第一章 概率論的基本概念定義：隨機試驗E的每個結(jié)果樣本點組成樣本空間S，S的子集為E的隨機事件，單個樣本點為基本事件．事件關(guān)系：1．AB，A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生．2．AB和事件，A，B至少一個發(fā)生，AB發(fā)生．3．AB記AB積事件，A，B同時發(fā)生，AB發(fā)生．4．A－B差事件，A發(fā)生，B不發(fā)生，A－B發(fā)生．5．AB=?，A與B互不相容(互斥)，A與B不能同時發(fā)生，基本事件兩兩互不相容．6．AB=S且AB=?，A與B互為逆事件或?qū)α⑹录?，A與B中必有且僅有一個發(fā)生，記B=．事件運算：交換律、結(jié)合律、分配率略．德摩根律：，．概率：概率就是n趨向無窮時的頻率，記P(A)．概率性質(zhì):1．P(?)=0．2．(有限可加性)P(A1A2…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)，Ai互不相容．3．若AB，則P(B－A)=P(B)－P(A)．4．對任意事件A，有．5．P(AB)=P(A)+P(B)－P(AB)．古典概型：即等可能概型，滿足：1．S包含有限個元素．2．每個基本事件發(fā)生的可能性相同．等概公式：．超幾何分布：，其中．條件概率：．乘法定理：．全概率公式：，其中為S的劃分．貝葉斯公式：，或．獨立性：滿足P(AB)=P(A)P(B)，則A，B相互獨立，簡稱A，B獨立．定理一：A，B獨立，則．P(B|A)=P(B)．定理二：A，B獨立，則A與，與，與也相互獨立．隨機變量及其分布(0—1)分布：，k=0，1（0<p<1）．伯努利實驗：實驗只有兩個可能的結(jié)果：A及．二項式分布：記X~b（n，p），．n重伯努利實驗：獨立且每次試驗概率保持不變．其中A發(fā)生k次，即二項式分布．泊松分布：記X~π（λ），，．泊松定理：，其中．當(dāng)，應(yīng)用泊松定理近似效果頗佳．隨機變量分布函數(shù)：，．．連續(xù)型隨機變量：，X為連續(xù)型隨機變量，為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度．概率密度性質(zhì)：1．；2．；3．；4．，f(x)在x點連續(xù)；5．P{X=a}=0．均勻分布：記X~U(a，b)；；．性質(zhì)：對a≤c<c+l≤b，有指數(shù)分布：；．無記憶性：．正態(tài)分布：記；；．性質(zhì)：1．f(x)關(guān)于x=μ對稱，且P{μ-h<X≤μ}=P{μ<X≤μ+h}；2．有最大值f(μ)=()-1．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：；．即μ=0，σ=1時的正態(tài)分布X~N(0，1)性質(zhì)：．正態(tài)分布的線性轉(zhuǎn)化：對有；且有．正態(tài)分布概率轉(zhuǎn)化：；．3σ法則：P=Φ(1)－Φ(-1)=68.26%；P=Φ(2)－Φ(-2)=95.44%；P=Φ(3)－Φ(-3)=99.74%，P多落在(μ-3σ，μ+3σ)內(nèi)．上ɑ分位點：對X~N(0，1)，若zα滿足條件P{X>zα}=α，0<α<1，則稱點zα為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上α分位點．常用上ɑ分位點：0.0010.0050.010.0250.050.103.0902.5762.3261.9601.6451.282Y服從自由度為1的χ2分布：設(shè)X密度函數(shù)fX(x)，，若Y=X2，則若設(shè)X~N(0，1)，則有定理：設(shè)X密度函數(shù)fX(x)，設(shè)g(x)處處可導(dǎo)且恒有g(shù)′(x)>0(或g′(x)<0)，則Y=g(X)是連續(xù)型隨機變量，且有h(y)是g(x)的反函數(shù)；=1\*GB3①若，則α=min{g(?∞)，g(+∞)}，β=max{g(?∞)，g(+∞)}；=2\*GB3②若fX(x)在[a，b]外等于零，g(x)在[a，b]上單調(diào)，則α=min{g(a)，g(b)}，β=max{g(a)，g(b)}．應(yīng)用：Y=aX+b~N(aμ+b，(|a|σ)2)．多維隨機變量及其分布二維隨機變量的分布函數(shù)：分布函數(shù)(聯(lián)合分布函數(shù))：，記作：．．F（x，y）性質(zhì)：1．F（x，y）是x和y的不減函數(shù)，即x2>x1時，F(xiàn)（x2，y）≥F（x1，y）；y2>y1時，F(xiàn)（x，y2）≥F（x，y1）．2．0≤F（x，y）≤1且F（?∞，y）=0，F(xiàn)（x，?∞）=0，F(xiàn)（?∞，?∞）=0，F(xiàn)（+∞，+∞）=1．3．F（x+0，y）=F（x，y），F(xiàn)（x，y+0）=F（x，y），即F（x，y）關(guān)于x右連續(xù)，關(guān)于y也右連續(xù)．4．對于任意的(x1，y1)，(x2，y2)，x2>x1，y2>y1，有P{x1<X≤x2，y1<Y≤y2}≥0．離散型（X，Y）：，，．連續(xù)型（X，Y）：．f(x，y)性質(zhì)：1．f(x，y)≥0．2．．3．．4．若f(x，y)在點(x，y)連續(xù)，則有．n維：n維隨機變量及其分布函數(shù)是在二維基礎(chǔ)上的拓展，性質(zhì)與二維類似．邊緣分布：Fx(x)，F(xiàn)y(y)依次稱為二維隨機變量（X，Y）關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)，F(xiàn)X(x)=F(x，∞)，F(xiàn)Y(y)=F(∞，y)．第五章 大數(shù)定律及中心極限定理弱大數(shù)定理：若X1，X2，…是相互獨立并服從同一分布的隨機變量序列，且E(Xk)=μ，則對任意ε>0有或，．定義：Y1，Y2，…，Yn，…是一個隨機變量序列，a是一個常數(shù)．若對任意ε>0，有則稱序列Y1，Y2，…，Yn，…依概率收斂于a．記伯努利大數(shù)定理：~對任意ε>0有或．~其中fA是n次獨立重復(fù)實驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率．中心極限定理定理一：設(shè)X1,X2,…,Xn,…相互獨立并服從同一分布，且E(Xk)=μ，D(Xk)=σ2>0，則n→∞時有近似的N(0，1)或~N(0，1)或~N(μ，)．近似的定理二：設(shè)X1,X2,…,Xn,…相互獨立且E(Xk)=μk，D(Xk)=σk2>0，若存在δ>0使n→∞時，，則~N(0，1)，記．定理三：設(shè)，則n→∞時，(0，1)，．第六章 樣本及抽樣分布定義：總體：全部值；個體：一個值；容量：個體數(shù)；有限總體：容量有限；無限總體：容量無限．定義：樣本：X1,X2,…,Xn相互獨立并服從同一分布F的隨機變量，稱從F得到的容量為n的簡單隨機樣本．頻率直方圖：圖形：以橫坐標(biāo)小區(qū)間為寬，縱坐標(biāo)為高的跨越橫軸的幾個小矩形．橫坐標(biāo)：數(shù)據(jù)區(qū)間（大區(qū)間下限比最小數(shù)據(jù)值稍小，上限比最大數(shù)據(jù)值稍大；小區(qū)間：均分大區(qū)間，組距Δ=大區(qū)間/小區(qū)間個數(shù)；小區(qū)間界限：精度比數(shù)據(jù)高一位）．圖形特點：外輪廓接近于總體的概率密度曲線．縱坐標(biāo)：頻率/組距（總長度：<1/Δ；小區(qū)間長度：頻率/組距）．定義：樣本p分位數(shù)：記xp，有1．樣本xi中有np個值≤xp．2．樣本中有n(1－p)個值≥xp．箱線圖：xp選擇：記．分位數(shù)x0.5，記為Q2或M，稱為樣本中位數(shù)．分位數(shù)x0.25，記為Q1，稱為第一四分位數(shù)．分位數(shù)x0.75，記為Q3，稱為第三四分位數(shù)．圖形：minQ1minQ1MQ3max圖形特點：M為數(shù)據(jù)中心，區(qū)間[min，Q1]，[Q1，M]，[M，Q3]，[Q3，max]數(shù)據(jù)個數(shù)各占1/4，區(qū)間越短數(shù)據(jù)密集．四分位數(shù)間距：記IQR=Q3－Q1；若數(shù)據(jù)X<Q1－1.5IQR或X>Q3+1.5IQR，就認(rèn)為X是疑似異常值．抽樣分布：樣本平均值：樣本方差：樣本標(biāo)準(zhǔn)差：樣本k階(原點)矩：，k≥1樣本k階中心矩：，k≥2經(jīng)驗分布函數(shù)：，．表示F的一個樣本X1,X2,…,Xn中不大于x的隨機變量的個數(shù)．自由度為n的χ2分布：記χ2~χ2（n），，其中X1,X2,…,Xn是來自總體N(0，1)的樣本．E(χ2)=n，D(χ2)=2n．χ12+χ22~χ2（n1+n2）．．χ2分布的分位點：對于0<α<1，滿足，則稱為的上α分位點．當(dāng)n充分大時(n>40)，，其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上α分位點．自由度為n的t分布：記t~t(n)，，其中X~N(0，1)，Y~χ2(n)，X，Y相互獨立．h(t)圖形關(guān)于t=0對稱；當(dāng)n充分大時，t分布近似于N(0，1)分布．t分布的分位點：對于0<α<1，滿足，則稱為的上α分位點．由h(t)對稱性可知t1－α(n)=－tα(n)．當(dāng)n>45時，tα(n)≈zα，zα是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上α分位點．自由度為(n1，n2)的F分布：記F~F(n1，n2)，，其中U~χ2(n1)，V~χ2(n2)，X，Y相互獨立．1/F~F(n2，n1)F分布的分位點：對于0<α<1，滿足，則稱為的上α分位點．重要性質(zhì)：F1－α(n1，n2)=1/Fα(n1，n2)．定理一：設(shè)X1,X2,…,Xn是來自N(μ，σ2)的樣本，則有，其中是樣本均值．定理二：設(shè)X1,X2,…,Xn是來自N(μ，σ2)的樣本，樣本均值和樣本方差分別記為，，則有1．；2．與相互獨立．定理三：設(shè)X1,X2,…,Xn是來自N(μ，σ2)的樣本，樣本均值和樣本方差分別記為，，則有．定理四：設(shè)X1,X2,…,Xn1與Y1,Y2,…,Yn2分別是來自N(μ1，σ12)和N(μ2，σ22)的樣本，且相互獨立．設(shè)這兩個樣本的樣本均值和樣本方差分別記為，，，，則有1．．2．當(dāng)σ12=σ22=σ2時，，其中，．第七章 參數(shù)估計定義：估計量：，估計值：，統(tǒng)稱為估計．矩估計法：令=()(k為未知數(shù)個數(shù))聯(lián)立方程組，求出估計．設(shè)總體X均值μ及方差σ2都存在，則有，．最大似然估計法：似然函數(shù)：離散：或連續(xù)：，化簡可去掉與θ無關(guān)的因式項．即為最大值，可由方程或求得．當(dāng)多個未知參數(shù)θ1，θ1，…，θk時：可由方程組或（）求得．最大似然估計的不變性：若u=u(θ)有單值反函數(shù)θ=θ(u)，則有，其中為最大似然估計．截尾樣本取樣：定時截尾樣本：抽樣n件產(chǎn)品，固定時間段t0內(nèi)記錄產(chǎn)品個體失效時間(0≤t1≤t2≤…≤tm≤t0)和失效產(chǎn)品數(shù)量．定數(shù)截尾樣本：抽樣n件產(chǎn)品，固定失效產(chǎn)品數(shù)量數(shù)量m記錄產(chǎn)品個體失效時間(0≤t1≤t2≤…≤tm)．結(jié)尾樣本最大似然估計：定數(shù)截尾樣本：設(shè)產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布X~e（θ），θ即產(chǎn)品平均壽命．產(chǎn)品ti時失效概率P{t=ti}≈f(ti)dti，壽命超過tm的概率，則，化簡得，由得：，其中s(tm)=t1+t2+…+tm+(n－m)tm，稱為實驗總時間．定時截尾樣本：與定數(shù)結(jié)尾樣本討論類似有s(t0)=t1+t2+…+tm+(n－m)t0，，，．無偏性：估計量的存在且，則稱是的無偏估計量．有效性：與都是的無偏估計量，若，則較有效．相合性：設(shè)的估計量，若對于任意有，則稱是的相合估計量．置信區(qū)間：，和分別為置信下限和置信上限，則是的一個置信水平為置信區(qū)間，稱為置信水平，．正態(tài)樣本置信區(qū)間：設(shè)X1，X2，…，Xn是來自總體X~N(μ，σ2)的樣本，則有μ的置信區(qū)間：樞軸量WW分布a，b不等式置信水平置信區(qū)間其中zα/2為上α分位點θ置信區(qū)間的求解：1．先求樞軸量：即函數(shù)W=W(X1，X2，…，Xn；θ)，且函數(shù)W的分布不依賴未知參數(shù)．如上討論標(biāo)注2．對于給定置信水平，定出兩常數(shù)a，b使P{a<W<b}=，從而得到置信區(qū)間．(0－1)分布p的區(qū)間估計：樣本容量n>50時，若令，，，則有置信區(qū)間(，）．單側(cè)置信區(qū)間：若或，稱(，)或(，)是θ的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間．正態(tài)總體均值、方差的置信區(qū)間與單側(cè)置信限（置信水平為）待估其他樞軸量W的分布置信區(qū)間單側(cè)置信限一個正態(tài)總體μσ2已知，μσ2未知，σ2μ未知，兩個正態(tài)總體μ1－μ2σ12，σ22已知μ1－μ2σ12=σ22=σ2未知σ12/σ22μ1，μ2未知，單個總體X~N(μ，σ2)，兩個總體X~N(μ1，σ12)，Y~N(μ2，σ22)．第八章 假設(shè)實驗定義：H0：原假設(shè)或零假設(shè)，為理想結(jié)果假設(shè)；H1：備擇假設(shè)，原假設(shè)被拒絕后可供選擇的假設(shè)．第Ⅰ類錯誤：H0實際為真時，卻拒絕H0．第Ⅱ類錯誤：H0實際為假時，卻接受H0．顯著性檢驗：只對犯第第Ⅰ類錯誤的概率加以控制，而不考慮第Ⅱ類錯誤的概率的檢驗．P{當(dāng)H0為真拒絕H0}≤α，α稱為顯著水平．拒絕域：取值拒絕H0．臨界點：拒絕域邊界．雙邊假設(shè)檢驗：H0：θ=θ0，H1：θ≠θ0．右邊檢驗：H0：θ≤θ0，H1：θ>θ0．左邊檢驗：H0：θ≥θ0，H1：θ<θ0．正態(tài)總體均值、方差的檢驗法(顯著性水平為α)原假設(shè)H0備擇假設(shè)H1檢驗統(tǒng)計量拒絕域1σ2已知μ≤μ0μ>μ0z≥zαμ≥μ0μ<μ0z≤－zαμ=μ0μ≠μ0|z|≥zα/22σ2未知μ≤μ0μ>μ0t≥tα(n－1)μ≥μ0μ<μ0t≤－tα(n－1)μ=μ0μ≠μ0|t|≥tα/2(n－1)3σ1，σ2已知μ1－μ2≤δμ1－μ2>δz≥zαμ1－μ2≥δμ1－μ2<δz≤－zαμ1－μ2=δμ1－μ2≠δ|z|≥zα/24σ12=σ22=σ2未知μ1－μ2≤δμ1－μ2>δt≥tα(n1+n2－2)μ1－μ2≥δμ1－μ2<δt≤－tα(n1+n2－2)μ1－μ2=δμ1－μ2≠δ|t|≥tα/2(n1+n2－2)5μ未知σ2≤σ02σ2>σ02χ2≥χα2(n－1)σ2≥σ02σ2<σ02χ2≤χ21－α(n－1)σ2=σ02σ2≠σ02χ2≥χ2α/2(n－1)或χ2≤χ21－α/2(n－1)6μ1，μ2未知σ12≤σ22σ12>σ22F≥Fα(n1－1，n2－1)σ12≥σ22σ12<σ22F≤F1－α(n1－1，n2－1)σ12=σ22σ12≠σ22F≥Fα/2(n1－1，n2－1)或