1.傾斜角的定義:當(dāng)直線l與x軸相交時(shí),以x軸為基準(zhǔn),x軸正向與直線l向上的方向之間所成的

角α叫做直線l的傾斜角.當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),它的傾斜角為0°;當(dāng)直線與x軸垂直時(shí),它的傾斜角為90°.2.直線的傾斜角主要根據(jù)定義來求,其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形,找準(zhǔn)傾斜角,有時(shí)要根據(jù)情

況分類討論.注意:直線傾斜角α的取值范圍是0°≤α<180°.2.1直線的傾斜角與斜率1|直線的傾斜角知識(shí)點(diǎn)必備知識(shí)清單破1.若直線l的傾斜角為α,則α=90°時(shí),直線l的斜率不存在;α≠90°時(shí),直線l的斜率k=tanα.2.斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系2|直線的斜率知識(shí)點(diǎn)圖示

傾斜角αα=0°0°<α<90°α=90°90°<α<180°斜率kk=0k>0k不存在k<03.已知直線l經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),若x1=x2,則直線l的斜率不存在;若x1≠x2,則直線l的斜率

k=

.注意:若已知兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)中含有參數(shù),則要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,分類的依據(jù)便是

“兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等”.4.直線的方向向量與斜率的關(guān)系(1)當(dāng)直線的斜率k存在時(shí),直線的一個(gè)方向向量為(1,k);(2)當(dāng)直線的一個(gè)方向向量為(x,y)(x≠0)時(shí),直線的斜率k=

.兩條直線(不重合)平行的判定如下表:3|兩條直線平行的判定知識(shí)點(diǎn)類型斜率存在斜率不存在前提條件α1=α2≠90°α1=α2=90°對(duì)應(yīng)關(guān)系l1∥l2?k1=k2兩直線的斜率都不存在?l1∥l2圖示

注意:若l1,l2重合,則仍有k1=k2或l1,l2的斜率均不存在.兩條直線垂直的判定如下表:4|兩條直線垂直的判定知識(shí)點(diǎn)圖示

對(duì)應(yīng)關(guān)系l1⊥l2(兩直線的斜率都存在)?k1k2=-1l1的斜率不存在,l2的斜率為0?l1⊥l2知識(shí)辨析1.不同直線的傾斜角一定不相同嗎?2.直線的斜率一定隨著傾斜角的增大而增大嗎?3.若兩直線(不重合)平行,則兩直線的傾斜角一定相等嗎?反之呢?4.若兩直線(不重合)的斜率相等,則兩直線平行,正確嗎?反之呢?5.設(shè)直線l1的斜率為k1,直線l2垂直于直線l1,則直線l2的斜率為-

,此結(jié)論正確嗎?一語破的1.不一定.由傾斜角的定義可以知道,任何一條直線都有唯一的傾斜角,但是不同直線的傾斜

角有可能相同,如兩條平行直線的傾斜角是相同的.2.不一定.當(dāng)直線的傾斜角α≠

時(shí),直線l的斜率k=tanα,由正切函數(shù)的圖象可知,當(dāng)α∈

∪

時(shí),k=tanα不單調(diào).3.一定;反之亦成立.4.正確;反之不正確.若兩直線(不重合)的斜率相等,則兩直線的傾斜角必相等,兩直線必定平

行;若兩直線(不重合)平行,則兩直線的斜率相等或均不存在.5.錯(cuò)誤.若兩直線l1,l2的斜率均存在,則結(jié)論正確;若直線l1的斜率k1=0,則兩直線垂直時(shí),直線l2

的斜率不存在.

直線的傾斜角與斜率的關(guān)系(1)當(dāng)直線的傾斜角α滿足0°≤α<90°時(shí),斜率非負(fù),傾斜角越大,斜率越大;(2)當(dāng)直線的傾斜角α滿足90°<α<180°時(shí),斜率為負(fù),傾斜角越大,斜率越大;(3)k=tanα

的圖象如圖所示.

由斜率k的范圍截取函數(shù)圖象,進(jìn)而得到傾斜角α的范圍;反過來,由傾斜角α的范圍截取

函數(shù)圖象,進(jìn)而得到斜率k的范圍.1|傾斜角與斜率的關(guān)系及應(yīng)用定點(diǎn)關(guān)鍵能力定點(diǎn)破已知兩點(diǎn)A(-3,4),B(3,2),過點(diǎn)P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn).(1)求直線l的傾斜角α的取值范圍;(2)求直線l的斜率k的取值范圍.典例思路點(diǎn)撥作出圖形并觀察,可以發(fā)現(xiàn)直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間(包括

直線PB與PA的傾斜角).解析如圖,由題意可知kPA=

=-1,kPB=

=1.

(1)由圖可知,直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間(包括直線PB與PA的傾斜角),又

直線PB的傾斜角是

,直線PA的傾斜角是

,∴直線l的傾斜角α的取值范圍是

≤α≤

.(2)根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系知,直線l的斜率k的取值范圍是k≤-1或k≥1.易錯(cuò)警示本題易錯(cuò)誤地認(rèn)為-1≤k≤1,由

≤α≤

,利用函數(shù)k=tanα(0≤α<π)的圖象(如圖所示)得到k的取值范圍應(yīng)是k≤-1或k≥1.

1.若點(diǎn)A,B,C都在某條斜率存在的直線上,則任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)都可以確定這條直線的斜率,

即kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC);反之若kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC),則直線AB與AC(或AB與BC或

AC與BC)的傾斜角相同,又過同一點(diǎn)A(或B或C),所以點(diǎn)A,B,C在同一條直線上.注意:若點(diǎn)A,B,C中的任意兩點(diǎn)所在直線的傾斜角都為90°,且這兩條直線有公共點(diǎn),則A,

B,C三點(diǎn)共線.2.形如

的范圍(最值)問題,可以利用

的幾何意義(過定點(diǎn)(a,b)與動(dòng)點(diǎn)(x,y)的直線的斜率),借助于圖形,將求范圍(最值)問題轉(zhuǎn)化為求斜率的范圍(最值)問題,從而簡(jiǎn)化運(yùn)算過

程.2|直線斜率的應(yīng)用定點(diǎn)已知實(shí)數(shù)x,y滿足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),試求

的最大值和最小值.典例思路點(diǎn)撥

的幾何意義是過點(diǎn)(-2,-3)和曲線y=x2-2x+2(-1≤x≤1)上任意一點(diǎn)(x,y)的直線的斜率,結(jié)合圖形求出斜率的最大值和最小值即可.解析

的幾何意義是過點(diǎn)(-2,-3)和曲線y=x2-2x+2(-1≤x≤1)上任意一點(diǎn)(x,y)的直線的斜率.對(duì)于y=x2-2x+2,當(dāng)x=-1時(shí),y=5;當(dāng)x=1時(shí),y=1.設(shè)點(diǎn)(-1,5)為B,點(diǎn)(1,1)為A,點(diǎn)(-2,-3)為P,如圖所示.由圖可知,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)P(-2,-3)和B(-1,5)時(shí),斜率最大;當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)P(-2,-3)和A(1,1)時(shí),斜率最小.又kPA=

=

,kPB=

=8,所以

的最大值為8,最小值為

.

1.判斷兩條不重合的直線是否平行的方法(1)利用直線的斜率判斷:

(2)利用直線的方向向量判斷:分別求出兩直線的方向向量,通過判斷兩向量是否共線,得到

兩直線是否平行的結(jié)論.3|兩條直線平行、垂直的判定定點(diǎn)2.判斷兩條直線是否垂直的方法(1)利用直線的斜率判斷:在兩條直線都有斜率的前提下,看它們的斜率之積是否等于-1即

可.特別地,當(dāng)一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為0時(shí),這兩條直線也垂直.(2)利用直線的方向向量判斷:設(shè)直線l1的方向向量為n,直線l2的方向向量為m,則l1⊥l2?n⊥m

?n·m=0.已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四點(diǎn),順次連接A,B,C,D四點(diǎn),試判斷四邊形ABCD的形

狀.典例思路點(diǎn)撥作出圖形,計(jì)算各邊所在直線的斜率,判斷對(duì)邊是否平行、鄰邊是否垂直,進(jìn)而

得出結(jié)論.解析

A,B,C,D四點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的位置如圖所示.

易得kAB=

=

,kCD=

=

,kAD=

=-3,kBC=

=-

.因?yàn)閗AB=kCD,且AB與CD不重合,所以AB∥CD.因?yàn)閗AD≠kBC,所以AD與BC不平行.因?yàn)閗AB·kAD=

×(-3)=-1,所以AB⊥AD.故四邊形ABCD為直角梯形.利用平行、垂直關(guān)系求待定參數(shù)的值或范圍(1)作出示意圖,確定問題中的平行、垂直關(guān)系,利用斜率、方向向量等條件列出相關(guān)方程

(組)并求解.(2)充分分析圖形特征,有多種情況的,要分類依次求解.(3)解題時(shí)要注意考慮斜率不存在的情況.4|兩條直線平行、垂直的應(yīng)用定點(diǎn)(1)已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A

,B

,C

,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為

.

(2)已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),且四邊形ABCD為直角

梯形,求m和n的值.典例思路點(diǎn)撥

(1)思路一:設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo),根據(jù)AB∥CD,AD∥BC,利用斜率相等列方程組求解.思路二:設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo),根據(jù)

=

,利用向量的坐標(biāo)列方程組求解.(2)分析直角頂點(diǎn)的位置,利用兩底邊所在直線平行、直角腰與底邊垂直求解.解析

(1)解法一:設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,n).由題意知,AB∥CD,AD∥BC,且直線AB,CD,AD,BC的

斜率均存在,∴kAB=kCD,kAD=kBC,∴

化簡(jiǎn),得

解得

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為

.解法二:設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,n).由題意知,

=

.易得

=

,

=

,∴

解得

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為

.(2)當(dāng)AB∥CD,AB