SIGNALSANDSYSTEMS信號(hào)與系統(tǒng)第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析南京郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院2015.10連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析概述實(shí)際的信號(hào)都可以表示為一系列不同頻率的正弦信號(hào)之和這一認(rèn)識(shí)來源于對(duì)波形的觀察，物理意義明確。正弦信號(hào)是最常見、最基本的信號(hào)。正弦信號(hào)便于產(chǎn)生、傳輸和處理。線性時(shí)不變系統(tǒng)在單一頻率的正弦信號(hào)激勵(lì)下，其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍是同一頻率的正弦信號(hào)。三角函數(shù)的加、減、乘、微分和積分運(yùn)算后仍然是三角函數(shù)。傅里葉變換揭示了信號(hào)內(nèi)在的頻率特性以及信號(hào)的時(shí)間特性與頻率特性之間的關(guān)系。本章的重點(diǎn)就是從物理意義上理解傅里葉變換的性質(zhì)及應(yīng)用。頻譜分析直觀、方便地從另一個(gè)角度來認(rèn)識(shí)信號(hào)。頻域分析法求解系統(tǒng)在任意信號(hào)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)。其它頻譜、帶寬、無失真?zhèn)鬏?、調(diào)制定理、抽樣定理等第三章連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析3.1周期信號(hào)分解為傅里葉級(jí)數(shù)3.2周期信號(hào)的頻譜3.3非周期信號(hào)的頻譜密度函數(shù)——傅里葉變換3.4傅里葉變換的性質(zhì)及其應(yīng)用3.5希爾伯特變換及小波變換簡(jiǎn)介3.6取樣信號(hào)的頻譜3.7連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析3.8信號(hào)的無失真?zhèn)鬏敽屠硐霝V波器3.1周期信號(hào)分解為傅里葉級(jí)數(shù)

周期信號(hào)的表達(dá)式

T為該信號(hào)的周期，是滿足上式的最小非零正值。周期的倒數(shù)為頻率，為該信號(hào)的角頻率。

以為周期的周期信號(hào)，若滿足狄里赫勒條件：(3)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)；(2)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極大值、極小值；(1)在一個(gè)周期內(nèi)絕對(duì)可積，即則可以展開為三角形式傅里葉級(jí)數(shù)或指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)。3.1.1三角形式傅里葉級(jí)數(shù)角頻率為的周期信號(hào)，可分解為其中所以傅氏級(jí)數(shù)又可寫成工程上更為實(shí)用的形式其中信號(hào)波形的奇偶對(duì)稱性與所含諧波分量的關(guān)系1.偶函數(shù)：，則只含有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng)。......奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間內(nèi)積分為零。偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間內(nèi)積分為半?yún)^(qū)間積分的兩倍。2.奇函數(shù)：，則只含正弦項(xiàng)。3.偶諧函數(shù)：，則只含偶次諧波。周期本來就是T/2。......4.奇諧函數(shù)：，則只含奇次諧波。......3.1.2指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)由歐拉公式代入三角形傅氏級(jí)數(shù)，有式中

而是實(shí)數(shù)。是一對(duì)關(guān)于變量的共軛復(fù)數(shù)，這就是指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)，其系數(shù)一般情況下，是關(guān)于變量的復(fù)函數(shù)，稱為指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)系數(shù)，可寫成注意：1.為直流分量，一般情況下要單獨(dú)計(jì)算。2.負(fù)頻率分量的出現(xiàn)只是數(shù)學(xué)上的表達(dá)，沒有物理意義。3.當(dāng)是實(shí)周期信號(hào)時(shí)，和互為共軛復(fù)數(shù)，有即傅里葉復(fù)系數(shù)的模和實(shí)部是的偶函數(shù)；的相角和虛部是的奇函數(shù)。4.當(dāng)是實(shí)偶函數(shù)時(shí)，則是實(shí)偶函數(shù)；當(dāng)是實(shí)奇函數(shù)時(shí)，則是虛奇函數(shù)。（利用的計(jì)算公式可以證明）指數(shù)型和三角型傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系

物理意義：周期信號(hào)可以分解為一個(gè)直流分量與許多諧波分量之和。注意：指數(shù)型和三角型傅里葉級(jí)數(shù)中，n的取值范圍不同。例：試將圖示周期矩形脈沖信號(hào)展開為(1)三角型和(2)指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)。(2)指數(shù)型傅立葉級(jí)數(shù)稱為抽樣函數(shù)或取樣函數(shù)抽樣函數(shù)1.偶函數(shù)3.2周期信號(hào)的頻譜

說明周期信號(hào)可以分解為各次諧波分量的疊加，傅里葉系數(shù)或反映了不同諧波分量的幅度，或反映了不同諧波分量的相位。

頻譜圖清晰地表征了周期信號(hào)的頻域特性，從頻域角度反映了該信號(hào)攜帶的全部信息。3.2.1周期信號(hào)的頻譜2.各（非零）分量的數(shù)目不同。3.幅度（）不同，相位（）不同。

不同的周期信號(hào)，其傅里葉級(jí)數(shù)的區(qū)別在于：

1.由于不同，所以基波頻率不同，諧波頻率也不同。例如某周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)為單邊頻譜：雙邊幅度頻譜雙邊相位頻譜單邊幅度頻譜單邊相位頻譜雙邊頻譜：畫頻譜圖時(shí)注意：2.三角型傅里葉級(jí)數(shù)必須統(tǒng)一用余弦函數(shù)來表示；5.譜線只在基波的整數(shù)倍處出現(xiàn)。（思考：為什么？）例：某周期信號(hào)可如下表示，試畫出其單邊頻譜和雙邊頻譜。解:(1)單邊頻譜單邊幅度頻譜：?jiǎn)芜呄辔活l譜：雙邊幅度頻譜：雙邊相位頻譜：(2)雙邊頻譜例：已知某周期信號(hào)的單邊頻譜如圖

所示，試寫出該信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式，

并畫出其雙邊頻譜。解:雙邊幅度頻譜雙邊相位頻譜雙邊頻譜:(1)離散性

(2)諧波性

(3)幅度收斂性3.2.2周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)3.2.3周期信號(hào)的頻帶寬度對(duì)于某個(gè)信號(hào)，從零頻率開始到需要考慮的最高頻率范圍稱為信號(hào)占用的頻帶寬度（frequencybandwidth），簡(jiǎn)稱頻寬。理論上講，周期信號(hào)的諧波分量是無限多的，但信號(hào)的能量主要集中在低頻分量中，故一般只考慮次數(shù)較低的一部分諧波分量。如果頻譜包絡(luò)線為取樣函數(shù)，常常把從零頻率開始到頻譜包絡(luò)線第一次過零點(diǎn)的那個(gè)頻率之間的頻帶作為信號(hào)的頻帶寬度；如果頻譜包絡(luò)線第一次過零點(diǎn)不易獲得，就以從零頻率開始到頻譜振幅降為包絡(luò)線最大值的1/10的頻率之間的頻帶定義為信號(hào)的頻帶寬度。下面以周期矩形脈沖為例，說明周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)。

和與頻譜的關(guān)系:3.2.4周期信號(hào)的功率譜周期信號(hào)的平均功率稱為帕什瓦爾定理或功率等式表明周期信號(hào)在時(shí)域中的平均功率等于頻域中的直流分量和各次諧波分量的平均功率之和。例：圖示周期矩形脈沖，，試畫出其頻譜和功率譜，并求出其在有效頻帶寬度內(nèi)的分量所具有的平均功率占整個(gè)信號(hào)平均功率的百分比。解:頻譜功率譜在時(shí)域中求得信號(hào)的功率為在有效頻帶寬度內(nèi)的分量所具有的平均功率為3.3非周期信號(hào)的頻譜密度函數(shù)——傅里葉變換周期信號(hào)非周期信號(hào)3.3.1非周期信號(hào)的頻譜密度函數(shù)……其量綱為單位頻帶的振幅，因而稱為原函數(shù)f(t)的頻譜密度函數(shù)（frequencyspectrumdensityfunction）,簡(jiǎn)稱頻譜密度，在與周期信號(hào)頻譜不發(fā)生混淆的情況下也簡(jiǎn)稱為頻譜。3.3.2傅里葉變換傅里葉變換也是有條件的，要求f(t)絕對(duì)可積：

這只是充分條件而非必要條件，如果引入廣義函數(shù)后，即使不滿足此條件，甚至某些非功率非能量信號(hào)也可能存在傅氏變換。1.矩形脈沖3.3.3常用信號(hào)的傅里葉變換2.單邊實(shí)指數(shù)衰減信號(hào)（圖形見P88圖3-3-2）3.雙邊實(shí)指數(shù)衰減信號(hào)（圖形見P89圖3-3-3）4.單位沖激函數(shù)和直流信號(hào)（白噪聲）5.符號(hào)函數(shù)信號(hào)（圖形見P91圖3-3-6）3.4傅里葉變換的性質(zhì)及其應(yīng)用

對(duì)任意信號(hào)都可以在時(shí)域和頻域中進(jìn)行描述，聯(lián)系這兩種描述方法的紐帶就是傅里葉變換。傅里葉變換的性質(zhì)揭示了信號(hào)的特性、運(yùn)算在時(shí)域和頻域中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，當(dāng)在某一個(gè)域中對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析和計(jì)算感到困難時(shí)，可以利用傅里葉變換的性質(zhì)轉(zhuǎn)換到另一個(gè)域中進(jìn)行。另外，根據(jù)定義求取傅里葉正、反變換時(shí)，不可避免地會(huì)遇到麻煩的積分或信號(hào)不滿足絕對(duì)可積的條件等問題，而利用傅里葉變換的性質(zhì)則可以簡(jiǎn)捷地求得信號(hào)的傅里葉正、反變換。1.線性例：求單位階躍信號(hào)u(t)的傅里葉變換。由線性性質(zhì)：2.對(duì)稱性

利用對(duì)稱性質(zhì)可以方便地求得某些信號(hào)的傅里葉變換或傅里葉反變換。

傅里葉變換的對(duì)稱性質(zhì)可以幫助我們理解工程實(shí)際中的重要概念。

例如，時(shí)域中連續(xù)的周期信號(hào)的頻譜是離散的、非周期的，根據(jù)對(duì)稱性可知：時(shí)域中離散的、非周期信號(hào)的頻譜必定是連續(xù)的、周期的。例

試求取樣函數(shù)的頻譜函數(shù)。解：3.尺度變換特性（比例性）4.時(shí)移特性例：已知，求的傅里葉變換。解法一：解法二：5.頻移性（調(diào)制定理）調(diào)制定理乘法器頻分多路復(fù)用6.卷積定理時(shí)域卷積定理：頻域卷積定理：例7.時(shí)域微分和積分(1)時(shí)域微分(2)時(shí)域積分性質(zhì)(3)時(shí)域積分性質(zhì)的一個(gè)應(yīng)用例如，求符號(hào)函數(shù)的頻譜：例

求圖示信號(hào)的頻譜。例

求圖示信號(hào)的頻譜。8.頻域微分和積分(1)頻域微分性質(zhì)(2)頻域積分性質(zhì)例

試證明下列傅里葉變換對(duì)成立：例

試證明下列傅里葉變換對(duì)成立：傅里葉變換性質(zhì)的應(yīng)用例求圖示信號(hào)的頻譜。例求單邊正弦信號(hào)和單邊余弦信號(hào)的傅里葉變換。同理可得例已知信號(hào)的頻譜如圖所示，

試寫出其時(shí)域表達(dá)式。解：(1)利用對(duì)稱性求解(2)利用調(diào)制定理求解(3)利用頻域卷積定理求解例例3.5希爾伯特變換及小波變換簡(jiǎn)介3.5.1希爾伯特變換

希爾伯特變換反映了傅里葉正反變換之間存在單邊特性與解析性的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在討論調(diào)制、濾波等問題時(shí)用單邊頻譜分析比較方便。3.5.2小波變換簡(jiǎn)介確定性時(shí)域信號(hào)可分為：平穩(wěn)信號(hào)非平穩(wěn)信號(hào)——時(shí)-頻局部化要求傅里葉變換窗口傅里葉變換小波變換模擬信號(hào)連續(xù)小波變換其中小波基函數(shù)是由母小波經(jīng)平移和縮放所產(chǎn)生的一組函數(shù)。稱為基本小波函數(shù)或母小波，具有兩個(gè)特點(diǎn)：一是在時(shí)域具有快速衰減性；二是正負(fù)交替的波動(dòng)性，即直流分量為零。

小波基函數(shù)是窗函數(shù)，它的時(shí)-頻窗表現(xiàn)了小波變換的時(shí)-頻局部化能力。時(shí)-頻窗面積不變。當(dāng)a一定，b增大或減小時(shí)，時(shí)-頻窗在時(shí)域表現(xiàn)為向右或向左平移。當(dāng)b一定，a較小時(shí)，頻窗中心自動(dòng)地調(diào)整到較高的頻率中心的位置，且時(shí)-頻窗形狀自動(dòng)地變?yōu)椤笆菡睜?因?yàn)楦哳l信號(hào)在很短的時(shí)域范圍內(nèi)的幅值變化大，頻率含量高，所以這種“瘦窄”時(shí)-頻窗正符合高頻信號(hào)的局部時(shí)-頻特性。小波理論的應(yīng)用主要集中在以下幾個(gè)方面:（1）在信號(hào)處理中的應(yīng)用：小波分析能揭示信號(hào)的間斷點(diǎn)、趨勢(shì)和自相似性等性質(zhì)。還能在沒有明顯損失的情況下，對(duì)信號(hào)進(jìn)行壓縮和降噪。（2）在圖像處理中的應(yīng)用：小波分析在圖像數(shù)據(jù)壓縮、去噪、融合、邊緣檢測(cè)等方面都有著廣泛的應(yīng)用。（3）在機(jī)械故障診斷中的應(yīng)用：小波分析已經(jīng)廣泛應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)機(jī)械、齒輪、軸承等的狀態(tài)監(jiān)測(cè)和故障診斷中。（4）在數(shù)字水印中的應(yīng)用：采用小波水印算法大大提高了水印提取或檢測(cè)的準(zhǔn)確率。（5）在語(yǔ)音信號(hào)處理中的應(yīng)用：例如信號(hào)預(yù)處理、語(yǔ)音端點(diǎn)檢測(cè)、語(yǔ)音分析與合成等。（6）在解積分方程中的應(yīng)用：用小波函數(shù)作基底將積分方程離散化所得到的方程組的系數(shù)矩陣是稀疏的，這是小波解積分方程的最大優(yōu)點(diǎn)。3.6取樣信號(hào)的頻譜

調(diào)制定理：把信號(hào)搬移到不同的頻段來實(shí)現(xiàn)頻分多路通信。（頻分復(fù)用）

取樣定理（抽樣定理）：利用連續(xù)信號(hào)在等時(shí)間間隔上的瞬時(shí)值（樣本值）來表示和恢復(fù)原信號(hào)，實(shí)現(xiàn)時(shí)分復(fù)用。也是連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)之間相互轉(zhuǎn)換的理論依據(jù)。頻分復(fù)用時(shí)分復(fù)用3.6.1時(shí)域取樣取樣后得到的離散信號(hào)稱之為取樣信號(hào)。

取樣：利用取樣脈沖序列從連續(xù)時(shí)間信號(hào)中抽取一系列離散的樣值的過程。取樣脈沖序列也稱為開關(guān)函數(shù)1.理想取樣2.自然取樣由頻域卷積定理3.6.2時(shí)域取樣定理

可見，取樣定理必須滿足兩個(gè)條件：

一個(gè)在頻譜區(qū)間()以外為零的頻帶有限信號(hào)(帶限信號(hào))，可以唯一地由其均勻時(shí)間間隔上的取樣值確定。1.必須為帶限信號(hào)，即在時(shí)，其頻譜2.取樣頻率不能過低，必須滿足定義為奈奎斯特取樣率

當(dāng)取樣頻率大于或等于信號(hào)帶寬的兩倍時(shí)，可以從中恢復(fù)原信號(hào)。例：設(shè)為帶限信號(hào)，帶寬，頻譜如圖所示，試分別求的帶寬和奈奎斯特取樣率。續(xù)上例：若用取樣序列并畫出其頻譜圖。對(duì)信號(hào)進(jìn)行取樣，得取樣信號(hào)，試求的頻譜，頻譜見右圖。例：求下列信號(hào)的奈奎斯特取樣率。(2)時(shí)域中兩個(gè)信號(hào)相乘，所得信號(hào)的帶寬為原來兩個(gè)信號(hào)的帶寬之和，所以解：(1)(3)時(shí)域中兩個(gè)信號(hào)相加，所得信號(hào)的帶寬應(yīng)為原來兩個(gè)信號(hào)中帶寬大的那個(gè)信號(hào)的帶寬，即

另外，時(shí)域卷積對(duì)應(yīng)于頻域相乘，帶寬應(yīng)取小的。3.7連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析

頻域分析：研究系統(tǒng)在不同頻率的信號(hào)激勵(lì)下，其零狀態(tài)響應(yīng)隨頻率變化的規(guī)律（頻率響應(yīng)特性）。頻域分析法（傅里葉變換分析法）：利用傅里葉變換在頻域中求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的方法。3.7.1虛指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)

說明無時(shí)限的虛指數(shù)信號(hào)作用于系統(tǒng)時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)（此時(shí)也是全響應(yīng)）仍為同頻率的虛指數(shù)信號(hào)，是激勵(lì)乘以一個(gè)與時(shí)間t無關(guān)的復(fù)函數(shù)，結(jié)果是將激勵(lì)信號(hào)在幅度上放大倍，相位上附加一個(gè)的相位移后輸出。3.7.2正弦信號(hào)的響應(yīng)3.7.4非正弦周期信號(hào)的響應(yīng)非正弦周期信號(hào)為激勵(lì)時(shí)，可以將激勵(lì)分解為一系列不同頻率的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和。利用系統(tǒng)線性性質(zhì)得到零狀態(tài)響應(yīng)。3.7.3直流信號(hào)的響應(yīng)3.7.5非周期信號(hào)的響應(yīng)(1)求取激勵(lì)的傅里葉變換變換；(2)確定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)；(3)計(jì)算響應(yīng)的傅里葉變換；(4)取的反變換，得。3.7.6頻域系統(tǒng)函數(shù)

系統(tǒng)函數(shù)描述了系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，響應(yīng)的傅里葉變換與激勵(lì)的傅里葉變換之間的關(guān)系，表征了系統(tǒng)自身的特性，與激勵(lì)無關(guān)。時(shí)域分析與頻域分析的關(guān)系1.系統(tǒng)函數(shù)的求解方法(1)對(duì)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)取傅里葉變換例已知描述系統(tǒng)的微分方程為求系統(tǒng)函數(shù)。解一：

由第二章的方法，先求得沖激響應(yīng)為對(duì)沖激響應(yīng)取傅里葉變換，得解三：對(duì)微分方程觀察，可直接求得(3)從微分方程直接求解(方程兩邊取傅里葉變換)(2)設(shè)激勵(lì)為