試卷第=page試卷第=page55頁(yè)，總=sectionpages99頁(yè)試卷第試卷第=page44頁(yè)，總=sectionpages99頁(yè)高三數(shù)學(xué)（上）期中模擬卷（附答案）一、選擇題1.已知集合A=x||x|<3,x∈Z,B=x|A.x|?1<x<2 B.?1,0,1,2C.0,1 D.x|?1≤x≤22.設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z+i=4?i，則z4+2iA.4?2i B.4+2i C.3+4i5 D.3?4i53.設(shè)向量a→，b→，c→為非零向量，則“aA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知3cosα?πA.?19 B.19 C.13 D.895.某車(chē)間生產(chǎn)一種圓臺(tái)型紙杯，其杯底直徑為R，杯口直徑為2R，高為?，將該紙杯裝滿(mǎn)水（水面與杯口齊平）現(xiàn)將一直徑為32R的小鐵球緩慢放入杯中，待小鐵球完全沉入水中并靜止后，從杯口溢出水的體積為紙杯容積的17A.334 B.435 C.233 D.5366.定義在R上的函數(shù)fx滿(mǎn)足f2?x=f2+x，且在2,+∞單調(diào)遞增，A. B.C. D.7.圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿(mǎn)”和“飽滿(mǎn)”，是自古以和為貴的中國(guó)人所崇尚的圖騰．如圖，AB是圓O的一條直徑，且|AB|=4．C，D是圓O上的任意兩點(diǎn)，|CD|=2，點(diǎn)P在線(xiàn)段CD上，則PA→A.?1,2 B.3,2 C.3,4 D.?1,08.設(shè)a=15lnA.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a二、多選題已知fx=3sin2x+θ+cosA.gx在?πB.y=gx的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=C.gx在[?π12D.y=gx的圖象關(guān)于點(diǎn)5π12,0在△ABC中，BC=5,AB=1,tan∠ABC=?2，將△ABC繞AB旋轉(zhuǎn)至△ABP處，使平面A.在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為πB.點(diǎn)B到平面PAC的距離為3C.直線(xiàn)AP與直線(xiàn)PC所成角為πD.直線(xiàn)AB與平面PBC所成角的正弦值為53設(shè)a>0,b>0,a+b=1，則下列不等式中一定成立的是（

）A.1a+1b≥4 B.aC.a+1+b+1≥6 D.設(shè)函數(shù)f′x是函數(shù)fxA.fx有極大值 B.4f2<3f4 C.f1>f′e三、填空題設(shè)a→，b→為單位向量，且|a→+已知關(guān)于x的方程2sin2x?3sin2x+m?1=0在過(guò)點(diǎn)P2,e可以作兩條直線(xiàn)與曲線(xiàn)y=aexa>0相切，則實(shí)數(shù)已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上．若該球的體積為36π，且2≤l≤3，則該正四棱錐體積的取值范圍是________.四、解答題已知命題p:A={x|a?1<x<a+1}，命題q:B={x|x(1)若A∩B=?，A∪B=R，求實(shí)數(shù)a(2)若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．設(shè)a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，AD為BC邊上的中線(xiàn)，c=1,∠BAC=2π3，(1)求AD的長(zhǎng)度；(2)若E為AB上靠近B的四等分點(diǎn)，G為△ABC的重心，連接EG并延長(zhǎng)與AC交于點(diǎn)F，求AF的長(zhǎng)度．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a（1）求a2，a（2）設(shè)bn=a（3）求數(shù)列{an}前10如圖，平面五邊形PABCD中，△PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AD//BC,AB=2BC=2，AB⊥BC，將△PAD沿AD翻折成四棱錐P?ABCD，E是棱PD上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），F(xiàn)，M分別是AB，CE的中點(diǎn)，且PC=

(1)證明：AB⊥FM；(2)當(dāng)直線(xiàn)EF與平面PAD所成的角最大時(shí)，求平面ACE與平面PAD夾角的余弦值．據(jù)國(guó)家氣象局消息，今年各地均出現(xiàn)了極端高溫天氣．漫漫暑期，空調(diào)成了很好的降溫工具，而物體的降溫遵循牛頓冷卻定律．如果某物體的初始溫度為T(mén)0，那么經(jīng)過(guò)t分鐘后，溫度T滿(mǎn)足T?Ta=12t?T0?Ta（1）若欲將這杯茶水繼續(xù)降溫至35°C（2）為適應(yīng)市場(chǎng)需求，2022年某企業(yè)擴(kuò)大了某型號(hào)的變頻空調(diào)的生產(chǎn)，全年需投人固定成本200萬(wàn)元，每生產(chǎn)x千臺(tái)空調(diào)，需另投入成本fx萬(wàn)元，且fx=4x2+60x,0<x<40,已知函數(shù)fx=xlnx?mx(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)證明：x2參考數(shù)據(jù)：1.64<e

參考答案與試題解析2022-2023學(xué)年湖南省湘潭市某校高三（上）期中考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.【答案】C【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算【解析】此題暫無(wú)解析【解答】C2.【答案】D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算【解析】此題暫無(wú)解析【解答】D3.【答案】B【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系必要條件、充分條件與充要條件的判斷【解析】此題暫無(wú)解析【解答】B4.【答案】A【考點(diǎn)】三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值【解析】此題暫無(wú)解析【解答】A5.【答案】A【考點(diǎn)】柱體、錐體、臺(tái)體的體積計(jì)算【解析】此題暫無(wú)解析【解答】A6.【答案】B【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象函數(shù)奇偶性的性質(zhì)【解析】此題暫無(wú)解析【解答】B7.【答案】D【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【解析】此題暫無(wú)解析【解答】如圖，O為圓心，連接OP，則

PA因?yàn)辄c(diǎn)P在線(xiàn)段CD上，所以3≤|PO→|≤2，所以3≤PO→28.【答案】A【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【解析】此題暫無(wú)解析【解答】構(gòu)造函數(shù)fx=28?xlnx,x∈13,15，則f′x二、多選題【答案】B,D【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的奇偶性正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值正弦函數(shù)的定義域和值域【解析】此題暫無(wú)解析【解答】BD【答案】A,B,C【考點(diǎn)】點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算異面直線(xiàn)及其所成的角直線(xiàn)與平面所成的角【解析】此題暫無(wú)解析【解答】ABC【答案】A,B,D【考點(diǎn)】基本不等式基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用【解析】此題暫無(wú)解析【解答】ABD【答案】B,D【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【解析】此題暫無(wú)解析【解答】BD三、填空題【答案】【考點(diǎn)】向量的模單位向量【解析】直接利用向量的模的平方，化簡(jiǎn)求解即可．【解答】【答案】【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)二倍角的余弦公式兩角和與差的正弦公式【解析】此題暫無(wú)解析【解答】【答案】【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【解析】此題暫無(wú)解析【解答】【答案】【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征柱體、錐體、臺(tái)體的體積計(jì)算利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值【解析】此題暫無(wú)解析【解答】四、解答題【答案】解：(1)由題意解得B={x|x∵A={x|a?1<x<a+1}，∴由A∩B=?，A∪B=R得a?1=1a+1=3，解得a=2∴滿(mǎn)足A∩B=?，A∪B=R的實(shí)數(shù)a的值為2(2)∵p是q的充分條件，∴A?B，且A≠?，∴結(jié)合數(shù)軸可知，a+1≤1或a?1≥3，解得a≤0，或a≥4，∴p是q的充分條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是(?∞,?0]∪[4,?+∞)．【考點(diǎn)】集合關(guān)系中的參數(shù)取值問(wèn)題交集及其運(yùn)算并集及其運(yùn)算根據(jù)充分必要條件求參數(shù)取值問(wèn)題【解析】（1）把集合B化簡(jiǎn)后，由A∩B=?，A∪B=R，借助于數(shù)軸列方程組可解a的值；（2）把p是q的充分條件轉(zhuǎn)化為集合A和集合B之間的關(guān)系，運(yùn)用兩集合端點(diǎn)值之間的關(guān)系列不等式組求解a的取值范圍．【解答】解：(1)由題意解得B={x|x∵A={x|a?1<x<a+1}，∴由A∩B=?，A∪B=R得a?1=1a+1=3，解得a=2∴滿(mǎn)足A∩B=?，A∪B=R的實(shí)數(shù)a的值為2(2)∵p是q的充分條件，∴A?B，且A≠?，∴結(jié)合數(shù)軸可知，a+1≤1或a?1≥3，解得a≤0，或a≥4，∴p是q的充分條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是(?∞,?0]∪[4,?+∞)．【答案】解:（1）正弦定理角化邊得2cacos再用余弦定理得a2+c又AD→=1即AD∴AD=3（2）∵AD→∴32AG→∴AG∵G，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)，∴49∴λ=56，∴【考點(diǎn)】余弦定理正弦定理向量在幾何中的應(yīng)用向量的共線(xiàn)定理【解析】此題暫無(wú)解析【解答】解:（1）正弦定理角化邊得2cacos再用余弦定理得a2+c又AD→=1即AD∴AD=3（2）∵AD→∴32AG→∴AG∵G，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)，∴49∴λ=56，∴【答案】解：（1）令n=1，得a2令n=2，得a3（2）根據(jù)題意得b1=∴b∴數(shù)列bn是b1=?12（3）由（2）可得a2n數(shù)列{an}前10項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)的和S=【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式等比數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列的求和【解析】此題暫無(wú)解析【解答】解：（1）令n=1，得a2令n=2，得a3（2）根據(jù)題意得b1=∴b∴數(shù)列bn是b1=?12（3）由（2）可得a2n數(shù)列{an}前10項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)的和S=【答案】（1）證明：取AD，CD的中點(diǎn)O，G，連接PO，F(xiàn)G，MG，OC，則OC=AB=2,OP=3∵PC=7，∴P又BA⊥AD,AD∩PO=O，∴BA⊥平面PAD．∵M(jìn)，G分別為CE，CD的中點(diǎn)，∴MG//PD，且MG不在平面PAD內(nèi)，∵PD在平面PAD內(nèi)，∴MG//平面PAD．同理，F(xiàn)G//平面PAD．∵M(jìn)G∩FG=G，∴平面FGM//平面PAD，∴BA⊥平面FGM．∵FM在平面FGM內(nèi)，∴BA⊥FM

（2）由（1）可知AB⊥平面PAD，∴∠AEF即為直線(xiàn)EF與平面PAD所成的角．∵tan∠AEF=AFAE=1AE，∴當(dāng)AE的長(zhǎng)最小時(shí)，∠AEF最大，此時(shí)因此，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)C所在的直線(xiàn)為x軸，OD所在的直線(xiàn)為y軸，OP所在的直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A0,?1,0

E0,設(shè)平面ACE的法向量為m→=x令z1=由題意易知平面PAD的一個(gè)法向量為n∴

cos∴平面ACE與平面PAD夾角的余弦值為1717【考點(diǎn)】?jī)蓷l直線(xiàn)垂直的判定二面角的平面角及求法直線(xiàn)與平面所成的角【解析】此題暫無(wú)解析【解答】（1）證明：取AD，CD的中點(diǎn)O，G，連接PO，F(xiàn)G，MG，OC，則OC=AB=2,OP=3∵PC=7，∴P又BA⊥AD,AD∩PO=O，∴BA⊥平面PAD．∵M(jìn)，G分別為CE，CD的中點(diǎn)，∴MG//PD，且MG不在平面PAD內(nèi)，∵PD在平面PAD內(nèi)，∴MG//平面PAD．同理，F(xiàn)G//平面PAD．∵M(jìn)G∩FG=G，∴平面FGM//平面PAD，∴BA⊥平面FGM．∵FM在平面FGM內(nèi)，∴BA⊥FM

（2）由（1）可知AB⊥平面PAD，∴∠AEF即為直線(xiàn)EF與平面PAD所成的角．∵tan∠AEF=AFAE=1AE，∴當(dāng)AE的長(zhǎng)最小時(shí)，∠AEF最大，此時(shí)因此，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)C所在的直線(xiàn)為x軸，OD所在的直線(xiàn)為y軸，OP所在的直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A0,?1,0

E0,設(shè)平面ACE的法向量為m→=x令z1=由題意易知平面PAD的一個(gè)法向量為n∴

cos∴平面ACE與平面PAD夾角的余弦值為1717【答案】解：（1）由題意可得50?25=12設(shè)經(jīng)過(guò)t分鐘，這杯茶水降溫至35°C，則解得t=10log故欲將這杯茶水降溫至35°C，大約還需要（2）設(shè)2022年該企業(yè)該型號(hào)的變頻空調(diào)的利潤(rùn)為W當(dāng)0<x<40時(shí)，Wx當(dāng)x=30時(shí)，Wx取得最大值3400當(dāng)x≥40時(shí)，Wx因?yàn)閤+3600x≥2所以當(dāng)x=60時(shí)，Wx取得最大值3380因?yàn)?400>3380，所以該企業(yè)該型號(hào)的變頻空調(diào)總產(chǎn)量為30千臺(tái)時(shí)，獲利最大，最大利潤(rùn)為3400.【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用函數(shù)的最值及其幾何意義基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用【解析】此題暫無(wú)解析【解答】解：（1）由題意可得50?25=12設(shè)經(jīng)過(guò)t分鐘，這杯茶水降溫至35°C，則解得t=10log故欲將這杯茶水降溫至35°C，大約還需要（2）設(shè)2022年該企業(yè)該型號(hào)的變頻空調(diào)的利潤(rùn)為W當(dāng)0<x<40時(shí)，Wx當(dāng)x=30時(shí)，Wx取得最大值3400當(dāng)x≥40時(shí)，Wx因?yàn)閤+3600x≥2所以當(dāng)x=60時(shí)，Wx取得最大值3380因?yàn)?400>3380，所以該企業(yè)該型號(hào)的變頻空調(diào)總產(chǎn)量為30千臺(tái)時(shí)，獲利最大，最大利潤(rùn)為3400.【答案】解析：（1）令gx=fx1,x2且當(dāng)m≤0時(shí)，

g′x>0∴gx在0,+∞當(dāng)m>0時(shí)，x∈0,16m時(shí)，∴g′x>0,gx單增；x∈∴16m>1取x0=∴且?x1∈0,1∴0<m<e6時(shí)（2）∵gx∴

lnx∵0<x1<x2令?則?′t=1t?4∴?令t=x2x∴

x2∴要證x2∵fx=x2+x∵3m=lnx2又x2>1令μx∴