2022-2023學(xué)年四川省遂寧市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題

一、單選題

1.已知點(diǎn)“（3，°，-4）,點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B,貝小"例=（）

A.25B.12C.10D.5

【答案】C

【分析】根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合對(duì)稱性進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)43,0「4）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為％所以8（-3,0,4）,

因此IAB\=J（-3-3>+（0-0）2+（4+4,=10,

故選：C

2.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名學(xué)生參加演講比賽，事件“至少有1名男生”與事

件“至少有1名女生”（）.

A.是對(duì)立事件B.都是不可能事件

C.是互斥事件但不是對(duì)立事件D.不是互斥事件

【答案】D

【解析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義直接判斷即可.

【詳解】事件“至少有1名男生”與事件”至少有1名女生“能同時(shí)發(fā)生，即兩名學(xué)生正好一名男生，

一名女生，故兩事件既不是對(duì)立事件也不是互斥事件.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了互斥事件和對(duì)立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.設(shè)直線4：以+（。-2）了+1=0,4：x+斫3=0若4U,則a的值為（）

A.。或1B.?；騎C.1D.-1

【答案】A

【分析】由兩直線垂直可得出關(guān)于實(shí)數(shù)。的等式，即可解得實(shí)數(shù)。的值.

【詳解】因?yàn)?4，則"+"0-2）=。（。-1）=0,解得a=0或1

故選：A.

4.已知三條不同的直線/，丸〃和兩個(gè)不同的平面風(fēng)分，下列四個(gè)命題中正確的是（）

A.若則用〃〃B.若I//a,mua,貝”//用

C.若a人仇lua,則/J.夕D.若///a,/,夕，則

【答案】D

【解析】根據(jù)線線、線面、面面位置關(guān)系及平行垂直性質(zhì)判斷逐一判斷.

【詳解】若'〃//a，〃〃a，可以有機(jī)〃〃或肛〃相交，故A錯(cuò)；

若〃/a,〃?ua,可以有/〃加或/、，〃異面，故B錯(cuò)；

若a,￡,/ua,可以有/■1?￡、/與/斜交、/〃尸，故c錯(cuò);

過(guò)/作平面？na=〃，則〃/“，又1工0,得"工夕，nu/3,

所以故D正確.

故選:D

【點(diǎn)睛】本題考查空間線、面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知直線I：3X+4J，-12=0,若圓上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)p,Q,且它們到直線I的距離都為1,則

稱該圓為“完美型''圓，則下列圓中是“完美型”圓的是

A.x2+y2=lB.x"=16

C.(XT)?+(”4)2=1D(x-4)2+(尸4)2=16

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，算出到直線1距離等于1的兩條平行線方程為3x+4y17=0或3x+4yCZH7=0,當(dāng)

圓與這兩條直線共有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)滿足該圓為“完美型”圓.由此對(duì)A、B、C、D各項(xiàng)中的圓分別加

以判斷，可得本題答案.

112一嘰］

【詳解】解：設(shè)直線1'：3x+4y+m=0,F與1的距離等于1則5",解之得m=L7或口17,即

1'的方程為3x+4yQ7=0或3x+4y1117=0,可得當(dāng)圓與3x+4yG7=0>3x+4yd17=0恰好有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，

滿足該圓為“完美型''圓.

7n

對(duì)于A,因?yàn)樵c(diǎn)到直線1，的距離d=3或5,兩條直線都與x2+y2=l相離，故x2+y2=l上不存在點(diǎn)，

使點(diǎn)到直線1：3x+4yL12=0的距離為1,故A不符合題意.

717

對(duì)于B,因?yàn)樵c(diǎn)到直線1，的距離d=S或彳，兩條直線都與x2+y2=16相交，故x2+y2=16上不存在

4個(gè)點(diǎn)，使點(diǎn)到直線1：3x+4y;12=0的距離為1,故B不符合題意.

21H

對(duì)于C,因?yàn)辄c(diǎn)（4,4）到直線1，的距離d=M或5,兩條直線都與（x匚4）2+（yD4）2=4相離，故

（XD4）2+（丫口4）2=4上不存在點(diǎn)，使點(diǎn)到直線1：3x+4yE）12=0的距離為1,故C不符合題意.

2111

對(duì)于D,因?yàn)辄c(diǎn)（4,4）到直線1，的距離d=5或5,所以兩條直線中3x+4yLJ7=0與（xU4）

2+（yO4）2=16相離，而3x+4yLH7=0（x口4）2+（yO4）2=16相交，故（xD4）2+（yO4）2=16上恰

好存在兩個(gè)點(diǎn)P、Q,使點(diǎn)到直線1：3x+4yU12=0的距離為1,故D符合題意.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題.

6.中國(guó)古代有計(jì)算多項(xiàng)式值的秦九韶算法，如圖是實(shí)現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖，若輸

入x=2,〃=2,依次輸入。的值為1,2,3,則輸出的$=（）

A.10B.11C.16D.17

【答案】B

【分析】根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)，令"=1，2,3依次進(jìn)入循環(huán)系統(tǒng)，計(jì)算輸出結(jié)果.

【詳解】解：???輸入的x=2,〃=2,

當(dāng)輸入的。為1時(shí)，S=l,k=l,不滿足退出循環(huán)的條件；

當(dāng)再次輸入的“為2時(shí)，S=4,k=2,不滿足退出循環(huán)的條件；

當(dāng)輸入的。為3時(shí)，ST】，k=3,滿足退出循環(huán)的條件；

故輸出的S值為11.

故選：B

7.如圖，是對(duì)某位同學(xué)一學(xué)期8次體育測(cè)試成績(jī)（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到的散點(diǎn)圖，關(guān)于這位

同學(xué)的成績(jī)分析，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.該同學(xué)的體育測(cè)試成績(jī)總的趨勢(shì)是在逐步提高，且8次測(cè)試成績(jī)的極差超過(guò)15分

B.該同學(xué)8次測(cè)試成績(jī)的眾數(shù)是48分

C.該同學(xué)8次測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)是49分

D.該同學(xué)8次測(cè)試成績(jī)與測(cè)試次數(shù)具有相關(guān)性，且呈正相關(guān)

【答案】C

【分析】根據(jù)給定的散點(diǎn)圖，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可判斷作答.

【詳解】對(duì)于A,由散點(diǎn)圖知，8次測(cè)試成績(jī)總體是依次增大，極差為56-38=18>15,A正確；

對(duì)于B,散點(diǎn)圖中8個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)是48,B正確；

對(duì)于C,散點(diǎn)圖中的8個(gè)數(shù)由小到大排列，最中間兩個(gè)數(shù)都是48,貝”次測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)是

48分，C不正確；

對(duì)于D,散點(diǎn)圖中8個(gè)點(diǎn)落在某條斜向上的直線附近，貝”次測(cè)試成績(jī)與測(cè)試次數(shù)具有相關(guān)性，且

呈正相關(guān)，D正確.

故選：C

8.平面a過(guò)正方體ABCD-AiB.C.D,的頂點(diǎn)A,對(duì)瞥施璃儆ac平面=，

“仆平面/844=〃，則m,n所成角的正弦值為

V3

A.2B.2c.3D.3

【答案】A

【詳解】試題分析：如圖，設(shè)平面csan平面/BCO=初，平面An平面,8片4=〃,，因?yàn)?/p>

a//平面C8Q,所以機(jī)//,/,〃//〃，，則機(jī)，〃所成的角等于機(jī)'，〃'所成的角.延長(zhǎng)/。，過(guò)〃作

D\E〃B、C,連接CE,8Q|,則CE為機(jī),，同理“為1,而8?！▋z,片片/田，貝ij所成的角

正

即為4民50所成的角，即為60。，故機(jī)，〃所成角的正弦值為2,選A.

【點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是作出異面直線所成的角，求異面直線所成角的步驟是：平移定角、連線

成形、解形求角、得鈍求補(bǔ).

9.曲線與直線y=%（x-2）+4有兩個(gè)交點(diǎn)，則上的取值范圍是（）

15,13、53,

（Z可，+8）（z百，”）z（不，3

A.3B.12C.34D.124

【答案】D

【分析】化簡(jiǎn)y=可得為半圓，求出圓心和半徑，再根據(jù)直線'="（、-2）+4過(guò)定點(diǎn)（2,4）,

數(shù)形結(jié)合求得臨界條件分析即可

【詳解】曲線v=1+6^可化為X,'+。一1）2=4（”0）,是圓心為（0』），半徑為2的圓的上半部

分，直線，="（X-2）+4過(guò)定點(diǎn)'（2,4）,畫(huà)出圖象如下圖所示.

,4-13

k—-------=—

由圖可知，直線斜率的取值最大是2-（-2）4,設(shè)相切時(shí)斜率為人,則直線方程

卜1：4一叫=22ir--

22

y-4=k(x-2)t即丘-y+43=0,此時(shí)ylk+l,即(33)-=4r+4,解得-石

10.甲、乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位停靠6個(gè)小時(shí)，假定它們?cè)谝粫円沟臅r(shí)間中隨機(jī)到達(dá)，若兩船

有一艘在停泊位時(shí)，另一艘船就必須等待，則這兩艘輪船?？坎次粫r(shí)都不需要等待的概率為（）

112W

A.16B.16c.16D.16

【答案】B

【分析】先確定這是幾何概型問(wèn)題，可設(shè)甲乙分別先到的時(shí)間，建立他們之間不需要等待的關(guān)系式,

作出符合條件的可行域，并求其面積，根據(jù)兒何概型的概率公式計(jì)算可得答案.

【詳解】設(shè)甲、乙到達(dá)停泊點(diǎn)的時(shí)間分別是x、y點(diǎn)，

則甲先到乙不需要等待須滿足x+6<V,乙先到甲不需要等待須滿足N+6<x,

0<x<24

0<y<24

*

y>x+6

作出不等式組表示的可行域如圖（陰影部分）：

2x1x18x18=324

正方形的面積為24x24=576,陰影部分面積為2

3249

故這兩艘輪船?？坎次粫r(shí)都不需要等待的概率市一記,

故選：B

11.設(shè)B,C,。是同一個(gè)球面上四點(diǎn)，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，若三棱錐O-48C體

9

積的最大值為5,則該球的表面積為（）.

75%75萬(wàn)

A.14萬(wàn)B.12"C.4D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件做出圖像，結(jié)合勾股定理即可求出球的半徑"，從而得到球的表面積.

【詳解】因是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，故由正弦定理得，

"8C的外接圓半徑/"=百，

9

又因三棱錐D-ABC體積的最大值為2,

d=3匕＞*%：=2石

故此時(shí)點(diǎn)。到平面/8C的距離S.ABC,

由兒B,C,。是同一個(gè)球面上四點(diǎn)，做出下圖，

故圖中，DE=d,OD=OA=R,AE=r,

由勾股定理得：OE2+AE2=OA2,即（"-尺）-+/=&2

D5也.75萬(wàn)

R==4兀Rd2=

計(jì)算得4,該球的表面積4.

故選：c.

【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和

接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方

體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方

體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.

12.數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念，公式符號(hào)，推

理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美.平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：

x2+j/=W+|H就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對(duì)于此曲線，給出如下結(jié)論：

①曲線c圍成的圖形的面積是2+萬(wàn)；

②曲線C上的任意兩點(diǎn)間的距離不超過(guò)2；

17-5&

③若「(見(jiàn)")是曲線C上任意一點(diǎn)，則Rm+4〃-12|的最小值是-2—.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.0B.IC.2D.3

【答案】C

【分析】結(jié)合已知條件寫(xiě)出曲線C的解析式，進(jìn)而作出圖像，對(duì)于①，通過(guò)圖像可知，所求面積

為四個(gè)半圓和一個(gè)正方形面積之和，結(jié)合數(shù)據(jù)求解即可；對(duì)于②，根據(jù)圖像求出曲線C上的任意

兩點(diǎn)間的距離的最大值即可判斷；對(duì)于③，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，然后利用圓上一點(diǎn)到直

線的距離的最小值為圓心到直線的距離減去半徑即可求解.

(x--)2+(y--)2=—

【詳解】當(dāng)且時(shí)，曲線C的方程可化為：2-22.

當(dāng)xWO且時(shí)，曲線C的方程可化為：2'22.

(x--)2+(y+-)2=-

當(dāng)xNO且了40時(shí)，曲線C的方程可化為：2"22.

當(dāng)且丁4°時(shí)，曲線C的方程可化為：222,

曲線C的圖像如下圖所示：

由上圖可知，曲線C所圍成的面積為四個(gè)半圓的面積與邊長(zhǎng)為0的正方形的面積之和，

_4x——+（72）2=2+TT

從而曲線C所圍成的面積22,故①正確；

由曲線C的圖像可知，曲線C上的任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為兩個(gè)半徑與正方形的邊長(zhǎng)之和，即

—x2+V2=2V2>2

2，故②錯(cuò)誤;

|3加+4〃-12|_|3"+4〃-12|

因?yàn)槭C(jī),〃）到直線3x+4y-12=0的距離為732+425

|3加+4〃-12|=5]

所以

當(dāng)“最小時(shí)，易知「（〃?，〃）在曲線°的第一象限內(nèi)的圖像上,

V2

半徑為2的半圓,

|3X1+4X|-12|_17

所以圓心（于）到的距離=

53x+4y-12=0出2+不—W）

d7d力=正比防+4〃721fli

從而210，即?-2,故③正確,

故選：C.

二、填空題

13.將某班的60名學(xué)生編號(hào)為01，02，…,60,采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為5的樣本，且隨機(jī)

抽得的第一個(gè)號(hào)碼為03,則抽得的最大號(hào)碼是.

【答案】51

【分析】根據(jù)總體容量和樣本容量，得到抽樣間隔求解.

【詳解】因?yàn)榭傮w容量是60,樣本容量是5,

所以抽樣間隔為12,

又因?yàn)榈谝粋€(gè)號(hào)碼為03,

所以所有號(hào)碼是03,15,27,39,51,

所有最大號(hào)碼是51,

故答案為：51

x>0

,y20

14.已知實(shí)數(shù)x、了滿足約束條件［x+y-24O,則目標(biāo)函數(shù)z=2x-y的最大值為

【答案】4

【解析】本題首先可根據(jù)約束條件繪出可行域，然后根據(jù)可行域易知過(guò)點(diǎn)'(2，°)時(shí)目標(biāo)函數(shù)

z=2x-y最大.

x>0

(y>0

【詳解】由題意可知，約束條件為〔x+y-2,o,

故可繪出可行域，如圖所示：

則40,2),見(jiàn)2,0)

結(jié)合可行域易知：

目標(biāo)函數(shù)z=2x-V過(guò)點(diǎn)8(2,0)時(shí)取最大值，最大值為z=2x2-0=4,

故答案為：4.

15.已知直線及〃+"=1(其中為非零實(shí)數(shù))與圓/+V=4相交于48兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),

ZAOB=—工+三

且3,則a2b2的最小值為.

【答案】8

【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)可得圓心到直線的距離"=1,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得2〃+〃=1,再

12

將/+乒變形為積為定值的形式后，利用基本不等式可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓心°（°，°）到直線+"=1的距離為九圓一+/=4的圓心為0（0,0）,半徑廠=2,

Z.AOB=——Z.OAB=—d=—r=—x2=1

因?yàn)?,所以6,所以22,

所以，2好+萬(wàn),即2/+/=1,

,--a2>0

因?yàn)椤傲榉橇銓?shí)數(shù)，所以2

11?212、/11、

=—+-j------=2(。+------)

-1-+2-1-+2a--a220--a2

所以/--〃=-----1_2Q222

=2(1+-^—+^-^+1)

_L_2a

2~>2(l+2+l)=8

b2=-

當(dāng)且僅當(dāng)4,2時(shí)，取得等號(hào)，

12

所以/十瓦的最小值為8.

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的方程，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，考查了基本不等式求最值，屬于中檔

16.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)〃是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)屈與A、G不重合）,

則下列結(jié)論正確的是.

①存在點(diǎn)M,使得平面4。/1平面BCQ.

②存在點(diǎn)"，使得OM//平面B'CD';

③的面積不可能等于6.

④若‘，?分別是在平面4B￡D與平面BB0C的正投影影的面積，則存在點(diǎn)M,使得

5=邑、

【答案】①②④.

【分析】當(dāng)M是"G中點(diǎn)時(shí)，可證明平面4。",平面BCQ；②取'G靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn)記

為M,可證明。加〃平面8c2；③作則

AM=-AC.°°

④當(dāng)3,Si=S].

【詳解】①如圖1

當(dāng)M是/￡中點(diǎn)時(shí)，可知"也是4c中點(diǎn)且及CL8G,4AL8G,44口與0=與，所以

8G平面48。，所以3：也，同理可知雙〃4",且即門8。=8,所以w平面

BCQ,又4"u平面所以平面平面8CQ,故①正確；

②如圖2

取4G靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn)記為“，記4Gn耳2=0,OCCMG=N,

oqGN_i

因?yàn)镹C〃4G,所以就一次一］,

所以N為"G靠近G的一個(gè)三等分點(diǎn)，則N為MC\中點(diǎn)，

又。為4G中點(diǎn),所以4M//N0,且AD/B、C,,

4W平面耳81,4。江平面N0u平面81C。，B(u平面81c〃，

所以4M〃平面81c2,4?！ㄆ矫鍮|C￡>|,且《Mu平面/|DW,4°u平面/QM

AiMC\A}D=Ai

所以平面""http://平面8c%且ZWu平面4。加，

所以ZJM//平面與C4,故②正確；

③如圖3

1x72V6

AiV/J=__________—_____

作在4G中根據(jù)等面積得：1G3

76

A}M=DM=

根據(jù)對(duì)稱性可知:3又AD=近,

c

所以是等腰三角形，則故③錯(cuò)誤;

④如圖4,圖5

設(shè)力M=的，"QM在平面48c內(nèi)的正投影為“QM,用在平面5B.C.C內(nèi)的正投影

IV2'咨一五ax?=\-2a

—X-------Xy[2a=-S2=S涓c%=,x

為所以222

AB、CM2,222.,當(dāng)

z=邑時(shí)，解得：故正確.

故答案為：①②④.

三、解答題

17.平面直角坐標(biāo)系中，已知“8C三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為'（-1，2）,'（-3,4）,C（-2,6）

°）求BC邊上的高所在直線的方程；

Q）求“8C的面積.

【答案】（1）x+3尸3=0；（2）3

【分析】°）求出直線BC的斜率，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)求出高線的斜率即可

Q）求出點(diǎn)到直線的距離，以及底BC的距離，結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可

16-4]

/、k=-----彳—r=2k=_>_

【詳解】°）由題意，直線BC的斜率一2-（-3），則BC邊上高的斜率-2,

y—2=—（x+1）o2八

則過(guò)A的高的直線方程為2'，,即x+2y-3=0.,

（2）.「BC的方程為y—4=2（x+3）,.?.2x-y+10=0.

d|—2—2+10|66亞

點(diǎn)A到直線2x-y+io=°的距離在工T亞5.

|BC|=J（-2+3『+（6-4>==75

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形高線的計(jì)算，以及三角形的面積的求解，其中解答中結(jié)合距離公式

以及直線垂直的斜率關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

is.某種機(jī)械設(shè)備使用年限》和相應(yīng)維修費(fèi)用了（萬(wàn)元）有如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):

使用年限23456

維修費(fèi)用2.23.85.56.57.0

己知X和y具有線性相關(guān)關(guān)系.

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)求回歸直線方程；

（2）該設(shè)備使用8年時(shí)，估計(jì)所需維修費(fèi).

工占必一〃*歹

b=^t------

22

Vxi-rixA

（參考公式：，a^y-bx）

【答案】⑴夕=L23x+008；⑵9.92萬(wàn)元.

【解析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)計(jì)算可得A&,由此得到回歸直線方程;

（2）將》=8代入回歸直線方程即可求得結(jié)果.

Yx,y.=4.4+11.4+22+32.5+42=112.3

【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)知：川

_2+3+4+5+6_2.2+3.8+5.5+6.5+7

x=------------=4y=-------------------=5

55,

才d=4+9+16+25+36=90

1,

112.3-5x4x5",

/.b￡=------------=1.23

90-5x16,0=5—1.23x4=0.08,

二線性回歸方程為：j=L23x+0.08.

（2）將x=8代入回歸直線方程可得：=1.23x8+0.08=9.92（

即該設(shè)備使用8年時(shí)，估計(jì)所需維修費(fèi)為9.92萬(wàn)元.

AB=BC=L4P

19.如圖，在直角梯形/8CP中，APHBC,AP-^-AB,2,。是加＞的中點(diǎn)，￡、F

分別為PC、尸。的中點(diǎn)，將△PC。沿CZ）折起得到四棱錐P-48CO,

（1）G為線段8C上任一點(diǎn)，求證：平面EFG，平面PZD；

（2）當(dāng)G為8c的中點(diǎn)時(shí)，求證：/P〃平面EFG.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）先利用線面垂直的判定定理得到平面以。，結(jié)合防〃?？傻玫健晔?，平面

PAD,接著利用面面垂直的判定定理即可求證；

（2）先利用線面平行的判定定理得到GE〃平面尸/8,EF〃平面PAB,然后利用面面平行的判定

定理得到平面EFG〃平面P/8,即可證明結(jié)論

【詳解】（1）???△PDC中，E、尸分別是P。、PC的中點(diǎn)，.??上尸〃CD,

■■■CD-i-PD,CD^-AD,PD^AD^D,PD、/Z）u平面尸/。，

???C/U平面PAD,

.?石尸1■平面PAD,

?.?EFU平面EFG,

???平面EFGJ■平面PAD

（2）;G為8c的中點(diǎn)，E為PC的中點(diǎn)，

:.GEHBP,

???GE0平面尸8PU平面p/8,

???GE〃平面PAS,

由（1）知，EFHDC,

"AB11DC,:.EF”AB,

:EFU平面PAB,48u平面尸

..石尸〃平面PAB,

?:E』GE=E,EF、GE

???平面E尸G〃平面PAB,

?.?P/u平面PAB,

尸〃平面EFG.

20.某學(xué)校進(jìn)行體驗(yàn)，現(xiàn)得到所有男生的身高數(shù)據(jù)，從中隨機(jī)抽取5。人進(jìn)行統(tǒng)計(jì)（已知這50個(gè)身

高介于155cm到195cm之間），現(xiàn)將抽取結(jié)果按如下方式分成八組：第一組口55,160）,第二組

口60/65）,…，第八組[190,195],并按此分組繪制如圖所示的頻率分布直方圖，其中第六組

[180,185）和第七組[185,190）還沒(méi)有繪制完成，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組和第七組人

數(shù)的比為5:2.

（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這50位男生身高的中位數(shù)；

（3）用分層抽樣的方法在身高為口70,180］內(nèi)抽取一個(gè)容量為5的樣本，從樣本中任意抽取2位男

生，求這兩位男生身高都在［175,180］內(nèi)的概率.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）174.5cm.（3）0.3.

【詳解】試題分析：（1）先分別算出第六組和第七組的人數(shù)，進(jìn)而算出其頻率與組距的比，補(bǔ)全

直方圖；（2）利用中位數(shù)兩邊頻率相等，求出中位數(shù)的值；（3）先借助分層抽樣的特征求出第四、

第五組的人數(shù)，再運(yùn)用列舉法列舉出所有可能數(shù)及滿足題設(shè)的條件的數(shù)，運(yùn)用古典概型的計(jì)算公式

求解：

解：（1）第六組與第七組頻率的和為：

1-（0.008x5+0.016x5+0,04x5+0.04x540.06x5+0.008x5）=0.14

???第六組和第七組人數(shù)的比為5：2.

???第六組的頻率為0.1,縱坐標(biāo)為0.02；第七組頻率為0.04,縱坐標(biāo)為0.008.

0.008x5+0.016x5+0.04x540.(M(.r-l70)=0.5

.??估計(jì)這50位男生身高的中位數(shù)為174.5

(3)由于第4,5組頻率之比為2：3,按照分層抽樣，故第4組中應(yīng)抽取2人記為1,2,

第5組應(yīng)抽取3人記為3,4,5

則所有可能的情況有：{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{215},

{3,4},{3,5},{415}共10種

滿足兩位男生身高都在［175,180］內(nèi)的情況有{3,4},{3,5},{4,5}共3種,

因此所求事件的概率為I。.

21.如圖，已知平面四邊形/8C尸中，。為4的中點(diǎn)，PALAB,CDHAB,且

PA=CD=2AB=4.將此平面四邊形/8C尸沿。折成直二面角P_Z)C_8,連接口、PB,設(shè)

PB中點(diǎn)、為E.

(1)在線段2。上是否存在一點(diǎn)尸，使得打工平面尸8C?若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)廠的位置；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)求直線與平面P8C所成角的正弦值.

【答案】（1）點(diǎn)尸存在，且為線段8。上靠近點(diǎn)。的一個(gè)四等分點(diǎn)，即。尸：心=1:3；

國(guó)

⑵6

【分析】（1）以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，由EF工平面P8C,則

EFPB=O,EFPC=O,列方程即可得出答案.

（2）求出直線N8的方向向量與平面P5C的法向量，由線面角的表示方法即可求出答案.

【詳解】（1）由題知，平面月881平面POC,平面48coe平面POC=CO,

因?yàn)椤窪C,P。u平面尸。C,所以PZ）,平面H3C。，

又因?yàn)镼Nu平面/8CQ,所以

則尸OJ.D4,0,則以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.

結(jié)合已知可得力（2，°，°）,僅2,2,0）,C（0,4,0）,P（0,0,2）,

則P5中點(diǎn)E（l，l，l）.?.?尸w平面。8,DB=（2,2,0）故可設(shè)廠（％40）,

則￡尸=（4-1,2一1,_1）,EPJ.平面P5C,EFPB=0,EFPC=01

'2（A-l）+2（A-l）+2=0

又方=（2,2,-2）,定=（0,4,-2）,所以14（4-l）+2=0,

A——F（—,一,0）

解得2,即22,

故點(diǎn)尸存在，且為線段8。上靠近點(diǎn)。的一個(gè)四等分點(diǎn)，即。尸:必=1:3.

—■11

EF-1）

⑵由（1）得22是平面P8C的一個(gè)法向量，又,8=（0,2,0）,

EF-AB-1_=_V6

cos（EF,AB）=?_||一?=-j=

'/固網(wǎng)JIx26

則得

sin，=|cos（EF,

記直線45與平面尸8c所成角為。，則I'/I6,

巫

故所求角的正弦值為6.

22.如圖，已知定圓°f科73）-4,定直線m：K3y+60過(guò)"口。）的一條動(dòng)直線/與直線

"，相交于N,與圓C相交于P，0兩點(diǎn)，”是2°中點(diǎn).

（1）當(dāng)/與加垂直時(shí)，求證：/過(guò)圓心c；

（2）當(dāng)「。卜2石時(shí)，求直線/的方程；

（3）設(shè)試問(wèn)f是否為定值，若為定值，請(qǐng)求出，的值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（I）見(jiàn)解析⑵x=-l