章習(xí)題課（一）

一、二重積分基本概念二、直角坐標(biāo)下計(jì)算二重積分三、極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分二重積分概念與計(jì)算2021/5/91內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為二次積分的方法直角坐標(biāo)系情形

:

若積分區(qū)域?yàn)閄型則

若積分區(qū)域?yàn)閅型則2021/5/92則﹡(2)一般換元公式且則極坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域?yàn)樵谧儞Q下2021/5/93(3)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)?

畫出積分域?選擇坐標(biāo)系?確定積分序?寫出積分限?計(jì)算要簡(jiǎn)便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積分好算為妙圖示法不等式(先找兩端點(diǎn)，后積一條線

)充分利用對(duì)稱性應(yīng)用換元公式2021/5/94

設(shè)函數(shù)(上下對(duì)稱)

D位于

x軸上方的部分為D1,當(dāng)區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱（左右對(duì)稱）,函數(shù)（看x)關(guān)于在

D上在閉區(qū)域D上連續(xù),區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱則（變量看y)則變量

x有奇偶性時(shí),仍有類似結(jié)果.二重積分的對(duì)稱性2021/5/95在第一象限部分,則有二重積分的對(duì)稱性特別重要！如，D1為2021/5/96典型例題例1.設(shè)且則分析:交換積分順序后,x,y互換

等于（）2021/5/97例2

．設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，，則等于（）.

B.

C.

D.0

A.分析：.交換積分次序，變成定積分積分上限函數(shù)選B.BO.

x.

y.

t.1.

y=x.1.2021/5/98例3.設(shè)是由曲線和圍成的平面區(qū)域，則A.等于0B.符號(hào)與有關(guān)，與C.符號(hào)與有關(guān)，與無(wú)關(guān)

D.

符號(hào)與、都有關(guān).（）無(wú)關(guān)分析：.如圖：.

x.

y.

o.由積分區(qū)域的對(duì)稱性選C.C2021/5/99例4.設(shè)連續(xù),且是由圍成,則（）A.B.C.D.分析：.注意到二重積分是數(shù)，故設(shè).則.

o.

u.

v.選C.C

.2021/5/910例5.

計(jì)算其中D由所圍成.解:

令(如圖所示)顯然,在上在上(-1,0)(1,0)2021/5/911例6則分析:如圖,由對(duì)稱性知在上是關(guān)于y的奇函數(shù)在上是關(guān)于

x

的偶函數(shù)A2021/5/912，其中為圓周

所圍成的閉區(qū)域。.例7解：如圖由積分區(qū)域的對(duì)稱性，有2021/5/913例8.計(jì)算其中是由及所圍成的區(qū)域，是上的連續(xù)函數(shù).解：如圖做輔助線將區(qū)域分成兩部分D1，D2，D1D22021/5/914例9.計(jì)算其中D是直線

所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,因此取D為X-

型域

:先對(duì)

x

積分不行,2021/5/915例10.交換積分順序解:

積分域如圖2021/5/916解：原式例11.

給定改變積分的次序.2021/5/917,其中例12.計(jì)算解：如圖為去掉絕對(duì)值，做輔助線將區(qū)域分成兩部分D1，D2，D1D2由積分區(qū)域的對(duì)稱性，有2021/5/918例13.解:2021/5/919.例14.計(jì)算解：如圖124（2,2）（1,1）2021/5/920例15.設(shè)區(qū)域是中心在原點(diǎn)，半徑為的圓盤，求解：如圖由積分中值定理，存在使于是=12021/5/921或者由洛必達(dá)法則=12021/5/922例16.設(shè)二元函數(shù)解：當(dāng)時(shí)，計(jì)算其中

由對(duì)稱性當(dāng)時(shí)，于是2021/5/923，其中為圓周

所圍成的閉區(qū)域。.例17.解：如圖由積分區(qū)域的對(duì)稱性，有2021/5/924例18.設(shè)f(x)是在[0,1]上連續(xù)，單調(diào)減少的正值函數(shù)，證明:證明:∵x∈[0,1]且f(x)>0,∴上述四個(gè)積分都大于零令變成二重積分交換變量符號(hào)2021/5/925于是，將上兩式相加，得因f(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)當(dāng)于是總有從而有2021/5/926例19.設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，證明:證明:因?yàn)镈關(guān)于x=y對(duì)稱，所以設(shè)所以(交換變量符號(hào))2021/5/927例20.設(shè)為可微函數(shù)且證明：證明：2021/