學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精正弦、余弦函數(shù)性質(zhì)的難點,在于對函數(shù)周期性的正確理解與運用,以下的奇偶性，無論是由圖象觀察，還是由誘導(dǎo)公式進(jìn)行證明，都很容易。單調(diào)性只要求由圖象觀察,不要求證明，而正弦、余弦函數(shù)的最大值和最小值可以作為單調(diào)性的一個推論，只要注意引導(dǎo)學(xué)生利用周期進(jìn)行正確歸納即可。三維目標(biāo)1.通過創(chuàng)設(shè)情境,如單擺運動、波浪、四季變化等，讓學(xué)生感知周期現(xiàn)象；理解周期函數(shù)的概念；能熟練地求出簡單三角函數(shù)的周期，并能根據(jù)周期函數(shù)的定義進(jìn)行簡單的拓展運用。2。通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對周期現(xiàn)象有一個初步的認(rèn)識，感受生活中處處有數(shù)學(xué)，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心,學(xué)會運用聯(lián)系的觀點認(rèn)識事物.重點難點教學(xué)重點:正弦、余弦、正切函數(shù)的主要性質(zhì)(包括周期性、單調(diào)性、奇偶性、最值或值域）；深入研究函數(shù)性質(zhì)的思想方法.教學(xué)難點:正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象間的關(guān)系、圖象變換,以及周期函數(shù)概念的理解,最小正周期的意義及簡單的應(yīng)用.課時安排2課時教學(xué)過程第1課時導(dǎo)入新課思路1.人的情緒、體力、智力都有周期性的變化現(xiàn)象，在日常生活和工作中,人們常常有這樣的自我感覺，有的時候體力充沛,心情愉快，思維敏捷；有的時候卻疲倦乏力,心灰意冷,反應(yīng)遲鈍;也有的時候思緒不穩(wěn),喜怒無常,煩躁不安,糊涂健忘，這些感覺呈周期性發(fā)生，貫穿人的一生，這就是人體節(jié)律。這種有規(guī)律性的重復(fù)，我們稱之為周期性現(xiàn)象.請同學(xué)們舉出生活中存在周期現(xiàn)象的例子，在學(xué)生熱烈的爭論中引入新課.思路2。取出一個鐘表,實際操作,我們發(fā)現(xiàn)鐘表上的時針、分針和秒針每經(jīng)過一周就會重復(fù)，這是一種周期現(xiàn)象.我們這節(jié)課要研究的主要內(nèi)容就是周期現(xiàn)象與周期函數(shù)。那么我們怎樣從數(shù)學(xué)的角度研究周期現(xiàn)象呢?在圖形上讓學(xué)生觀察正弦線“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，在代數(shù)式上讓學(xué)生思考誘導(dǎo)公式:sin（x+2kπ）=sinx又是怎樣反映函數(shù)值的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律的.要求學(xué)生用日常語言敘述這個公式，通過對圖象、函數(shù)解析式的特點的描述，使學(xué)生建立在比較牢固的理解周期性的認(rèn)知基礎(chǔ)上,來理解“周而復(fù)始”變化的代數(shù)刻畫，由此引出周期函數(shù)的概念。推進(jìn)新課新知探究提出問題問題①正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù)嗎？如果是，又是怎樣周期性變化的？問題②閱讀教材并思考：怎樣從代數(shù)的角度定義周期函數(shù)？活動:教師可先引導(dǎo)學(xué)生查閱思考上節(jié)學(xué)過的正弦函數(shù)圖象,讓學(xué)生觀察正弦線的變化規(guī)律,有什么新的發(fā)現(xiàn)？再讓學(xué)生描述這種規(guī)律是如何體現(xiàn)在正弦函數(shù)的圖象上的，即描述正弦函數(shù)圖象是如何體現(xiàn)“周而復(fù)始"的變化規(guī)律的.通過研究圖象,學(xué)生很容易看出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù).怎樣變化呢？從圖1中也能看出是每隔2π就重復(fù)一次。對問題①，學(xué)生對正弦函數(shù)是周期函數(shù)是沒有疑問的,至于怎樣描述,學(xué)生一時很難回答。教師可引導(dǎo)學(xué)生思考討論,正弦函數(shù)圖象是怎樣重復(fù)出現(xiàn)的?對于回答對的學(xué)生給予肯定，鼓勵繼續(xù)探究.對于找不到思路的學(xué)生給予提示，指導(dǎo)其正確的探究思路。圖1問題②，從圖象上能夠看出，但關(guān)鍵是怎樣對“周而復(fù)始”的變化規(guī)律作出代數(shù)描述，這對學(xué)生有一定的難度。在引入正式定義之前，可以引導(dǎo)學(xué)生先從不同角度進(jìn)行描述.例如:對于函數(shù)f（x)自變量每增加或減少一個定值（這樣的定值可以有很多個）,函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn),那么這個函數(shù)就叫做周期函數(shù)。教師也可以引導(dǎo)點撥學(xué)生從誘導(dǎo)公式進(jìn)行描述.例如：sin(α+2kπ）=sinα，cos（α+2kπ)=cosα,k∈Z。這表明,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在定義域內(nèi)自變量每增加（k〉0時）或減少（k<0時）一個定值2kπ，它的函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn),所以正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù).還可以通過類比奇函數(shù)、偶函數(shù)、周期函數(shù)的研究方法來加深理解周期性概念。如果函數(shù)f（x）對于其定義域內(nèi)的每一個值，都有：f(—x）=—f(x),那么f(x)叫做奇函數(shù);f（—x)=f（x）,那么f（x)叫做偶函數(shù);f(x+T）=f（x）,其中T是非零常數(shù)，那么f（x)叫做周期函數(shù).從上述定義可以看到,函數(shù)的性質(zhì)是對函數(shù)的一種整體考察結(jié)果，反映了同一類函數(shù)的共同特點,它們可以從代數(shù)角度得到統(tǒng)一刻畫。這種共同特點還可以從函數(shù)的圖象上得到反映.討論結(jié)果：①正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù),每隔2π就重復(fù)一次.②略.定義:對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f（x+T）=f(x），那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)。非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期。正弦函數(shù)是周期函數(shù),2kπ(k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π。提出問題①怎樣正確理解三角函數(shù)是周期函數(shù)的定義？并舉例說明.②通過探求思考怎樣求一些簡單三角函數(shù)的周期？活動:對問題①，學(xué)生一時可能難于理解周期的代數(shù)刻畫.教師在引導(dǎo)學(xué)生閱讀、討論、思考問題時可多舉些具體例子，以使抽象概念具體化。如常數(shù)函數(shù)f（x）=c(c為常數(shù),x∈R)是周期函數(shù),所有非零實數(shù)T都是它的周期.同時應(yīng)特別強(qiáng)調(diào):（1）對周期函數(shù)與周期定義中的“當(dāng)x取定義域內(nèi)每一個值時”這句話，要特別注意“每一個值”的要求.如果只是對某些x有f（x+T)=f（x），那么T就不是f(x）的周期。例如，分別取x1=2kπ+(k∈Z)，x2=，則由sin(2kπ++)≠sin（2kπ+），sin（+)≠sin,可知不是正弦函數(shù)的周期.又如sin（30°+120°）=sin30°,但不是對所有x都有f（x+120°）=f(x），所以120°不是f(x）的周期.(2)從上述定義還可以看到周期函數(shù)的周期不唯一,例如2π,4π,6π,8π，……都是它的周期,有無窮多個,即2kπ（k∈Z，k≠0)都是正弦函數(shù)的周期。這一點可以從周期函數(shù)的圖象上得到反映,也可以從代數(shù)上給以證明:設(shè)T是函數(shù)f(x）的周期，那么對于任意的k∈Z,k≠0,kT也是函數(shù)f(x)的周期。（3）對于周期函數(shù)來說，如果所有的周期中存在著一個最小的正數(shù)，就稱它為最小正周期。但周期函數(shù)不一定存在最小正周期，例如，對于常數(shù)函數(shù)f(x)=c（c為常數(shù)，x∈R）,所有非零實數(shù)T都是它的周期，由于T可以是任意不為零的常數(shù),而正數(shù)集合中沒有最小值，即最小正數(shù)是不存在的，所以常數(shù)函數(shù)沒有最小正周期。(4）正弦函數(shù)中，正周期無窮多，2π是最小的一個，在我們學(xué)習(xí)的三角函數(shù)中，如果不加特別說明，教科書提到的周期,一般都是指最小正周期.對問題②,教師要指導(dǎo)學(xué)生緊扣定義，可先出一些簡單的求周期的例子，如:若T是f（x）的周期,那么2T、3T、…呢?怎樣求？實際上,由于T是f（x)的周期，那么2T、3T、…也是它的周期。因為f（x+2T）=f（x+T+T)=f（x+T）=f（x）。這樣學(xué)生就會明白，數(shù)學(xué)中的周期函數(shù)，其實就是在獨立變量上加上一個確定的周期之后數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的函數(shù)。討論結(jié)果:①略.②定義法、公式法和圖象法.應(yīng)用示例思路1例1求下列函數(shù)的周期:(1）y=3cosx,x∈R；（2）y=sin2x，x∈R;(3）y=2sin（-），x∈R?；顒?教師引導(dǎo)學(xué)生緊扣定義，一切從定義出發(fā)來求。(1）因為3cos(x+2π）=3cosx，根據(jù)周期函數(shù)的定義可知,原函數(shù)的周期為2π。有的學(xué)生可能會提出π是不是呢？讓學(xué)生自己試一試,加深對概念的理解.因為3cos(x+π)=-3cosx≠3cosx,所以π不是周期.（2)教師引導(dǎo)學(xué)生觀察2x，可把2x看成一個新的變量u,那么cosu的最小正周期是2π，就是說,當(dāng)u增加到u+2π時，函數(shù)cosu的值重復(fù)出現(xiàn),而u+2π=2x+2π=2（x+π）,所以當(dāng)自變量x增加到x+π且必須增加到x+π時函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn).因為sin2（x+π）=sin（2x+2π),所以由周期函數(shù)的定義可知,原函數(shù)的周期為π。(3）因為2sin［（x+4π)—］=2sin［（-）+2π］=2sin（—）.所以由周期函數(shù)的定義可知,原函數(shù)的周期為4π。解：（1)周期為2π；（2)周期為π；（3)周期為4π.點評:通過本例我們看到函數(shù)周期的變化僅與自變量的系數(shù)有關(guān)，關(guān)鍵是讓學(xué)生認(rèn)識到，f(x+T)=f(x）中,T是相對于自變量x而言的,讓學(xué)生總結(jié)歸納一下這些函數(shù)的周期與解析式中哪些量有關(guān)。一般地,函數(shù)y=Asin（ωx+φ)(其中A、ω、φ為常數(shù),A≠0,ω>0，x∈R）的周期為T=.可以按照如下的方法求它的周期：y=Asin(ωx+φ+2π)=Asin［ω(x+)+φ]=Asin（ωx+φ)。于是有f（x+）=f（x),所以其周期為。例如,在第（3）小題,y=2sin（x—),x∈R中,ω=，所以其周期是4π.由上述解法可以看到,思考的基本依據(jù)還是y=sinx的周期為2π.根據(jù)這個結(jié)論，我們可以由這類函數(shù)的解析式直接寫出函數(shù)的周期.如例3中的第(3)小題：T==4π.這是求簡單三角函數(shù)周期的最基本方法，即公式法.變式訓(xùn)練1.已知f（x)是周期為5的周期函數(shù),且f(1)=2007,求f（11)。解:因為5是函數(shù)f(x）在R上的周期,所以f（11)=f（6+5)=f(6）=f(1+5）=f(1)=2007。2.已知奇函數(shù)f(x)是R上的函數(shù)，且f（1)=2，f（x+3）=f(x），求f(8).解:由題意知，3是函數(shù)f（x）的周期，且f（-x）=-f(x）,所以f（8)=f(2+2×3)=f（2）=f(-1+3）=f(—1)=-f(1)=-2.思路2例1判斷函數(shù)f（x)=2sin2x+｜cosx|,x∈R的周期性.如果是周期函數(shù),最小正周期是多少?活動：本例的難度較大，教師可引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā),結(jié)合誘導(dǎo)公式,尋求使f（x+T)=f(x)成立的T的值。學(xué)生可能會很容易找出4π，2π,這的確是原函數(shù)的周期,但是不是最小正周期呢？教師引導(dǎo)學(xué)生選其他幾個值試試。如果學(xué)生很快求出,教師給予表揚鼓勵；如果學(xué)生做不出,教師點撥學(xué)生的探究思路,主要讓學(xué)生自己討論解決。解：因為f（x+π）=2sin2（x+π)+｜cos(x+π）｜=2sin2x+｜cosx｜=f(x).所以原函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期是π。點評:本題能很容易判斷是周期函數(shù),但要求的是“最小正周期"，那就要多加小心了.雖然將4π，2π帶入公式后也符合要求,但還必須進(jìn)一步變形，即f(x)中的x以x+π代替后看看函數(shù)值變不變。為此需將π，等都代入試一試。實際上,在f(x）=2sin2x+｜cosx｜,x∈R中,學(xué)生應(yīng)看到平方與絕對值的作用是一樣的,與負(fù)號沒有關(guān)系。因而π肯定是原函數(shù)的一個周期。變式訓(xùn)練1.求函數(shù)y=2sin(π-x)的周期.解:因為y=2sin（π—x)=-2sin（x-）,所以周期T=6π。2。證明正弦、余弦函數(shù)的最小正周期是2π.證明：(反證法)先證正弦函數(shù)的最小正周期是2π。由于2π是它的一個周期,所以只需證明任意一個小于2π的正數(shù)都不是它的周期。假設(shè)T是正弦函數(shù)的周期,且0〈T〈2π,那么根據(jù)周期函數(shù)的定義，當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時,都有sin（x+T)=sinx.令x=，代入上式，得sin(+T）=sin=1，但sin(+T)=cosT，于是有cosT=1.根據(jù)余弦函數(shù)的定義，當(dāng)T∈（0，2π)時,cosT<1。這說明上述cosT=1是不可能的于是T必須等于2π，即正弦函數(shù)的最小正周期是2π。同理可證,余弦函數(shù)的最小正周期也是2π。知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)解答:1.成立.但不能說12°是正弦函數(shù)的一個周期,因為此等式不是對x的一切值都成立。例如sin(20°+120°)≠sin20°。點評:理解周期函數(shù)概念中“當(dāng)x取定義域內(nèi)每一個值時”的“每一個值”的含義.2.（1）；(2)；(3)2π；(4)6π。點評:利用周期函數(shù)的圖象和定義求周期,體會周期與自變量x的系數(shù)有關(guān).3。可以先在一個周期的區(qū)間上研究函數(shù)的其他性質(zhì)，再利用函數(shù)的周期性，將所研究的性質(zhì)擴(kuò)展到整個定義域。點評：了解如何利用函數(shù)的周期性來認(rèn)識周期函數(shù)的其他性質(zhì).可讓學(xué)生課堂討論,然后歸納總結(jié)。課堂小結(jié)由學(xué)生回顧本節(jié)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識有哪些?〔周期函數(shù)的概念，最小正周期的定義,正弦、余弦函數(shù)的周期性，y=Asin(ωx+φ)（ω>0）的周期〕.并思考總結(jié)本節(jié)都用了哪些數(shù)學(xué)方法?（觀察與歸納,特殊到一般,定義法,數(shù)形結(jié)合，辯證的觀點)作業(yè)1。課本習(xí)題A組3，B組3.2.預(yù)習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性。設(shè)計感想1.本節(jié)課的設(shè)計思想是:在學(xué)生的探究活動中突破正弦、余弦函數(shù)的周期性這個教學(xué)難點。因此一開始要讓學(xué)生從圖形、代數(shù)兩方面深入探究,不要讓開始的探究成為一種擺設(shè).如果學(xué)生一開始沒有很好的理解，那么，以后有些題就會很難做.通過探究讓學(xué)生找出周期這個規(guī)律性的東西，并明確知識依附于問題而存在,方法為解決問題的需要而產(chǎn)生。將周期性概念的形成過程自然地貫徹到教學(xué)活動中去,由此把學(xué)生的思維推到更高的廣度。2。本節(jié)設(shè)計的特點是從形到數(shù)、由特殊到一般、由易到難,這符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.讓學(xué)生在探究中積累知識,發(fā)展能力，對形成科學(xué)的探究未知世界的嚴(yán)謹(jǐn)作風(fēng)有著良好的啟導(dǎo)。但由于學(xué)生知識水平的限制,本節(jié)不能擴(kuò)展太多,建議讓學(xué)有余力的學(xué)生繼續(xù)探討函數(shù)的周期性的規(guī)律及一般三角函數(shù)的周期的求法.3.根據(jù)本節(jié)課的特點可考慮分層推進(jìn)、照顧全體.對優(yōu)等生，重在引導(dǎo)他們進(jìn)行一題多解，多題合一,變式思考的訓(xùn)練，培養(yǎng)他們求同思維、求異思維能力，以及思維的靈活性、深刻性與創(chuàng)造性,鼓勵他們獨立思考，勇于探索,敢于創(chuàng)新，對正確的要予以肯定,對暴露出來的問題要及時引導(dǎo)、剖析糾正，使課堂學(xué)習(xí)成為再發(fā)現(xiàn)再創(chuàng)造的過程。第2課時導(dǎo)入新課思路1.(類比導(dǎo)入)我們在研究一個函數(shù)的性質(zhì)時,如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),往往通過它們的圖象來研究.先讓學(xué)生畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象,從學(xué)生畫圖象、觀察圖象入手,由此展開正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)的探究.思路2.(直接導(dǎo)入）研究函數(shù)就是要討論函數(shù)的一些性質(zhì)，y=sinx,y=cosx是函數(shù),我們當(dāng)然也要探討它們的一些性質(zhì)。本節(jié)課，我們就來研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)最基本的幾條性質(zhì).請同學(xué)們回想一下，一般來說,我們是從哪些方面去研究一個函數(shù)的性質(zhì)的呢(定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、最值)？然后逐一進(jìn)行探究。推進(jìn)新課新知探究提出問題①回憶并畫出正弦曲線和余弦曲線，觀察它們的形狀及在坐標(biāo)系中的位置；②觀察正弦曲線和余弦曲線,說出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域各是什么;③觀察正弦曲線和余弦曲線，說出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域各是什么;由值域又能得到什么;④觀察正弦曲線和余弦曲線，函數(shù)值的變化有什么特點？⑤觀察正弦曲線和余弦曲線，它們都有哪些對稱?(1)（2)圖2活動:先讓學(xué)生充分思考、討論后再回答.對回答正確的學(xué)生,教師可鼓勵他們按自己的思路繼續(xù)探究,對找不到思考方向的學(xué)生，教師可參與到他們中去,并適時的給予點撥、指導(dǎo)。在上一節(jié)中，要求學(xué)生不僅會畫圖,還要識圖,這也是學(xué)生必須熟練掌握的基本功。因此,在研究正弦、余弦函數(shù)性質(zhì)時，教師要引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘正弦、余弦函數(shù)曲線或單位圓中的三角函數(shù)線，當(dāng)然用多媒體課件來研究三角函數(shù)性質(zhì)是最理想的,因為單位圓中的三角函數(shù)線更直觀地表現(xiàn)了三角函數(shù)中的自變量與函數(shù)值之間的關(guān)系，是研究三角函數(shù)性質(zhì)的好工具.用三角函數(shù)線研究三角函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法,有利于我們從整體上把握有關(guān)性質(zhì)。對問題①，學(xué)生不一定畫準(zhǔn)確，教師要求學(xué)生盡量畫準(zhǔn)確，能畫出它們的變化趨勢.對問題②，學(xué)生很容易看出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實數(shù)集R〔或（-∞，+∞)〕.對問題③,學(xué)生很容易觀察出正弦曲線和余弦曲線上、下都有界，得出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是[—1，1］.教師要引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)的角度思考并給出證明∵正弦線、余弦線的長度小于或等于單位圓的半徑的長度，∴｜sinx｜≤1,｜cosx｜≤1，即—1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1。也就是說,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是［—1,1］。對于正弦函數(shù)y=sinx(x∈R），(1)當(dāng)且僅當(dāng)x=+2kπ,k∈Z時,取得最大值1。(2）當(dāng)且僅當(dāng)x=—+2kπ,k∈Z時，取得最小值-1。對于余弦函數(shù)y=cosx（x∈R),(1)當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ,k∈Z時，取得最大值1.（2)當(dāng)且僅當(dāng)x=（2k+1）π，k∈Z時,取得最小值—1.對問題④，教師可引導(dǎo)、點撥學(xué)生先截取一段來看,選哪一段呢？如圖3,通過學(xué)生充分討論后確定,選圖象上的［-,]（如圖4)這段.教師還要強(qiáng)調(diào)為什么選這段，而不選［0,2π]的道理,其他類似。圖3圖4這個變化情況也可從下表中顯示出來：x—［…0……π…sinx—1↗0↗1↘0↘—1就是說，函數(shù)y=sinx,x∈［-,］.當(dāng)x∈［—,］時，曲線逐漸上升，是增函數(shù)，sinx的值由—1增大到1；當(dāng)x∈[,］時，曲線逐漸下降，是減函數(shù),sinx的值由1減小到-1。類似地,同樣可得y=cosx，x∈[-π,π］的單調(diào)變化情況.教師要適時點撥、引導(dǎo)學(xué)生先如何恰當(dāng)?shù)剡x取余弦曲線的一段來研究,如圖5,為什么選[—π,π］,而不是選[0，2π].圖5引導(dǎo)學(xué)生列出下表:x—π…-…0……πcosx—1↗0↗1↘0↘-1結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性可知:正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間［—+2kπ，+2kπ］（k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從—1增大到1;在每一個閉區(qū)間[+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都是減函數(shù),其值從1減小到-1。余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間［(2k-1)π,2kπ］(k∈Z）上都是增函數(shù)，其值從—1增加到1;在每一個閉區(qū)間［2kπ，（2k+1）π］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到-1.對問題⑤，學(xué)生能直觀地得出:正弦曲線關(guān)于原點O對稱,余弦曲線關(guān)于y軸對稱.在R上,y=sinx為奇函數(shù),y=cosx為偶函數(shù)。教師要恰時恰點地引導(dǎo),怎樣用學(xué)過的知識方法給予證明?由誘導(dǎo)公式：∵sin(-x)=-sinx，cos(-x）=cosx，∴y=sinx為奇函數(shù),y=cosx為偶函數(shù).至此,一部分學(xué)生已經(jīng)看出來了,在正弦曲線、余弦曲線上還有其他的對稱點和對稱軸，如正弦曲線還關(guān)于直線x=對稱，余弦曲線還關(guān)于點(,0)對稱，等等,這是由它的周期性而來的。教師可就此引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探討,為今后的學(xué)習(xí)打下伏筆。討論結(jié)果:①略。②定義域為R。③值域為［-1,1］，最大值都是1,最小值都是-1。④單調(diào)性(略）.⑤奇偶性（略)。當(dāng)我們仔細(xì)對比正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)后，會發(fā)現(xiàn)它們有很多共同之處.我們不妨把兩個圖象中的直角坐標(biāo)系都去掉,會發(fā)現(xiàn)它們其實都是同樣形狀的曲線，所以它們的定義域相同，都為R，值域也相同，都是［-1,1］，最大值都是1，最小值都是-1，只不過由于y軸放置的位置不同，使取得最大（或最?。┲档臅r刻不同;它們的周期相同，最小正周期都是2π；它們的圖象都是軸對稱圖形和中心對稱圖形，且都是以圖象上函數(shù)值為零所對應(yīng)的點為對稱中心，以過最值點且垂直于x軸的直線為對稱軸.但是由于y軸的位置不同，對稱中心及對稱軸與x軸交點的橫坐標(biāo)也不同。它們都不具備單調(diào)性,但都有單調(diào)區(qū)間，且都是增、減區(qū)間間隔出現(xiàn)，也是由于y軸的位置改變，使增減區(qū)間的位置有所不同，也使奇偶性發(fā)生了改變。應(yīng)用示例思路1例1數(shù)有最大值、最小值嗎?如果有，請寫出取最大值、最小值時的自變量x的集合，并說出最大值、最小值分別是什么.(1）y=cosx+1，x∈R;（2）y=—3sin2x,x∈R?；顒樱和ㄟ^這道例題直接鞏固所學(xué)的正弦、余弦的性質(zhì).容易知道，這兩個函數(shù)都有最大值、最小值.課堂上可放手讓學(xué)生自己去探究，教師適時的指導(dǎo)、點撥、糾錯,并體會對應(yīng)取得最大(?。┲档淖宰兞繛槭裁磿袩o窮多個.解：(1)使函數(shù)y=cosx+1,x∈R取得最大值的x的集合,就是使函數(shù)y=cosx，x∈R取得最大值的x的集合｛x|x=2kπ，k∈Z};使函數(shù)y=cosx+1,x∈R取得最小值的x的集合,就是使函數(shù)y=cosx,x∈R取得最小值的x的集合｛x|x=（2k+1）π，k∈Z}.函數(shù)y=cosx+1，x∈R的最大值是1+1=2，最小值是—1+1=0。（2）令Z=2x,使函數(shù)y=—3sinZ，Z∈R取得最大值的Z的集合是｛Z｜Z=-+2kπ,k∈Z},由2x=Z=-+2kπ，得x=—+kπ.因此使函數(shù)y=—3sin2x,x∈R取得最大值的x的集合是{x|x=-+kπ，k∈Z}。同理,使函數(shù)y=-3sin2x,x∈R取得最小值的x的集合是｛x|x=+kπ，k∈Z}。函數(shù)y=—3sin2x，x∈R的最大值是3，最小值是-3。點評:以前我們求過最值,本例也是求最值,但對應(yīng)的自變量x的值卻不唯一,這從正弦函數(shù)的周期性容易得到解釋。求解本例的基本依據(jù)是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大(?。┲档男再|(zhì)，對于形如y=Asin（ωx+φ)+B的函數(shù)，一般通過變量代換（如設(shè)Z=ωx+φ化歸為y=AsinZ+B的形式）,然后進(jìn)行求解.這種思想對于利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的其他性質(zhì)解決問題時也適用.例2函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大?。海?)sin（-）與sin（-）;（2）cos(）與cos（）?；顒?學(xué)生很容易回憶起利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行大小比較,充分利用學(xué)生的知識遷移，有利于學(xué)生能力的快速提高。本例的兩組都是正弦或余弦，只需將角化為同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后根據(jù)單調(diào)性比較大小即可.課堂上教師要讓學(xué)生自己獨立地去操作,教師適時地點撥、糾錯，對思考方法不對的學(xué)生給予幫助指導(dǎo).解:(1）因為〈〈〈0,正弦函數(shù)y=sinx在區(qū)間[,0]上是增函數(shù),所以sin（)〉sin（）.（2)cos（)=cos=cos，cos（）=cos=cos。因為0<<<π，且函數(shù)y=cosx,x∈[0，π］是減函數(shù)，所以cos〉cos，即cos（)<cos(）。點評:推進(jìn)本例時應(yīng)提醒學(xué)生注意，在今后遇到的三角函數(shù)值大小比較時,必須將已知角化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi),其次要注意首先大致地判斷一下有沒有符號不同的情況，以便快速解題，如本例中,cos〉0,cos〈0，顯然大小立判。例3函數(shù)y=sin(x+),x∈［—2π，2π］的單調(diào)遞增區(qū)間?；顒樱嚎梢岳谜液瘮?shù)的單調(diào)性來求所給函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.教師要引導(dǎo)學(xué)生的思考方向：把x+看成Z，這樣問題就轉(zhuǎn)化為求y=sinZ的單調(diào)區(qū)間問題,而這就簡單多了。解:令Z=x+。函數(shù)y=sinZ的單調(diào)遞增區(qū)間是［+2kπ，+2kπ]。由—+2kπ≤x+≤+2kπ，得+4kπ≤x≤+4kπ，k∈Z。由x∈[—2π,2π］可知，—2π≤+4kπ且+4kπ≤2π，于是≤k≤，由于k∈Z，所以k=0,即≤x≤，而［，］［—2π,2π］,因此,函數(shù)y=sin（+),x∈[-2π，2π］的單調(diào)遞增區(qū)間是［，］。點評:本例的求解是轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用,即利用正弦函數(shù)的單調(diào)性,將問題轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于x的不等式問題。然后通過解不等式得到所求的單調(diào)區(qū)間，要讓學(xué)生熟悉并靈活運用這一數(shù)學(xué)思想方法，善于將復(fù)雜的問題簡單化.思路2例1求下列函數(shù)的定義域：(1)y=;(2)y=.活動：學(xué)生思考操作，教師提醒學(xué)生充分利用函數(shù)圖象，根據(jù)實際情況進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)點撥，糾正出現(xiàn)的一些錯誤或書寫不規(guī)范等.解：（1)由1+sinx≠0,得sinx≠-1,即x≠+2kπ(k∈Z).∴原函數(shù)的定義域為｛x｜x≠+2kπ,k∈Z｝.(2)由cosx≥0，得+2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z）.∴原函數(shù)的定義域為［+2kπ,+2kπ］(k∈Z).點評:本例實際上是解三角不等式，可根據(jù)正弦曲線、余弦曲線直接寫出結(jié)果。本例分作兩步，第一步轉(zhuǎn)化,第二步利用三角函數(shù)曲線寫出解集.例2在下列區(qū)間中,函數(shù)y=sin（x+）的單調(diào)增區(qū)間是（）A。［,π]B.［0,］C.［-π,0］D。［,]活動:函數(shù)y=sin(x+）是一個復(fù)合函數(shù),即y=sin［φ（x)］,φ(x）=x+,欲求y=sin(x+）的單調(diào)增區(qū)間，因φ(x）=x+在實數(shù)集上恒遞增,故應(yīng)求使y隨φ（x)遞增而遞增的區(qū)間.也可從轉(zhuǎn)化與化歸思想的角度考慮,即把x+看成一個整體,其道理是一樣的。解:∵φ（x)=x+在實數(shù)集上恒遞增，又y=sinx在［2kπ—，2kπ+］（k∈Z)上是遞增的,故令2kπ—≤x+≤2kπ+?！?kπ—≤x≤2kπ+?！鄖=sin（x+)的遞增區(qū)間是[2kπ—,2kπ+]。取k=—1、0、1分別得［,]、[，]、［,],對照選擇肢,可知應(yīng)選B.答案:B點評:像這類題型,上述解法屬常規(guī)解法，而運用y=Asin（ωx+φ）的單調(diào)增區(qū)間的一般結(jié)論，由一般到特殊求解，既快又準(zhǔn)確,若本題運用對稱軸方程求單調(diào)區(qū)間,則是一種頗具新意的簡明而又準(zhǔn)確、可靠的方法。當(dāng)然作為選擇題還可利用特殊值、圖象變換等手段更快地解出。解題規(guī)律：求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般思路是:（1)求定義域；(2)確定復(fù)合過程，y=f（t)，t=φ（x）;(3）根據(jù)函數(shù)f(t)的單調(diào)性確定φ(x)的單調(diào)性；(4）寫出滿足φ(x）的單調(diào)性的含有x的式子,并求出x的范圍;(5)得到x的范圍，與其定義域求交集,即是原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。結(jié)論:對于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,可以直接根據(jù)構(gòu)成函數(shù)的單調(diào)性來判斷。變式訓(xùn)練1.如果函數(shù)f（x）=sin(πx+θ）(0<θ〈2π）的最小正周期是T，且當(dāng)x=2時取得最大值，那么（)A.T=2,θ=B。T=1，θ=πC。T=2，θ=πD.T=1，θ=解：T==2,又當(dāng)x=2時，sin(π·2+θ)=sin（2π+θ）=sinθ,要使上式取得最大值,可取θ=。答案:A2.求函數(shù)y=sin(—）的單調(diào)遞減區(qū)間及單調(diào)遞增區(qū)間.解:y=sin（—）=-sin(—).由2kπ—≤-≤2kπ+，可得3kπ≤x≤3kπ+(k∈Z）,為單調(diào)減區(qū)間;由2kπ+≤—≤2kπ+,可得3kπ+≤x≤3kπ+（k∈Z),為單調(diào)增區(qū)間.所以原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為［3kπ，3kπ+]（k∈Z）；原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為［3kπ+，3kπ+](k∈Z).知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)解答：1.（1）（2kπ,（2k+1)π)，k∈Z;(2)((2k-1)π,2kπ),k∈Z;（3）（—+2kπ，+2kπ）,k∈Z;（4)(+2kπ,+2kπ）,k∈Z。點評：只需根據(jù)正弦曲線、余弦曲線寫出結(jié)果，不要求解三角不等式，要注意結(jié)果的規(guī)范及體會數(shù)形結(jié)合思想方法的靈活運用。2。（1)不成立.因為余弦函數(shù)的最大值是1,而cosx=〉1.(2）成立。因為sin2x=0。5,即sinx=±,而正弦函數(shù)的值域是［-1，1］，±∈［-1，1]。點評：比較是學(xué)習(xí)的關(guān)鍵,反例能加深概念的深刻理解。通過本題準(zhǔn)確理解正弦、余弦函數(shù)的最大值、最小值性質(zhì).3。（1）當(dāng)x∈｛x｜x=+2kπ,