第一章

緒論《方法論部分》

§1.1宏觀(guān)的數(shù)學(xué)方法論與微觀(guān)的數(shù)學(xué)方法論

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟；問(wèn)題解決是數(shù)學(xué)教育的核心。作為數(shù)學(xué)教育工作者，如何把握解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的鑰匙，這是他必須關(guān)心的重要問(wèn)題。

我國(guó)古代的思想家孔子就有“工欲善其事，必先利其器”的說(shuō)法。

§1.1宏觀(guān)的數(shù)學(xué)方法論

與微觀(guān)的數(shù)學(xué)方法論

當(dāng)代最著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞（G.Polya）強(qiáng)調(diào)指出：“中學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練。”他還說(shuō)過(guò)：“掌握數(shù)學(xué)意味著什么呢？這就是說(shuō)善于解題，不僅善于解一些標(biāo)準(zhǔn)的題，而且善于解一些要求獨(dú)立思考、思路合理、見(jiàn)解獨(dú)到和有發(fā)明創(chuàng)造的題?！?/p>

§1.1宏觀(guān)的數(shù)學(xué)方法論

與微觀(guān)的數(shù)學(xué)方法論

解題畢竟是一種復(fù)雜的智力勞動(dòng)，但它是具有創(chuàng)造性特征的。

對(duì)于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，特別是解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，依靠經(jīng)驗(yàn)性的知識(shí)積累的狀況是難以令人滿(mǎn)意的，我們認(rèn)為重要的是掌握數(shù)學(xué)思想方法。

§1.1宏觀(guān)的數(shù)學(xué)方法論

與微觀(guān)的數(shù)學(xué)方法論

1、什么是數(shù)學(xué)方法

實(shí)際上不同的人們對(duì)它有不同的理解。

在不同的場(chǎng)合中，人們是從兩種既有區(qū)別又有密切聯(lián)系的涵義來(lái)運(yùn)用“數(shù)學(xué)方法”這個(gè)詞。

一是徐利治教授

在《數(shù)學(xué)方法論選講》中認(rèn)為數(shù)學(xué)方法具有“主要是研究和討論數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律，數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新等法則”的表征。

§1.1宏觀(guān)的數(shù)學(xué)方法論

與微觀(guān)的數(shù)學(xué)方法論

二是１９８７年出版的《中國(guó)大百科全書(shū)》中對(duì)數(shù)學(xué)方法給出了如下定義“用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述事物的狀態(tài)、關(guān)系和過(guò)程，并加以推導(dǎo)、演算和分析，以形成對(duì)問(wèn)題的解釋、判斷和預(yù)言的方法?！?/p>

對(duì)數(shù)學(xué)方法的不同理解反映了數(shù)學(xué)這一科學(xué)門(mén)類(lèi)應(yīng)用廣泛的特征。數(shù)學(xué)方法體系同數(shù)學(xué)科學(xué)本身一樣是極為多樣的，與此相應(yīng)的是大量不同的關(guān)于的分類(lèi)。

§1.1宏觀(guān)的數(shù)學(xué)方法論

與微觀(guān)的數(shù)學(xué)方法論

在人們的實(shí)際活動(dòng)的各個(gè)層次上都需要用到數(shù)學(xué)方法，和這種層次相對(duì)應(yīng)，數(shù)學(xué)方法也可以分為四個(gè)層次：

（１）

數(shù)學(xué)發(fā)展和創(chuàng)新的方法；

（２）運(yùn)用數(shù)學(xué)理論研究和表述事物的內(nèi)在聯(lián)系和運(yùn)動(dòng)規(guī)律的方法；

（３）具有一般意義的數(shù)學(xué)解題的方法；

（４）

特殊的數(shù)學(xué)解題方法。

§1.1宏觀(guān)的數(shù)學(xué)方法論

與微觀(guān)的數(shù)學(xué)方法論

徐利治教授在《數(shù)學(xué)方法論選講》中提出了關(guān)于“宏觀(guān)的數(shù)學(xué)方法論”與“微觀(guān)的數(shù)學(xué)方法論”的區(qū)別：關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律的研究（如果撇開(kāi)數(shù)學(xué)內(nèi)在因素不提）屬于宏觀(guān)的數(shù)學(xué)方法論，關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法以及對(duì)數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新等法則的研究則屬于微觀(guān)的數(shù)學(xué)方法論。

§1.1宏觀(guān)的數(shù)學(xué)方法論

與微觀(guān)的數(shù)學(xué)方法論

2、什么是數(shù)學(xué)問(wèn)題

數(shù)學(xué)是研究客觀(guān)世界和空間形式的科學(xué)。當(dāng)人們與客觀(guān)世界產(chǎn)生接觸，從數(shù)量關(guān)系或空間形式的角度反映出認(rèn)識(shí)與客觀(guān)世界的矛盾時(shí)，就形成了數(shù)學(xué)問(wèn)題。

以數(shù)學(xué)為內(nèi)容，或者雖不以數(shù)學(xué)為內(nèi)容，但必須運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、理論或方法才能解決的問(wèn)題稱(chēng)為數(shù)學(xué)問(wèn)題。

§1.1宏觀(guān)的數(shù)學(xué)方法論

與微觀(guān)的數(shù)學(xué)方法論

數(shù)學(xué)發(fā)展史就是一部數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的歷史，而數(shù)學(xué)方法的產(chǎn)生和發(fā)展也是和數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決緊緊相伴的。

偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特說(shuō)過(guò)：“只要一門(mén)科學(xué)分支能提出大量的問(wèn)題，它就充滿(mǎn)著生命力；而問(wèn)題缺乏則預(yù)示著獨(dú)立發(fā)展的衰亡或終止。正如人類(lèi)的每項(xiàng)事業(yè)都追求著確定的目標(biāo)一樣，數(shù)學(xué)研究也需要自己的問(wèn)題。正是通過(guò)這些問(wèn)題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵意志，發(fā)現(xiàn)新方法和新觀(guān)點(diǎn)，達(dá)到更為廣闊和自由的境界?！?/p>

§1.1宏觀(guān)的數(shù)學(xué)方法論

與微觀(guān)的數(shù)學(xué)方法論

數(shù)學(xué)問(wèn)題一般具有幾個(gè)特性：（1）它包含著有關(guān)數(shù)學(xué)的疑問(wèn)因素和未知方面；（2）問(wèn)題的出現(xiàn)表明主體的思維水平和當(dāng)時(shí)的狀況之間失去了平衡和協(xié)調(diào)，主體的數(shù)學(xué)思維產(chǎn)生了隙縫和空缺；（3）主體為填補(bǔ)一定的數(shù)學(xué)問(wèn)題帶來(lái)的隙縫和空缺，就引起緊張，激發(fā)思維活動(dòng)的進(jìn)行。

§1.1宏觀(guān)的數(shù)學(xué)方法論

與微觀(guān)的數(shù)學(xué)方法論

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，問(wèn)題解決是一切活動(dòng)的核心。不同的是，在教學(xué)中所要解決的問(wèn)題并不是那些尚未解決的數(shù)學(xué)科學(xué)問(wèn)題，而是前人已有的數(shù)學(xué)知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，只有提出問(wèn)題，讓學(xué)生明了產(chǎn)生問(wèn)題的情景，并留給學(xué)生必要的時(shí)間，才能引起學(xué)生有目的的思考。

§1.1宏觀(guān)的數(shù)學(xué)方法論

與微觀(guān)的數(shù)學(xué)方法論

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若能使學(xué)生把特定的數(shù)學(xué)問(wèn)題確定為自己努力攻克的方向，才能使學(xué)生的思維活動(dòng)以一定的方法、在一定的范圍內(nèi)進(jìn)行，才能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造熱情，不斷沖擊其頭腦中舊有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，不斷構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，最后引起自身行為的改變——數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

§1.2研究數(shù)學(xué)方法論的意義和目的

希爾伯特說(shuō)：“數(shù)學(xué)中每一步真正的進(jìn)展都與更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著，這些工具和方法同時(shí)會(huì)有助于理解已有的理論并把陳舊的、復(fù)雜的東西拋到一邊。”

通過(guò)一些數(shù)學(xué)史料的學(xué)習(xí)，使我們明了數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明主要是方法上的創(chuàng)新。

§1.2研究數(shù)學(xué)方法論的意義和目的

有了方法才獲得了“鑰匙”，數(shù)學(xué)的發(fā)展絕不僅僅是材料，事實(shí)，知識(shí)的積累和增加，而必須有新的思想方法的參與，才會(huì)有創(chuàng)新，才會(huì)有發(fā)現(xiàn)和發(fā)明。因此，從宏觀(guān)意義上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的關(guān)鍵和動(dòng)力，也就是說(shuō)，對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律的研究及明確的認(rèn)識(shí)，顯然可以幫助我們?nèi)ヅ?chuàng)造有利于數(shù)學(xué)發(fā)展的良好環(huán)境。

§1.2研究數(shù)學(xué)方法論的意義和目的從數(shù)學(xué)的教學(xué)工作而言，數(shù)學(xué)方法論事實(shí)上是對(duì)我們的數(shù)學(xué)教師提出了更高的要求，即我們不僅應(yīng)當(dāng)注意具體的數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授，而且也應(yīng)注意數(shù)學(xué)方法論方面的訓(xùn)練和培養(yǎng)。只有注意數(shù)學(xué)思想方法的分析，我們才能把數(shù)學(xué)課講活，講懂，講深。

§1.2研究數(shù)學(xué)方法論的意義和目的所謂“講活”就是讓學(xué)生看到活生生的數(shù)學(xué)研究工作，而不是死的數(shù)學(xué)知識(shí)。所謂“講懂”，就是讓學(xué)生真正理解有關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，而不是囫圇吞棗、死記硬背。所謂“講深”，則是指使學(xué)生不僅能掌握具體的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且也能領(lǐng)會(huì)內(nèi)在的思想方法?？傊瑢W(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)方法論將對(duì)提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量、提高教師的數(shù)學(xué)教學(xué)學(xué)術(shù)水平起到積極的作用。

§1.2研究數(shù)學(xué)方法論的意義和目的從更為基本的意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅是指具體的數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，而且也是指數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)。應(yīng)充分肯定對(duì)數(shù)學(xué)方法論的研究對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的重要意義。數(shù)學(xué)的思想方法是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題或?qū)嶋H問(wèn)題的指導(dǎo)思想和基本策略，是數(shù)學(xué)的靈魂。學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)方法論，能幫助人們真正認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)科學(xué)的價(jià)值。

§1.2研究數(shù)學(xué)方法論的意義和目的

數(shù)學(xué)作為一種科學(xué)語(yǔ)言及工具，將同語(yǔ)言、宗教和藝術(shù)一樣，是人類(lèi)文化影響全局的部分。數(shù)學(xué)在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、行為科學(xué)等方面的廣泛應(yīng)用，使得現(xiàn)代科學(xué)的任何部分幾乎都已帶上了抹不掉的數(shù)學(xué)印記。

§1.2研究數(shù)學(xué)方法論的意義和目的

數(shù)學(xué)文化作為當(dāng)代文化的重要組成部分，其思想方法，是銘記在人們頭腦中起永恒作用的數(shù)學(xué)觀(guān)念和文化，數(shù)學(xué)的精神和態(tài)度，它使人思維敏捷、表達(dá)清楚、工作有條理；使人善于處世和做事，使人實(shí)事求是，鍥而不舍；使人得到文化方面的修養(yǎng)，從而更好地理解、領(lǐng)略和創(chuàng)造現(xiàn)代社會(huì)的文明；數(shù)學(xué)的思想方法對(duì)提高人的整體素質(zhì)和文化修養(yǎng)有著重要意義。

§1.2研究數(shù)學(xué)方法論的意義和目的

有關(guān)數(shù)學(xué)方法的研究，特別是早期研究中，存在一個(gè)明顯的特點(diǎn)是，企圖找到這樣一種“萬(wàn)能的方法”，以便一勞永逸地解決一切數(shù)學(xué)問(wèn)題，或者使科學(xué)的發(fā)明創(chuàng)造可以循規(guī)蹈矩地進(jìn)行。

笛卡兒在它未完成的著作《思維的法則》里，設(shè)計(jì)了一種能解各種問(wèn)題的萬(wàn)能方法，即

首先，把任何問(wèn)題化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；

其次，把任何數(shù)學(xué)問(wèn)題化為一個(gè)代數(shù)問(wèn)題；

第三，把任何代數(shù)問(wèn)題歸結(jié)到一個(gè)解方程問(wèn)題。

§1.2研究數(shù)學(xué)方法論的意義和目的

1922年，希爾伯特也提出了他的證明論（或稱(chēng)元數(shù)學(xué)），試圖找到一種方法絕對(duì)的證明數(shù)學(xué)理論的無(wú)矛盾性，這一想法被人們稱(chēng)為希爾伯特規(guī)劃。這一規(guī)劃的內(nèi)容包括：（1）把數(shù)學(xué)理論公理化，把所得的公理化理論和所用的邏輯徹底地形式化，從而組成形式系統(tǒng)；（2）用有窮方法證明這一系統(tǒng)的無(wú)矛盾性。

§1.2研究數(shù)學(xué)方法論的意義和目的

希爾伯特曾經(jīng)滿(mǎn)懷信心地認(rèn)為：那種用自然語(yǔ)言來(lái)表述的具有內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識(shí)在內(nèi)容上的推理可以為由數(shù)學(xué)和邏輯的符號(hào)所組成的形式系統(tǒng)的規(guī)劃所代替。歷史的發(fā)展告訴我們，笛卡兒的萬(wàn)能方法和希爾伯特規(guī)劃都被證明是行不同的。但它們?nèi)圆皇橐粋€(gè)偉大的設(shè)想，因?yàn)椴徽撌堑芽▋旱娜f(wàn)能方法還是希爾伯特規(guī)劃，都確實(shí)存在深刻的道理。

§1.2研究數(shù)學(xué)方法論的意義和目的

人們意識(shí)到，研究數(shù)學(xué)方法的任務(wù)，不是去發(fā)現(xiàn)那種一勞永逸地解決一切數(shù)學(xué)問(wèn)題的萬(wàn)能方法，而是通過(guò)活生生的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，使人們正確地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，有效地運(yùn)用數(shù)學(xué)，并且創(chuàng)造性地發(fā)展數(shù)學(xué)。

§1.2研究數(shù)學(xué)方法論的意義和目的

當(dāng)人們從發(fā)明萬(wàn)能方法的夢(mèng)幻中醒悟之后，又是怎樣對(duì)待數(shù)學(xué)方法的研究呢？鄭毓信分析到：“就現(xiàn)代而言，人們?cè)谶@一方面的研究工作，卻又受到邏輯實(shí)證主義這一20世紀(jì)上半葉在西方學(xué)術(shù)占據(jù)主導(dǎo)地位的哲學(xué)思想的極大影響?！薄斑壿媽?shí)證主義者明確地提出了發(fā)現(xiàn)與檢驗(yàn)（證明）的區(qū)分，并認(rèn)為科學(xué)哲學(xué)與科學(xué)方法論的研究應(yīng)當(dāng)局限于檢驗(yàn)的范圍，而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題則完全從屬于心理學(xué)的研究范圍——對(duì)此不需要，也不可能作出邏輯的分析，從而，也就不存在任何意義的發(fā)現(xiàn)方法?！?/p>

§1.2研究數(shù)學(xué)方法論的意義和目的

于是，“人們事實(shí)上就從一個(gè)極端走向了另一個(gè)極端，即由對(duì)萬(wàn)能方法的追求而轉(zhuǎn)向?qū)?shù)學(xué)方法論的實(shí)際否定?！?/p>

20世紀(jì)下半葉，在國(guó)際上以波利亞的三部名著——《怎樣解題》（1944）、《數(shù)學(xué)與猜想》（1954）、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》（1961）的出版為契機(jī)，一股重視數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)解題的潮流又悄然興起。人們以波利亞的以下論述作為指南：“合理的探索法不能以萬(wàn)靈規(guī)律為目標(biāo)，但它可以努力研究在解題中典型有用的做法。這種做法是每一個(gè)對(duì)他的問(wèn)題很感興趣的正常人所經(jīng)驗(yàn)過(guò)的?！?/p>

§1.2研究數(shù)學(xué)方法論的意義和目的

1980年，美國(guó)全國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)（NCTM）在第四屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-4）上提出：“問(wèn)題解決是80年代學(xué)校數(shù)學(xué)教育的核心?！边@一口號(hào)提出至今，一直被人們廣泛接受，直到現(xiàn)在，“問(wèn)題解決”依然是數(shù)學(xué)教育的中心課題，這說(shuō)明在數(shù)學(xué)教育中重視數(shù)學(xué)方法和解題研究乃是符合時(shí)代潮流的歷史必然。

§1.2研究數(shù)學(xué)方法論的意義和目的

“問(wèn)題解決”是在科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展、知識(shí)量急劇增長(zhǎng)的時(shí)代，以提高能力為教學(xué)的主要目標(biāo)的背景下提出來(lái)的。

當(dāng)代學(xué)校教育能為學(xué)生今后的生活和工作所做的準(zhǔn)備主要有兩個(gè)方面，一是科學(xué)知識(shí)，一是科學(xué)方法，這兩者的有機(jī)結(jié)合便形成能力，與一般知識(shí)相比，科學(xué)方法具有更廣泛的遷移作用，其有效性更長(zhǎng)些，因此在當(dāng)代的學(xué)校教育中，科學(xué)方法的作用被提到更重要的地位上來(lái)。

§1.2研究數(shù)學(xué)方法論的意義和目的

對(duì)于“問(wèn)題解決”，各國(guó)研究工作的注意點(diǎn)是：

（1）給學(xué)生提供一種輕松愉快的氣氛和生動(dòng)活潑的環(huán)境；

（2）尋求好的問(wèn)題，從學(xué)生迫切追求的愿望，將學(xué)生置于一種主動(dòng)參與的地位；

（3）大膽鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用直覺(jué)去尋求解提策略；

（4）討論各種成功的策略，如果可能的話(huà)，和以前的問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行推廣，概括出一般原理。

§1.2研究數(shù)學(xué)方法論的意義和目的

數(shù)學(xué)方法和解題研究的現(xiàn)代復(fù)興的又一標(biāo)志是，20世紀(jì)70年代以來(lái)，數(shù)學(xué)建模已成為國(guó)際上的熱點(diǎn)。

近半個(gè)世紀(jì)以來(lái)，計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，在某種意義上說(shuō)，計(jì)算機(jī)各種應(yīng)用的橋梁正是數(shù)學(xué)建模，這樣，數(shù)學(xué)建模就發(fā)展成為一個(gè)與多種學(xué)科相互作用的新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。

§1.2研究數(shù)學(xué)方法論的意義和目的

數(shù)學(xué)建模是實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的產(chǎn)物，它是一種解決問(wèn)題的強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)方法。

數(shù)學(xué)建模的迅速發(fā)展使得數(shù)學(xué)不再被局限于作為一門(mén)基礎(chǔ)科學(xué)的范圍之內(nèi)，在計(jì)算機(jī)的輔助下，數(shù)學(xué)已成為解決問(wèn)題的一種技術(shù)。美國(guó)愛(ài)克遜研究和發(fā)展部總裁戴維（E.E.David）曾說(shuō)過(guò):“很少有人認(rèn)識(shí)到被如此稱(chēng)頌的高技術(shù)本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)?！?/p>

§1.2研究數(shù)學(xué)方法論的意義和目的

在數(shù)學(xué)教育中，對(duì)數(shù)學(xué)建模方法的研究，以及在大學(xué)、高中、初中怎樣開(kāi)設(shè)好數(shù)學(xué)建模課程也成為當(dāng)今數(shù)學(xué)教育改革的重要方向。

我們可以說(shuō)，對(duì)數(shù)學(xué)建模的重視的確是數(shù)學(xué)方法和解題研究的復(fù)興中的一個(gè)舉世矚目的現(xiàn)象。

§1.3數(shù)學(xué)方法伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題

的解決而產(chǎn)生

數(shù)學(xué)方法起源于實(shí)踐活動(dòng)，它是伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決而產(chǎn)生的。人類(lèi)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)踐主要有兩方面：一是生產(chǎn)實(shí)踐和社會(huì)實(shí)踐；二是科學(xué)研究，特別是數(shù)學(xué)研究的實(shí)踐。

§1.3數(shù)學(xué)方法伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題

的解決而產(chǎn)生

由于生產(chǎn)實(shí)踐、社會(huì)實(shí)踐和數(shù)學(xué)發(fā)展本身的需要，人們提出了許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，這些數(shù)學(xué)問(wèn)題或是一個(gè)個(gè)地被解決，或是因無(wú)裨益而被棄置并代之以新的問(wèn)題。在解決這些層出不窮的數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，絢麗多彩的數(shù)學(xué)方法就誕生了。考察數(shù)學(xué)問(wèn)題的源泉，在每個(gè)數(shù)學(xué)分支中，那些最初、最老的問(wèn)題肯定是起源于經(jīng)驗(yàn)，是由外部世界所提出的。

§1.3數(shù)學(xué)方法伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題

的解決而產(chǎn)生

公元前3000年的埃及尼羅河流域，美索不達(dá)米亞的底格里斯河等流域，以及稍晚一些的中國(guó)黃河流域、印度恒河流域，原始階段都已結(jié)束，在這些大河流域文明中，整數(shù)運(yùn)算法則在人們的生產(chǎn)實(shí)踐和彼此的交往中都已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)。

§1.3數(shù)學(xué)方法伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題

的解決而產(chǎn)生

當(dāng)原始的經(jīng)濟(jì)逐漸被農(nóng)業(yè)所代替，由于修建灌溉系統(tǒng)，排水設(shè)施以及管理的需要，測(cè)量耕地，計(jì)算收獲物，征收賦稅及營(yíng)造建筑物的需要，觀(guān)測(cè)天體，確定季節(jié)的需要，一些幾何問(wèn)題、比例問(wèn)題、分?jǐn)?shù)問(wèn)題等就被提了出來(lái)。巴比侖人可能是在天文觀(guān)察、土地丈量和貿(mào)易中形成了位值觀(guān)念和六十進(jìn)制數(shù)系，為了計(jì)算快速、方便，他們制作大量數(shù)表，其中包括倒數(shù)表、平方表、平方根表和立方表，形成了用表格進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算的相當(dāng)先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法。

§1.3數(shù)學(xué)方法伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題

的解決而產(chǎn)生

如目前保存在英國(guó)大不列顛博物館的BMB901號(hào)泥板，就記載著24個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，其中有解一元二次方程的問(wèn)題，從這里我們可以看到人類(lèi)最早的數(shù)學(xué)模型方法思想的萌芽。早在公元前5世紀(jì)，希臘人已經(jīng)形成了三個(gè)幾何作圖問(wèn)題，被稱(chēng)為幾何三大問(wèn)題：（1）倍立方問(wèn)題，求作一立方體，使它的體積等于一已知立方體；（2）三等分角問(wèn)題，求三等分一已知角；（3）化園為方問(wèn)題，求作一正方形，使它的面積等于一已知園的面積。

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的解決而產(chǎn)生

集古代數(shù)學(xué)問(wèn)題之大成的，要數(shù)成書(shū)于公元1世紀(jì)前后的我國(guó)輝煌的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)《九章算術(shù)》，《九章算術(shù)》中收集了方田（各種形狀的田地面積計(jì)算）、粟米（各種糧食谷物間的按比例交換）、商功（體積計(jì)算）、均輸（按比例攤派賦稅和徭投）、盈不足（根據(jù)兩次假設(shè)產(chǎn)生過(guò)剩或不足來(lái)求解的問(wèn)題）、方程（求解一次方程組）、勾股（有關(guān)勾股測(cè)量的各種問(wèn)題）共九章計(jì)246個(gè)問(wèn)題，幾乎包括了當(dāng)時(shí)社會(huì)生活的各個(gè)方面。

§1.3數(shù)學(xué)方法伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題

的解決而產(chǎn)生

《九章算術(shù)》中的數(shù)學(xué)問(wèn)題包括“題”、“答”和“術(shù)”三個(gè)部分。所謂“術(shù)”即是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，它常常包含著解決數(shù)學(xué)問(wèn)題所應(yīng)用的公式，定理或原理的敘述。處理方法上有一題一術(shù)，一題多術(shù)與多題一術(shù)的不同，通過(guò)246個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題共介紹202個(gè)術(shù)，可以說(shuō)《九章算術(shù)》的全部理論是以尋求各種應(yīng)用問(wèn)題的普遍解決為中心課題。

§1.3數(shù)學(xué)方法伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題

的解決而產(chǎn)生

《九章算術(shù)》是我國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中影響最深遠(yuǎn)的一部著作，從中我們可以看到我國(guó)古代數(shù)學(xué)，是怎樣從實(shí)際生活中分析出數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，又怎樣從研究具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題入手，通過(guò)抽象與歸納問(wèn)題而得到解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法。

§1.3數(shù)學(xué)方法伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題

的解決而產(chǎn)生

古希臘歐幾里得幾何所追求的是邏輯的完美。成書(shū)于公元前300年的歐幾里得《幾何原本》實(shí)際上總結(jié)了公元前600年前到公元前300年間流行在希臘帝國(guó)的很多幾何學(xué)方面的成果?！稁缀卧尽肥且徊吭诙x、公設(shè)和公理基礎(chǔ)上按演繹方法建立起來(lái)的命題系統(tǒng)，它包含23個(gè)預(yù)備性定義，5個(gè)公設(shè)，5條公理和465個(gè)命題。

§1.3數(shù)學(xué)方法伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題

的解決而產(chǎn)生

歐幾里得《原本》的出現(xiàn)，標(biāo)志著一種重要的數(shù)學(xué)方法——公理化方法的形成，2000多年來(lái)，公理化方法對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展乃至物理學(xué)，現(xiàn)代理論力學(xué)及各門(mén)自然科學(xué)的發(fā)展都帶來(lái)深遠(yuǎn)的影響。人們通過(guò)歐幾里得幾何的學(xué)習(xí)，受到了公理化方法的訓(xùn)練，從而邁入科學(xué)的殿堂。

§1.3數(shù)學(xué)方法伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題

的解決而產(chǎn)生

愛(ài)因斯坦就說(shuō)過(guò)：“世界第一次目睹了一個(gè)邏輯體系的奇跡，這個(gè)邏輯體系如此精密地一步一步推進(jìn)，以至它的每一個(gè)命題都是絕對(duì)不容置疑的——我這里說(shuō)的是歐幾里得幾何。推論的這種可贊嘆的勝利，使人類(lèi)的理智獲得了為取得以后的成就所必需的信心?！?/p>

§1.3數(shù)學(xué)方法伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題

的解決而產(chǎn)生

17世紀(jì)以后，歐洲的數(shù)學(xué)擺脫了發(fā)展緩慢的狀態(tài)，這一“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)?！保ǘ鞲袼拐Z(yǔ)）在笛卡爾的解析幾何中“曲線(xiàn)是任何具體代數(shù)方程的軌跡”，這不僅一下子擴(kuò)充了數(shù)學(xué)的范圍，而且為代數(shù)方法運(yùn)用到幾何乃至整個(gè)數(shù)學(xué)鋪平了道路。

§1.3數(shù)學(xué)方法伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題

的解決而產(chǎn)生

1637年，笛卡爾的解析幾何作為“附錄”發(fā)表在他的哲學(xué)著作《方法談》之中，這對(duì)笛卡爾來(lái)說(shuō)并非是一種偶然的安排，因?yàn)樵谒磥?lái)，解析幾何與其說(shuō)是數(shù)學(xué)研究的新成果，還不如說(shuō)是科學(xué)方法論的產(chǎn)物。

§1.3數(shù)學(xué)方法伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題

的解決而產(chǎn)生

數(shù)學(xué)的發(fā)展一方面是由于對(duì)生產(chǎn)和社會(huì)生活中所提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究和解決，如航海、機(jī)械、力學(xué)、天文學(xué)的發(fā)展，促使牛頓在考察變速運(yùn)動(dòng)中的位置、速度、加速度的關(guān)系而創(chuàng)立微積分，從而導(dǎo)致函數(shù)研究中極限方法的完善。

§1.3數(shù)學(xué)方法伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題

的解決而產(chǎn)生

從研究博奕問(wèn)題開(kāi)始，經(jīng)歷了兩個(gè)世紀(jì)，雅各布?伯努利終于將概率論發(fā)展成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，為自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的研究提供了全新的或然方法。泰勒、丹尼爾?伯努利、歐拉等對(duì)聲學(xué)、尤其是對(duì)音樂(lè)樂(lè)聲的弦振動(dòng)、聲音傳播問(wèn)題的研究，極大地刺激了微分方程的發(fā)展，至今微分方程反過(guò)來(lái)又成為研究孤立等重大物理現(xiàn)象的工具。

§1.3數(shù)學(xué)方法伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題

的解決而產(chǎn)生

由于數(shù)學(xué)發(fā)展內(nèi)部矛盾運(yùn)動(dòng)中提出的問(wèn)題的研究和解決，更發(fā)展了抽象的數(shù)學(xué)方法，使數(shù)學(xué)成為脫離現(xiàn)實(shí)世界的高度抽象的形式化的事物，其中典型的例子是，伽羅瓦（E.Galois）關(guān)于代數(shù)方程可解性的研究，引進(jìn)了群和域的概念，進(jìn)一步導(dǎo)致抽象代數(shù)的建立。關(guān)于歐幾里得《幾何原本》第五公設(shè)的獨(dú)立性的研究，羅巴切夫斯基、黎曼相繼建立了不同的非歐幾何理論。

§1.3數(shù)學(xué)方法伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題

的解決而產(chǎn)生

關(guān)于復(fù)數(shù)運(yùn)算的研究，導(dǎo)致1843年哈密爾頓建立四元數(shù)代數(shù)，進(jìn)一步發(fā)展為超復(fù)數(shù)理論。

希爾伯特說(shuō)：“數(shù)學(xué)中每一步真正的進(jìn)展都與更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法和發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著，這些工具和方法同時(shí)會(huì)有助于理解已有的理論并把陳舊的、復(fù)雜的東西拋到一邊?！?/p>

§1.3數(shù)學(xué)方法伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題

的解決而產(chǎn)生在人們探索的眾多的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，一個(gè)著名的例子是費(fèi)馬定理：

方程對(duì)于不等于零的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)無(wú)解。

300多年以來(lái)，這個(gè)問(wèn)題引無(wú)數(shù)英雄競(jìng)折腰。在尋求這個(gè)問(wèn)題的結(jié)論的證明過(guò)程中，涉及到L-函數(shù)，群論，伽羅瓦表示，形變理論等現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論，遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超出了費(fèi)馬大定理本身所在的初等數(shù)論的范疇，特別是在數(shù)論方面得出許多新的數(shù)學(xué)方法，從而豐富和發(fā)展了代數(shù)數(shù)論。無(wú)怪希爾伯特風(fēng)趣地說(shuō)：“我們應(yīng)當(dāng)更加注意，不要?dú)⒌暨@個(gè)經(jīng)常為我們生出金蛋的母雞。”

§1.3數(shù)學(xué)方法伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題

的解決而產(chǎn)生

§1.3數(shù)學(xué)方法伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題

的解決而產(chǎn)生

在數(shù)學(xué)的迅速發(fā)展之中，出現(xiàn)了不少在數(shù)學(xué)方法方面有研究的著名學(xué)者，如笛卡爾，萊布尼茲、歐拉、高斯、龐加萊、克萊因和希爾伯特等，他們或發(fā)表過(guò)有關(guān)數(shù)學(xué)方法的精辟見(jiàn)解，或有專(zhuān)門(mén)論著。下面以歐拉所解決的兩個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題為例，說(shuō)明這些著名學(xué)者是如何運(yùn)用并發(fā)展數(shù)學(xué)方法的。

§1.3數(shù)學(xué)方法伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題

的解決而產(chǎn)生問(wèn)題1、自然數(shù)平方的倒數(shù)和求

這是一個(gè)曾使雅各布?伯努利感到無(wú)能為力的數(shù)學(xué)問(wèn)題，他曾經(jīng)寫(xiě)道：“假如有人能夠求出這個(gè)我們直到現(xiàn)在還未求出的和，并能把它通知我們，我們將會(huì)感謝他?！?/p>

§1.3數(shù)學(xué)方法伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題

的解決而產(chǎn)生

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，歐拉發(fā)現(xiàn)了各式各樣的表達(dá)式（定積分，級(jí)數(shù)），但沒(méi)有一個(gè)能使他滿(mǎn)意，他用這些表達(dá)式之一，算出了一個(gè)有七位有效數(shù)字的和（1.644934），但這僅是一個(gè)近似值，而歐拉的目的是求出準(zhǔn)確值。最后他發(fā)現(xiàn)了它，是類(lèi)比方法幫助他得到了精彩的結(jié)果。

§1.3數(shù)學(xué)方法伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題

的解決而產(chǎn)生

設(shè)一個(gè)2n次代數(shù)方程（﹡）無(wú)零根，將這個(gè)方程變形為

令這個(gè)方程的根為

§1.3數(shù)學(xué)方法伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題

的解決而產(chǎn)生

則有

即

§1.3數(shù)學(xué)方法伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題

的解決而產(chǎn)生

與方程（*）比較x2項(xiàng)的系數(shù)，有

考慮方程

即

(**)§1.3數(shù)學(xué)方法伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題

的解決而產(chǎn)生

這個(gè)方程有無(wú)窮個(gè)根：π，-π，2π，-2π，3π，-3π，…,nπ，-nπ,…。方程化為

比較這個(gè)方程與方程（**）x2項(xiàng)的系數(shù)，

得出

§1.3數(shù)學(xué)方法伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題

的解決而產(chǎn)生

于是有

對(duì)于這個(gè)結(jié)果，歐拉寫(xiě)道：“這種方法是新的并且還來(lái)沒(méi)有這樣用過(guò)。”歐拉又用這種方法重新發(fā)現(xiàn)了著名的萊布尼茲級(jí)數(shù)的和：

§1.3數(shù)學(xué)方法伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題

的解決而產(chǎn)生

波利亞（G.Polya）在1953年對(duì)此曾作出如下評(píng)論：“歐拉成功的決定性因素是大膽，從嚴(yán)格邏輯角度來(lái)回顧，他的做法是荒謬的。他把對(duì)某種情況來(lái)說(shuō)尚未發(fā)明的法則應(yīng)用到這種情況上了，即把關(guān)于一個(gè)代數(shù)方程的法則應(yīng)用到一個(gè)非代數(shù)方程的情況中去。在嚴(yán)格的邏輯意義下歐拉的步驟是不允許采取的，但是他用了一門(mén)新興科學(xué)中最好的成就來(lái)做類(lèi)比，而類(lèi)比告訴他可以這樣做。這門(mén)新科學(xué)，在幾年以后，他自己把它稱(chēng)為‘無(wú)窮分析’。”

§1.3數(shù)學(xué)方法伴隨數(shù)學(xué)問(wèn)題

的解決而產(chǎn)生

問(wèn)題2、哥尼斯堡七橋問(wèn)題

一條小河從東普魯士的小城鎮(zhèn)哥尼斯堡市中心穿過(guò)，河中有小島A和B，河上有七座橋連接這兩個(gè)島的兩岸C