第7講函數(shù)圖象一、選擇題1．函數(shù)y＝|x|與y＝eq\r(x2＋1)在同一坐標(biāo)系上的圖像為()解析因?yàn)閨x|≤eq\r(x2＋1)，所以函數(shù)y＝|x|的圖像在函數(shù)y＝eq\r(x2＋1)圖像的下方，排除C、D，當(dāng)x→＋∞時(shí)，eq\r(x2＋1)→|x|，排除B，故選A.答案A2．函數(shù)y＝eq\f(1,1－x)的圖象與函數(shù)y＝2sinπx(－2≤x≤4)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于()．A．2B．4C．6D．8解析此題考查函數(shù)的圖象、兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)及函數(shù)的對(duì)稱性問題．兩個(gè)函數(shù)都是中心對(duì)稱圖形．如上圖，兩個(gè)函數(shù)圖象都關(guān)于點(diǎn)(1,0)成中心對(duì)稱，兩個(gè)圖象在[－2,4]上共8個(gè)公共點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)對(duì)應(yīng)交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為2，故所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為8.答案D3．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))x－tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)<x<\f(π,2)))，若實(shí)數(shù)x0是函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)，且0<t<x0，2x)×eq\f(\r(2),2)(1－2x)＝eq\r(2)x3－eq\r(2)x2＋eq\f(\r(2),6)，其圖象不可能是一條線段，故排除C，D.(2)當(dāng)eq\f(1,2)≤x<1時(shí)，過E點(diǎn)的截面為三角形，如圖2，設(shè)此三角形為△EFG，則EG＝EF＝ECtan60°＝eq\r(3)(1－x)，CG＝CF＝2CE＝2(1－x)，三棱錐E－FGC底面FGC上的高h(yuǎn)＝ECsin45°＝eq\f(\r(2),2)(1－x)，∴V(x)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)CG·CF·h＝eq\f(\r(2),3)(1－x)3，∴V′(x)＝－eq\r(2)(1－x)2，又顯然V′(x)＝－eq\r(2)(1－x)2在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上單調(diào)遞增，V′(x)<0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))))，∴函數(shù)V(x)＝eq\f(\r(2),3)(1－x)3在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上單調(diào)遞減，且遞減的速率越來越慢，故排除B，應(yīng)選A.答案A二、填空題7．函數(shù)y＝eq\f(1,1－x)的圖象與函數(shù)y＝2sinπx(－2≤x≤4)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于________．解析函數(shù)y＝eq\f(1,1－x)＝eq\f(－1,x－1)和y＝2sinπx的圖象有公共的對(duì)稱中心(1,0)，畫出二者圖象如圖所示，易知y＝eq\f(1,1－x)與y＝2sinπx(－2≤x≤4)的圖象共有8個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)其橫坐標(biāo)為x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，且x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7<x8，由對(duì)稱性得x1＋x8＝x2＋x7＝x3＋x6＝x4＋x5＝2，∴x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＝8.答案88．使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范圍是________．解析作出函數(shù)y＝log2(－x)及y＝x＋1的圖象．其中y＝log2(－x)與y＝log2x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，觀察圖象(如圖所示)知－1<x<0，即x∈(－1,0)．也可把原不等式化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x>0，,－x<2x＋1))后作圖．答案(－1,0)9．設(shè)f(x)表示－x＋6和－2x2＋4x＋6中較小者，則函數(shù)f(x)的最大值是________．解析在同一坐標(biāo)系中，作出y＝－x＋6和y＝－2x2＋4x＋6的圖象如圖所示，可觀察出當(dāng)x＝0時(shí)函數(shù)f(x)取得最大值6.答案610.已知函數(shù)f(x)=()x的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，令h(x)=g(1-|x|)，則關(guān)于h(x)有下列命題：①h(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②h(x)為偶函數(shù)；③h(x)的最小值為0；④h(x)在(0，1)上為減函數(shù).其中正確命題的序號(hào)為_________.(將你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上)解析g(x)=x,∴h(x)=(1-|x|),∴h(x)=得函數(shù)h(x)的大致圖象如圖，故正確命題序號(hào)為②③.答案②③三、解答題11．討論方程|1－x|＝kx的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．解設(shè)y＝|1－x|，y＝kx，則方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)y＝|1－x|的圖象與y＝kx的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．由右邊圖象可知：當(dāng)－1≤k<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)k＝0或k<－1或k≥1時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)0<k<1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．12．設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)的圖象為C1，C1關(guān)于點(diǎn)A(2,1)對(duì)稱的圖象為C2，C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)．(1)求g(x)的解析式；(2)若直線y＝m與C2只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值和交點(diǎn)坐標(biāo)．解析(1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)是C2上的任意一點(diǎn)，則P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(2,1)對(duì)稱的點(diǎn)為P′(4－x,2－y)，代入f(x)＝x＋eq\f(1,x)，可得2－y＝4－x＋eq\f(1,4－x)，即y＝x－2＋eq\f(1,x－4)，∴g(x)＝x－2＋eq\f(1,x－4).(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝m，,y＝x－2＋\f(1,x－4)，))消去y得x2－(m＋6)x＋4m＋9＝0，Δ＝(m＋6)2－4(4m＋9)，∵直線y＝m與C2只有一個(gè)交點(diǎn)，∴Δ＝0，解得m＝0或m＝4.當(dāng)m＝0時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)合理，交點(diǎn)為(3,0)；當(dāng)m＝4時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)合理，交點(diǎn)為(5,4)．13．當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，不等式(x－1)2<logax恒成立，求a的取值范圍．解設(shè)f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的圖象在f2(x)＝logax的下方即可．當(dāng)0<a<1時(shí)，綜合函數(shù)圖象知顯然不成立．當(dāng)a>1時(shí)，如圖，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的圖象在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，∴1＜a≤2.∴a的取值范圍是(1,2]14．已知函數(shù)f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)作出函數(shù)f(x)的圖象并判斷其零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)根據(jù)圖象指出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(4)根據(jù)圖象寫出不等式f(x)>0的解集；(5)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有三個(gè)不相等的實(shí)根}．解(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.(2)∵f(x)＝x|m－x|＝x|4－x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx－4，x≥4，,－xx－4