學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精三垂線定理練習(xí)課一

教學(xué)目標1．進一步理解、記憶并應(yīng)用三垂線定理及其逆定理;2．理解公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的證明及其初步應(yīng)用；（課本第122頁第3題)3．理解正方體的體對角線與其異面的面對角線互相垂直及其應(yīng)用;4．了解課本第33頁第11題．教學(xué)重點和難點教學(xué)的重點是進一步掌握三垂線定理及其逆定理并應(yīng)用它們來解有關(guān)的題．教學(xué)的難點是在講公式cosθ1·cosθ2＝cosθ應(yīng)用時比較θ2與θ的大?。虒W(xué)設(shè)計過程師：上一節(jié)課我們講了三垂線定理及其逆定理的證明并初步應(yīng)用了這兩個定理來解一些有關(guān)的題．今天我們要進一步應(yīng)用這兩個定理來解一些有關(guān)的題，先看例1．例1

如圖1，AB和平面α所成的角是θ1；AC在平面α內(nèi)，BB′⊥平面α于B′，AC和AB的射影AB′成角θ2，設(shè)∠BAC＝θ．求證:cosθ1·cosθ2＝cosθ．師：這是要證明三個角θ1,θ2和θ的余弦的關(guān)系，θ1已經(jīng)在直角△ABB′中，我們能否先作出兩個直角三角形分別使θ2和θ是這兩個直角三角形中的銳角．生：作B′D⊥AC于D，連BD,則BD⊥AC于D．這時θ2是直角△B′DA中的一個銳角，θ是直角△ABD中的一個銳角．師：剛才的表述是應(yīng)用三垂線定理及其逆定理時常常使用的“套話”，我們一定要很好理解并能熟練地應(yīng)用．現(xiàn)在已經(jīng)知道θ1、θ2和θ分別在三個直角三角形中，根據(jù)三角函數(shù)中的余弦的定義分別寫出這三個角的余弦，再來證明這公式．師：這個公式的證明是利用余弦的定義把它們轉(zhuǎn)化成鄰邊與斜邊的比，為此要先作出直角三角形，為了作出直角三角形我們應(yīng)用了三垂線定理．當然也可用它的逆定理．這個公式是在課本第121頁總復(fù)習(xí)參考題中的第3題．我們?yōu)槭裁匆崆爸v這個公式呢?講這個公式的目的是為了用這個公式，因為在解許多有關(guān)題時都要用到這公式．那我們要問在什么條件下可用這個公式？生：因為θ1是斜線AB與平面α所成的角，所以只有當圖形中出現(xiàn)斜線與平面所成的角時，才有可能考慮用這公式．師：為了在使用這個公式時方便、易記,我們規(guī)定θ1表示斜線與平面所成的角，θ2是平面內(nèi)過斜足的一條射線與斜線射影所成的角，θ是這條射線與斜線所成的角．下面我們來研究一下這個公式的應(yīng)用．應(yīng)用這個公式可解決兩類問題．第一是求值．即已知這公式中的兩個角，即可求出第三個角或其余弦值．例如：θ＝60°,這時θ2＜θ；當θ1＝45°，θ2＝135°時,cosθ＝cos45°·cos135°＝第二是比較θ2與θ的大?。驗槲覀円呀?jīng)規(guī)定θ1是斜線與平面所成的角,一定有0°＜θ1＜90°,它的大小不變,為了比較θ2與θ的大小，下面分三種情況進行討論．（1)θ2＝90°，因為θ2＝90°，所以cosθ2＝0，因此cosθ＝cosθ1·cosθ2＝0，故θ＝90°．當θ＝90°時,我們也可以證明θ2＝90°．一條直線如果和斜線的射影垂直，那么它就和斜線垂直．這就是三垂線定理．一條直線如果和斜線垂直，那么它就和斜線的射影垂直．這就是三垂線定理的逆定理．所以，我們可以這樣說，這個公式是三垂線定理及其逆定理的一般情況，而三垂線定理及其逆定理是這公式的特殊情況．現(xiàn)在我們來研究在θ2是銳角時，θ2與θ的大?。?）0°＜θ2＜90°．師：在這個條件下，我們怎樣來比較θ2與θ的大小？生:因為0°＜θ1＜90°，所以0＜cosθ1＜1，又因為0°＜θ2＜90°，所以0＜cosθ2＜1．又因為cosθ＝cosθ1·cosθ2，所以0＜cosθ1＜1,而且cosθ＝cosθ1·cosθ2＜cosθ2,在銳角條件下，余弦函數(shù)值大的它所對應(yīng)的角?。驭?＜θ．師:現(xiàn)在我們來討論當θ2是鈍角時,θ2與θ的大?。?）90°＜θ2＜180°．在這個條件下，我們不再用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ做理論上的證明來比較θ2與θ的大小，而是一起來看模型（或圖形）．我們假設(shè)θ2的鄰補角為θ′2，θ的鄰補角為θ′，即θ2＋θ′2＝180°，θ＋θ′＝180°．在模型（或圖形)中我們可以看出當θ2是鈍角時，θ也是鈍角，所以它們的兩個鄰補角θ′2和θ′都是銳角，由對第二種情況的討論我們知道θ′2＜θ′．由等量減不等量減去小的大于減去大的，所以由θ2＝180°－θ′2，θ＝180°－θ′，可得θ2＞θ．根據(jù)以上討論現(xiàn)在小結(jié)如下：當θ2＝90°時,θ＝θ2＝90°，它們都是直角．當0°＜θ2＜90°時，θ2＜θ，它們都是銳角；當90°＜θ2＜180°時，θ2＞θ，它們都是鈍角．關(guān)于公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的應(yīng)用，今后還要隨著課程的進展而反復(fù)提到．現(xiàn)在我們來看例2．例2

如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：（1）A1C⊥平面C1DB于G；（2)垂足G為正△C1DB的中心;(3)A1G＝2GC．師：我們先來證明第(1）問．要證直線與平面垂直即要證什么？生:要證A1C與平面C1DB內(nèi)兩條相交的直線垂直．師：我們先證A1C為什么與DB垂直?生:連AC，對平面ABCD來說，A1A是垂線，A1C是斜線，AC是A1C在平面ABCD上的射影，因為AC⊥DB（正方形的性質(zhì)）,所以

A1C⊥DB．(三垂線定理）同理可證A1C⊥BC1．因為A1C⊥平面C1DB（直線與平面垂直的判定理）（在證A1C⊥BC1時，根據(jù)情況可詳、可略，如果學(xué)生對應(yīng)用三垂線定理還不太熟悉，則可讓學(xué)生把這證明過程再敘述一遍，因為這時是對平面B1BCC1來說,A1B1是垂線,A1C是斜線，B1C是A1C在平面B1BCC1上的射影,由B1C⊥BC1，得A1C⊥BC1)師：現(xiàn)在來證第（2）問，垂足G為什么是正△C1DB的中心？生:因為A1B＝A1C1＝A1D，所以BG＝GC1＝DG,故G是正△C1DB的外心，正三角形四心合一，所以G是正△C1DB的中心．師:現(xiàn)在來證第（3）問,我們注意看正方體的對角面A1ACC1,在這對角面內(nèi)有沒有相似三角形?生：在正方體的對角面A1ACC1內(nèi)，由平面幾何可知△A1GC1∽△OGC,且A1C1∶OC＝A1G∶GC，所以A1G∶GC＝2∶1，因此A1G＝2GC．師：例2是在正方體的體對角線與其異面的面對角線互相垂直引申而來，而例2也是一個基本的題型,對于以后證有關(guān)綜合題型時很有用．所以對例2的證明思路和有關(guān)結(jié)論,盡可能的理解、記?。F(xiàn)在我們來看例3．例3

如圖3，已知：Rt△ABC在平面α內(nèi)，PC⊥平面α于C,D為斜邊AB的中點，CA＝6，CB＝8,PC＝12．求:(1）P,D兩點間的距離；（2）P點到斜邊AB的距離．師:現(xiàn)在先來解第（1）問，求P,D兩點間的距離．師：現(xiàn)在我們來解第(2)問，求P點到AB邊的距離．生：作PE⊥AB于E，連CE則CE⊥AB．（三垂線定理的逆定理)PE就是P點到AB邊的距離．師：要求PE就要先求CE，CE是直角三角形ABC斜邊上的高，已知直角三角形的三邊如何求它斜邊上的高呢?生：可用等積式CE·AB＝AC·CB，即斜邊上的高與斜邊的乘積等于兩直角邊的乘積．師：這個等積式是怎樣證明的？生:有兩種證法．因CE·AB是Rt△ABC面積的二倍，而AC·CB也是Rt△ABC面積的二倍，所以它們相等;也可用△BCE∽△ABC，對應(yīng)邊成比例推出這個等積式．師：這個等積式很有用,根據(jù)這個等積式,我們可以由直角三角形的三邊求出斜邊上的高，這個等積式以后在求有關(guān)距離問題時會常常用到，所以要理解、記住、會用．現(xiàn)在就利用這等積式先求CE,再求PE．師：通過這一題我們要區(qū)分兩種不同的距離概念及求法；在求點到直線距離時,經(jīng)常要用到三垂線定理或其道定理；在求直角三角形斜邊上的高時會利用上述的等積式來求斜邊上的高．現(xiàn)在我們來看例4．例4

如圖4，已知：∠BAC在平面α內(nèi),POα，PO⊥平面α于O．如果∠PAB＝∠PAC．求證：∠BAO＝∠CAO．（這個例題就是課本第32頁習(xí)題四中的第11題．這個題也可以放在講完課本第30頁例1以后講．不論在講課本第30頁例1，還是在講這個例時，都應(yīng)先用模型作演示，使學(xué)生在觀察模型后，得出相關(guān)的結(jié)論,然后再進行理論上的證明，這樣使學(xué)生對問題理解得具體、實在，因而效果也較好）師：當我們觀察了模型后，很容易就猜想到了結(jié)論．即斜線PA在平面α上的射線是∠BAC的角平分線所在的直線，現(xiàn)在想一想可以有幾種證法？生：作OD⊥AB于D,作OE⊥AC于E，連PD,PE，則PD⊥AB，PE⊥AC．所以Rt△PAD≌Rt△PAE，因此PD＝PE，故OD＝OE，所以∠BAO＝∠CAO．師：今天我們講了公式cosθ1·cosθ2＝cosθ．能否用這公式來證明這題．(利用這公式來證明這個題,完全是由學(xué)生想到的，當然如果有的班學(xué)生成績較差，思路不活，也可做些必要的提示）生:因為∠PAO是斜線與平面α所成的角,所以可以考慮用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ．∠PAO相當于θ1；∠PAB＝∠PAC它們都相當于θ，由公式可得θ2＝θ′2，即∠BAO＝∠CAO．師：今天我們是應(yīng)用三垂線定理及其逆定理來解這四個例題．例1、例2、例4是三個基本題．對這三個題一定要會證、記住、會用．關(guān)于這三個題的應(yīng)用，以后還會在講課過程中反復(fù)出現(xiàn)．在高考題中也曾用到．作業(yè)課本第33頁第13題．補充題1．已知：∠BSC＝90°，直線SA∩平面BSC＝S．∠ASB＝∠ASC＝60°，求:SA和平面BSC所成角的大小．［45°］2．已知:AB是平面