第15講相似、投影與視圖易錯點梳理易錯點梳理易錯點梳理易錯點01混淆相似三角形的判定定理與全等三角形的判定定理相似三角形的常用判定方法有：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；三邊對應成比例，兩三角形相似；兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似；兩角對應相等，兩三角形相似.全等三角形的常用判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS這4種。易錯點02混淆位似和相似位似是一種特殊的相似，位似圖形一定相似（或全等），但相似圖形不一定位似易錯點03錯誤認為相似三角形的面積比等于相似比錯誤認為相似三角形的面積比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方。易錯點04混淆平行投影與正投影的概念由平行的光線所形成的投影是平行投影.在平行投影中，如果投射線垂直于投影面，那么這種投影叫作正投影，正投影屬于平行投影的一種。易錯點05顛倒了視圖的觀察方向一個物體在3個相互垂直的投影面內進行正投影，在正面內得到的由前向后觀察物體的視圖是主視圖，在水平面內得到的由上向下觀察物體的視圖是俯視圖，在側面內得到的由左向右觀察物體的視圖是左視。圖.例題分析例題分析考向01相似三角形的性質例題1：（2021·陜西興平·九年級期中）如圖，在正方形SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的延長線上，且SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，并分別與邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，下列結論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0S四邊形OECF，其中正確結論的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】解：∵四邊形SKIPIF1<0是正方形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在△DAP與SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴△DAP≌△ABQ，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則結論①正確；∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴△DAO∽△APO，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；則結論②錯誤；在SKIPIF1<0與△BPE中，SKIPIF1<0，∴△CQF≌△BPE，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在△ADF與△DCE中，SKIPIF1<0，∴△ADF≌△DCE，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則結論③正確；綜上，正確結論的個數是2個，故選：C．例題2：（2021·河南·平頂山市第九中學九年級期中）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，BC＝10，點E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處；點G在AF上，將ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，有下列結論：①∠EBG＝45°；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④AG+DF＝FG．其中正確的是（）（把所有正確結論的序號都選上）A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④【答案】D【解析】解：∵△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處；點G在AF上，

將△ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，

∴∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，BF＝BC＝10，BH＝BA＝6，AG＝GH，

∴∠EBG＝∠EBF＋∠FBG＝SKIPIF1<0∠CBF＋SKIPIF1<0∠ABF＝SKIPIF1<0∠ABC＝45°，所以①正確；

在Rt△ABF中，AF＝SKIPIF1<0，

∴DF＝AD?AF＝10?8＝2，

設AG＝x，則GH＝x，GF＝8?x，HF＝BF?BH＝10?6＝4，

在Rt△GFH中，

∵GH2＋HF2＝GF2，

∴x2＋42＝（8?x）2，

解得x＝3，

∴GF＝5，

∴AG＋DF＝FG＝5，所以④正確；

∵△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處

∴∠BFE＝∠C＝90°，

∴∠EFD＋∠AFB＝90°，

而∠AFB＋∠ABF＝90°，

∴∠ABF＝∠EFD，

∴△ABF∽△DFE，

∴SKIPIF1<0，

∴SKIPIF1<0，

而SKIPIF1<0，

∴SKIPIF1<0，

∴△DEF與△ABG不相似；所以②錯誤．

∵S△ABG＝SKIPIF1<0×6×3＝9，S△GHF＝SKIPIF1<0×3×4＝6，

∴S△ABG＝SKIPIF1<0S△FGH．所以③正確．

∴正確的結論有：①③④，故選：D．考向02相似三角形的判定例題3：如圖，每個小方格的邊長都是1，則下列圖中三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：因為△ABC中有一個角是135°，選項中，有135°角的三角形只有C，且滿足兩邊成比例夾角相等，故選：C．例題4：（2021·上海浦東新·九年級期中）如圖，在正方形ABCD中，點E為AD邊上的一個動點（與點A，D不重合），∠EBM＝45°，BE交對角線AC于點F，BM交對角線AC于點G，交CD于點M，下列結論中錯誤的是（）A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFG C．△ABF∽△CBG D．△BDE∽△BCG【答案】C【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠DCA=∠ACB=∠DAC=∠CAB=∠EBM=45°，∴△AEF∽△CBF，故選項A不合題意；∵∠EBM=∠DCASKIPIF1<0，∠MGC=∠BGF，∴△CMG∽△BFG，故選項B不合題意；∵∠CAB=∠ACB=∠FBG=45°，∴∠ABF+∠CBG=45°，∴∠ABF與∠CBG不一定相等，∴△ABF與△CBG不一定相似，故選項C符合題意；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0△BDE∽△BCG，故D不符合題意；故選：C．考向03投影與視圖例題5：（2021·廣東深圳·九年級期末）如圖所示的幾何體，從左面看的圖形是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：從左面看，是一列三個小正方形．故選A．例題6：（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，正方形紙板的一條對角線重直于地面，紙板上方的燈（看作一個點）與這條對角線所確定的平面垂直于紙板，在燈光照射下，正方形紙板在地面上形成的影子的形狀可以是（）

A． B． C． D．【答案】D【解析】因為正方形的對角線互相垂直，且一條對角線垂直地面，光源與對角線組成的平面垂直于地面，則有影子的對角線仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，則上方的邊長影子會更長一些，故選D一、單選題1．（2021·陜西武功·九年級期中）如圖，直線SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0與SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別交于點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】解：∵l1∥l2∥l3，

∴AB：BC=DE：EF，

∵AB：BC=2：3，EF=9，

∴2：3=DE：EF，∴DE=6．

故選：C．2．（2021·河南封丘·九年級期中）下列圖形一定相似的是（）A．兩個平行四邊形 B．兩個矩形C．兩個正方形 D．兩個等腰三角形【答案】C【解析】解：A、兩個平行四邊形邊不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本選項錯誤；B、兩個矩形四個角相等，但是各邊不一定對應成比例，所以不一定相似，故本選項錯誤；C、兩個正方形，形狀相同，大小不一定相同，符合相似的定義，故本選項正確；D、兩個等腰三角形的邊不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本選項錯誤．故選C．3．（2021·上海市市西初級中學九年級期中）將兩個完全相同的等腰直角三角形△ABC與△AFG擺成如圖的樣子，兩個三角形的重疊部分為△ADE，那么圖中一定相似的三角形是（）A．△ABC與△ADE B．△ABD與△AEC C．△ABE與△ACD D．△AEC與△ADC【答案】C【解析】A.△ABC是直角三角形，△ADE不是直角三角形，故不能判斷△ABC與△ADE相似；B.只有SKIPIF1<0，不能判斷B選項中△ABD與△AEC相似；D.只有SKIPIF1<0，不能判斷D選項中△AEC與△ADC相似；C.SKIPIF1<0是等腰直角三角形，則SKIPIF1<0設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故選C．4．（2021·福建周寧·九年級期中）如圖，點P是△ABC的邊AC上一點，連結BP，以下條件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（）A．SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0 C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC【答案】B【解析】解：A、∵∠A=∠A，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0∴△ABP∽△ACB，故本選項不符合題意；B、根據SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0和∠A=∠A不能判斷△ABP∽△ACB，故本選項符合題意；C、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，∴△ABP∽△ACB，故本選項不符合題意；D、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，∴△ABP∽△ACB，故本選項不符合題意；故選：B．5．（2021·河南·鄭州市第二初級中學九年級期中）如圖，?OABC的頂點O（0，0），A（1，2），點C在x軸的正半軸上，延長BA交y軸于點D，將△ODA繞點O順時針旋轉得到△OD'A'，當點D的對應點D'落在OA上時，D'A'的延長線恰好經過點C，則點C的坐標為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】解：延長A′D′交y軸于點E，延長D′A′，由題意D′A′的延長線經過點C，如圖，∵A（1，2），∴AD=1，OD=2，∴SKIPIF1<0．由題意：△OA′D′≌△OAD，∴A′D′=AD=1，OA′=OA=SKIPIF1<0，OD′=OD=2，∠A′D′O=∠ADO=90°，∠A′OD′=∠DOD′．則OD′⊥A′E，OA平分∠A′OE，∴△A′OE為等腰三角形．∴OE=OA′=SKIPIF1<0，ED′=A′D′=1．∵EO⊥OC，OD′⊥EC，∴△OED′∽△CEO．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴OC=2SKIPIF1<0．∴C（2SKIPIF1<0，0）．故選：B．6．（2021·安徽·阜陽實驗中學九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．AB＝BC．點D是線段AB上的一點，連接CD．過點B作BG⊥CD，分別交CD、CA于點E、F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連接DF，給出以下四個結論：①SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0；②若點D是AB的中點，則AF＝SKIPIF1<0AB；③當B、C、F、D四點在同一個圓上時，DF＝DB；④若SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，其中正確的結論的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】解：依題意可得BC∥AG，∴△AFG∽△CFB，∴SKIPIF1<0，又AB＝BC，∴SKIPIF1<0．故結論①正確；如圖，∵∠1+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，∴∠3＝∠4．在△ABG與△BCD中，SKIPIF1<0，∴△ABG≌△BCD（ASA），∴AG＝BD，又∵BD＝AD，∴AG＝AD；∵△ABC為等腰直角三角形，∴AC＝SKIPIF1<0AB；∴AG＝AD＝SKIPIF1<0AB＝SKIPIF1<0BC；∵△AFG∽△BFC，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴FC＝2AF，∴AF＝SKIPIF1<0AC＝SKIPIF1<0AB．故結論②正確；當B、C、F、D四點在同一個圓上時，∵∠ABC＝90°，∴CD是B、C、F、D四點所在圓的直徑，∵BG⊥CD，∴，∴DF＝DB，故③正確；∵SKIPIF1<0，AG＝BD，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴AF＝SKIPIF1<0AC，∴S△ABF＝SKIPIF1<0S△ABC；∴S△BDF＝SKIPIF1<0S△ABF，∴S△BDF＝SKIPIF1<0S△ABC，即S△ABC＝12S△BDF．故結論④錯誤．故選：C．7．如圖所示，王華晚上由路燈A下的B處走到C處時，測得影子CD的長為1米，繼續(xù)往前走3米到達E處時，測得影子EF的長為2米，已知王華的身高是1.5米，那么路燈A的高度AB等于（）A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米【答案】B【解析】解：如圖所示，GC⊥BC，AB⊥BC，∵SKIPIF1<0，

當王華在CG處時，Rt△DCG∽Rt△DBA，即SKIPIF1<0，

當王華在EH處時，Rt△FEH∽Rt△FBA，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，

∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，

設AB＝x，BC＝y(tǒng)，

∴SKIPIF1<0，

解得y＝3，

則SKIPIF1<0，

解得，x＝6米．

即路燈A的高度AB＝6米．

故選：B．8．（2021·甘肅蘭州·中考真題）如圖，小明探究課本“綜合與實踐”板塊“制作視力表”的相關內容：當測試距離為SKIPIF1<0時，標準視力表中最大的“”字高度為SKIPIF1<0，當測試距離為SKIPIF1<0時，最大的“”字高度為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】根據題意，得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故選：C．9．（2021·山東·濟南市濟陽區(qū)實驗中學九年級期中）如圖，四邊形ABCD和A′B′C′D′是以點O為位似中心的位似圖形，若OA：OA′SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，則四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′的面積比為（）A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．5：5【答案】B【解析】解：∵四邊形ABCD和A′B′C′D′是以點O為位似中心的位似圖形，OA：OA′=SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，

∴DA：D′A′=OA：OA′=SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，

∴四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′的面積比為：SKIPIF1<0：SKIPIF1<0=2：5，

故選：B．10．下列命題：①兩個正方形是位似圖形；②兩個等邊三角形是位似圖形；③兩個同心圓是位似圖形；④平行于三角形一邊的直線截這個三角形的兩邊，所得的三角形與原三角形是位似圖形，其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】①兩個正方形是相似圖形，但對應點的連線不一定交于一點，故不一定是位似圖形，②兩個等邊三角形是相似圖形，但對應點的連線不一定交于一點，故不一定是位似圖形，③兩個同心圓符合位似圖形的定義，是位似圖形，④平行于三角形一邊的直線截這個三角形的兩邊，所得的三角形與原三角形是位似圖形，∴正確的有③④，共2個，故選：B．11．（2021·江蘇淮安·中考真題）如圖所示的幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：從上面看該幾何體，所看到的圖形如下：故選：A．12．（2021·福建·中考真題）如圖所示的六角螺栓，其俯視圖是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】從上面看是一個正六邊形，中間是一個圓，故選：A．二、填空題13．（2021·上海市奉賢區(qū)古華中學九年級期中）在△ABC中，點D在邊AC上，且AD：DC＝1：2，E為BD中點，延長AE交BC于點F，則BF：FC的值是___．【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<014．陽光下，同學們整齊地站在操場上做課間操，小勇和小寧站在同一列，小勇的影子正好落到后面一個同學身上，而小寧的影子卻沒有落到后面一個同學身上，據此判斷他們的隊列方向是______（填“背向太陽”或“面向太陽”），小寧比小勇_______（填“高”、“矮”、或“一樣高”）．【答案】面向太陽矮【解析】∵小勇的影子正好落到后面一個同學身上，∴他們的隊列方向是面向太陽，∵小寧的影子卻沒有落到后面一個同學身上，∴小勇的影子比小寧的影子長，∴小寧比小勇矮．故答案為：面向太陽，矮15．如圖，在△ABC中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，以點SKIPIF1<0為位似中心，作△ABC的位似圖形△DEF．若點A的對應點SKIPIF1<0是△ABC的重心，則△ABC與△DEF的位似比為______．【答案】SKIPIF1<0【解析】∵點SKIPIF1<0是△ABC的重心，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，以點SKIPIF1<0為位似中心，作△ABC的位似圖形△DEF∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0．16．（2021·遼寧千山·九年級期中）如圖，已知等邊三角形SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0順時針旋轉SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0和線段SKIPIF1<0上的動點，若SKIPIF1<0，則下列結論：①四邊形SKIPIF1<0為菱形；②△ABE≌△CBF；③△BEF為等邊三角形；④SKIPIF1<0；⑤若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．正確的有（填序號）________．【答案】①②③④【解析】解：由等邊三角形和旋轉的性質可知AB=AC=BD=CD，即四邊形ABDC為菱形，故①正確；∵在△ABE和△CBF中，SKIPIF1<0，∴△ABE?△CBF(SAS)，故②正確；∵△ABE?△CBF，∴BE=BF，∠ABE=∠CBF，∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°，∴∠CBF+∠EBC=60°，即∠EBF=60°，∴△BEF為等邊三角形，故③正確；∵∠CFB=∠CFG+∠BFG，∠CGE=∠CFG+∠FCG，又∵∠FCG=60°，∠BFG=60°，∴∠CFB=∠CGE，故④正確；∵AE=CF=1，∴BC=AC=AE+CE=4，∵∠CFB=∠CGE，∠ECG=∠BCF=60°，∴△CFB～△CGE，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0∴CG=SKIPIF1<0，∴BG=BC?CG=4?SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故⑤錯誤．綜上，①②③④正確．故答案為①②③④．三、解答題17．（2021·上海市奉賢區(qū)實驗中學九年級期中）已知：線段a、b、c，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的值；（2）如線段a、b、c滿足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）0【解析】解：（1）由SKIPIF1<0設SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（2）把SKIPIF1<0代入3a﹣4b+5c＝54得SKIPIF1<0整理得，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<018．（2021·河南原陽·九年級期中）如圖，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）若AE＝4，EC＝2，BC＝10，求BF和CF長．【答案】（1）見解析；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【解析】（1）證明：∵DF∥AC，∴SKIPIF1<0，∵DE∥BC，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：設SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，且AE＝4，EC＝2，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．19．（2021·廣東南?！ぞ拍昙壠谥校┤鐖D，已知O是坐標原點，AB兩點的坐標分別為（3，﹣1），（2，1）．（1）以點O為位似中心，在y軸的左側將△OAB放大2倍；（2）分別寫出A，B兩點的對應點A′，B′的坐標．【答案】（1）見詳解；（2）A′（-6,2），B′（-4，-2）.【解析】解：(1)如圖，△OB?A?為所作；

(2)∵SKIPIF1<0∴A，B兩點的對應點A′，B′的坐標為A′（-6,2），B′（-4，-2）.20．（2021·山東長清·九年級期中）如圖，在路燈下，小明的身高如圖中線段AB所示，他在地面上的影子如圖中線段AC所示．（1）請你通過畫圖確定燈泡所在的位置．（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子長AC＝1.4m，且他到路燈的距離AD＝2.1m，求燈泡的高．【答案】（1）見解析；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）解：如圖，點O為燈泡所在的位置，線段FH為小亮在燈光下形成的影子；（2）解：由已知可得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴OD＝4m．∴燈泡的高為4m．21．（2021·陜西興平·九年級期中）如圖，在銳角△OAB中，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】（1）見解析；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）證明：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）解：由（1）得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0