)f(t)的拉氏變換F(s)，然后將其展開(kāi)成部分分式之和的形式，（查表）求出相應(yīng)每一部分的z變換再疊加即可。第四十二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)43例7-5：設(shè)，求f*(t)的z變換。解：上式兩邊求Laplace反變換，得第四十三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)44例7-6：求的z變換。解：第四十四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/6自動(dòng)控制原理》

第七章離散系統(tǒng)457.3.4

z反變換z反變