與折疊有關(guān)的探究題【典例1】已知在4ABC中，AC=BC=m,D是AB邊上的一點(diǎn)，將NB沿著過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)B落在AC邊的點(diǎn)P處(不與點(diǎn)A,C重合)，折痕交BC邊于點(diǎn)E.(1)特例感知如圖1,若NC=60°,D是AB的中點(diǎn)，求證：AP=：AC；(2)變式求異如圖2,若NC=90°,m=6%，2,AD=7,過點(diǎn)D作DH^AC于點(diǎn)H,求DH和AP的長;(3)化歸探究如圖3,若m=10,AB=12,且當(dāng)慶0=&時(shí)，存在兩次不同的折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上兩個(gè)不同的位置，請直接寫出a的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2)型,4%五或3/2；(3)6Wa<202 3【解析】【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),運(yùn)用等邊三角形內(nèi)角都為60°以及三邊相等進(jìn)行求解．(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì),運(yùn)用對應(yīng)邊成比例以及勾股定理進(jìn)行求解．(3)根據(jù)三角函數(shù)以及三線合一性質(zhì),運(yùn)用勾股定理以及比例關(guān)系進(jìn)行求解．【詳解】(1)證明：???AC=BC,NC=60°,??.△ABC是等邊三角形，.\AC=AB,ZA=60°,由題意，得DB=DP,DA=DB,.?.DA=DP,二△ADP使得等邊三角形，.*.AP=AD=-AB=-AC.2 2(2)解：??■=3，=671,ZC=90°,AB=《AC2+BC2=7(672)2+(672)2=12,VDHXAC,AADHooAABC,.DHAD**BC=AB，VAD=7,DH7672=12?DH=,2將NB沿過點(diǎn)D的直線折疊，情形一：當(dāng)點(diǎn)B落在線段CH上的點(diǎn)彳處時(shí)，如圖2-1中,圖2-1VAB=12,.*.DP=DB=AB-AD=5,~=a/2

,2.,.A=AH+HP=472,情形二：當(dāng)點(diǎn)B落在線段AH上的點(diǎn)P2處時(shí)，如圖2-2中,同法可證HP2=言,.\AP2=AH-HP2=372,綜上所述，滿足條件的AP的值為4<2或3、.'2(3)如圖3中，過點(diǎn)C作CHLAB于H,過點(diǎn)D作DPLAC于P.CVCA=CB,CH±AB,.?.AH=HB=6,，CH=ACC2一AH2=\：102-62=8,當(dāng)DB=DP時(shí)，設(shè)BD=PD=x,CHPD?「tanA=8貝UAD=12-x,AC=ADx.10=12-x,.?.AD=AB-BD=20觀察圖形可知當(dāng)6Wa<20時(shí),存在兩次不同的折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上兩個(gè)不同的位置.【典例2】實(shí)踐操作：第一步：如圖1,將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在CD上的點(diǎn)A'處，得到折痕DE，然后把紙片展平.第二步：如圖2,將圖1中的矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)C恰好落在AD上的點(diǎn)C'處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，得到折痕EF,B。交AB于點(diǎn)M,CF交DE于點(diǎn)N,再把紙片展平.填空：四邊形AEA'D的形狀是（1）如圖1,；（2）如圖2,線段mc'與ME是否相等？若相等，請給出證明；若不等，請說明理由;（3）如圖2，若ACf=2cm,DC'=4cm，求DN:EN的值.2【答案】（1）正方形；（2）MC=ME，見解析；（3）【解析】【分析】（1）有一組鄰邊相等且一個(gè)角為直角的平行四邊形是正方形；（2）連接EC',由（1）問的結(jié)論可知，AD=BC,/EAC'=/B=90。，又因?yàn)榫匦渭埰珹BCD沿過點(diǎn)E的直線折疊，可知折疊前后對應(yīng)角以及對應(yīng)邊相等，有ZB'=ZBB'C=BC,AE=BCZEACf=ZB'=90。，可以證明RtECA和RtCEB'全等，得到ZCEA=ZECB'，從而有MC=ME（3）由RtECA義RtCEB'，有ACf=B'E；由折疊知，AC'=BE，可以計(jì)算出AB=8（cm）；用勾股定理計(jì)算出DF的長度，再證明DNFsENG得出等量關(guān)系，從而△△得至1」DN:EN的值.【詳解】AA（1）解：???ABCD是平行四邊形,???AD//BC//EA'，AE//DA^??四邊形AEAD是平行四邊形?,矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在CD上的點(diǎn)4處JAED咨AED??AE=AE^A=90a??四邊形AIAfD的形狀是正方形故最后答案為：四邊形型'。的形狀是正方形；MC=ME理由如下：如圖，連接EC',由(1)知：AD=AE???四邊形ABCD是矩形，AD=BC,ZEACf=ZB=90°由折疊知：BfC=BC,ZBf=ZB：.AE=BfC,ZEACf=ZBf=90°又EC=CE,：.RtECA^RtCEBr：.ACEA=ZECBf：.MC=ME△-RtECA^RtCEBf,：.AC=BfE由折疊知：BrE=BE,：.AC=BEAC=2(tm),DC^4(cm)J =CD=2+4+2=8(cm)設(shè)DF-xcm，則FC=FC=(8-x)cm在RtDCF中，由勾股定理得：42+x2=（8—x）2解得：x-3，即DF-3（cm）A如圖，延長BA，F(xiàn)C交于點(diǎn)G,則ZACG=ZDCF.??tanZACG-tanZDC'F-AG-DF--3ACfDC43.?.AG--(cm)3 15?.eg=_+6--(cm)2 2:DF//EG,?DNFseng152:.DN:EN-DF:EG-3:=—25△△【點(diǎn)睛】（1）本問主要考查了正方形的定義，即有一組鄰邊相等且一個(gè)角為直角的平行四邊形是正方形，其中明確折疊前后對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵；（2）本問利用了正方形的性質(zhì)以及折疊前后對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等來證明三角形全等，再根據(jù)角相等則邊相等即可做題，其中知道角相等則邊相等的思想是解題的關(guān)鍵；（3）本問考查了全等三角形、相似三角形的性質(zhì)、角相等則正切值相等以及勾股定理的應(yīng)用，其中知道三角形相似則對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．【典例3】如圖，矩形紙片ABCD,將4AMP和^BPa分別沿PM和PQ折疊（AP〉A(chǔ)M）,點(diǎn)A和點(diǎn)B都與點(diǎn)E重合；再將4CQD沿DQ折疊，點(diǎn)C落在線段EQ上的點(diǎn)F處.（1）判斷△AMP,^BPQ,^CQD和4尸口乂中有哪幾對相似三角形?(2)如果AM=1,sinNDMF=3,求AB的長.

5【解析】（1）由矩形的性質(zhì)得NA二NB=NC=90°,由折疊的性質(zhì)和等角的余角相等，可得/BPQ=ZAMP=ZDQC,所以△AMPs^bpQs^cqd；（2）先證明MD二MQ然后根據(jù)sinNDMF=DF=3DFMD=35,設(shè)DF=3x,MD=5x,再分別表示出AP,BP,BQ,根據(jù)△AMPs^BPQ,MD—5列出比例式解方程求解即可.解：（1）4AMPs^BPQs^CQD.??四邊形ABCD是矩形，...NA;NB=NC=90°.由折疊的性質(zhì)可知NAPM=NEPM,NEPQ二NBPQ..??NAPM+NBPQ=NEPM+NEPQ=90°.ZAPM+ZAMP=90°,AZBPQ=ZAMP.AAAMP^ABPQ.同理：△BPQs^CQD.根據(jù)相似的傳遞性可得△AMPs^CQD；（2）VAD#BC,AZDQC=ZMDQ.由折疊的性質(zhì)可知NDQC二NDQM..?.NMDQ:NDQM..MD;MQ.二AM=ME,BQ=EQ,??BQ=MQ-ME=MD-AM.3xVsinZDMF=DF 3,貝U設(shè)DF=3x,MD=5x,則BP=PA二PE=k,BQ=5x-1.二MD5 22「△AMPs^BPQ,...幽絲，即13x,解得x=k（舍去）或x=2,.AB=6.TT=TT = QBPBQ3x2 9萬5x-1【典例4】如圖，矩形ABCD中，AB=6,BC=8,點(diǎn)E是射線CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把^DCE沿DE折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C,.(1)若點(diǎn)C,剛好落在對角線BD上時(shí)，BC’=；(2)若點(diǎn)C,剛好落在線段AB的垂直平分線上時(shí)，求CE的長;(3)若點(diǎn)C,剛好落在線段AD的垂直平分線上時(shí)，求CE的長.【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)點(diǎn)B,C,,D在同一直線上得出BC,二BD-DC，=BD-DC求出即可;(2)利用垂直平分線的性質(zhì)得出CC‘二DC’二DC,則△DC/C是等邊三角形，進(jìn)而利用勾股定理得出答案；(3)利用①當(dāng)點(diǎn)C,在矩形內(nèi)部時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)C,在矩形外部時(shí)，分別求出即可.【答案與解析】解：(1)如圖1,二?點(diǎn)B,C，,D在同一直線上,.,.BCZ=BD-DCZ=BD-DC=10-6=4；故答案為：4；(2)如圖2,連接CC,,??點(diǎn)C，在AB的垂直平分線上，??點(diǎn)C，在DC的垂直平分線上，CCz=DCZ=DC,則△DC，C是等邊三角形,設(shè)CE=x,易得DE=2x,由勾股定理得：(2x)2-X2=62,解得：X=2］：3即CE的長為2-3(3)作AD的垂直平分線，交AD于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)N,分兩種情況討論:①當(dāng)點(diǎn)C’在矩形內(nèi)部時(shí)，如圖3??點(diǎn)C，在AD的垂直平分線上，.*.DM=4,VDCZ=6,由勾股定理得：MCZ=2會，.*.NCZ=6-2-0設(shè)EC=y,則UC'E=y,NE=4-y,故NC/2+NE2;C/E2,即(6-2??月2+(4-y)2=y2,解得：尸9-3?■石即CE=9-3妙；②當(dāng)點(diǎn)C，在矩形外部時(shí)，如圖4??點(diǎn)C，在A