中考?jí)狠S題·題型組合卷（一）（滿(mǎn)分：30分）一、選擇、填空題（共2小題，每小題3分，共6分）1.在Rt△ABC中，D為斜邊AB的中點(diǎn)，∠B＝60°，BC＝2cm，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)，沿折線D﹣C﹣B運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)的速度均為1cm/s，到達(dá)終點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)AE的長(zhǎng)為x，△AEF的面積為y，則y與x的圖象大致為（）A．B．C．D．2.已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4，點(diǎn)D從A出發(fā)以每秒個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)以每秒4個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在DE的右側(cè)作∠DEF＝∠B，交直線AC于點(diǎn)F，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則當(dāng)△ADF是一個(gè)以AD為腰的等腰三角形時(shí)，t的值為．

二、解答題（共2小題，每小題12分，共24分）3.【問(wèn)題提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，點(diǎn)D和點(diǎn)A在直線BC的同側(cè)，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120°，連接AD，求∠ADB的度數(shù)．（不必解答）【特例探究】小聰先從特殊問(wèn)題開(kāi)始研究，當(dāng)α＝90°，β＝30°時(shí)，利用軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)，以AB為對(duì)稱(chēng)軸構(gòu)造△ABD的軸對(duì)稱(chēng)圖形△ABD′，連接CD′（如圖2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等邊三角形等相關(guān)知識(shí)便可解決這個(gè)問(wèn)題．請(qǐng)結(jié)合小聰研究問(wèn)題的過(guò)程和思路，在這種特殊情況下填空：△D′BC的形狀是三角形；∠ADB的度數(shù)為．【問(wèn)題解決】在原問(wèn)題中，當(dāng)∠DBC＜∠ABC（如圖1）時(shí)，請(qǐng)計(jì)算∠ADB的度數(shù)；【拓展應(yīng)用】在原問(wèn)題中，過(guò)點(diǎn)A作直線AE⊥BD，交直線BD于E，其他條件不變?nèi)鬊C＝7，AD＝2．請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BE的長(zhǎng)為．4.如圖，拋物線y＝﹣x2+（3m+1）x﹣m（m＞且為實(shí)數(shù)）與x軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)B位于點(diǎn)A的右側(cè)且AB≠OA），與y軸交于點(diǎn)C．（1）填空：點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)m＝3時(shí)，在直線BC上方的拋物線上有一點(diǎn)M，過(guò)M作x軸的垂線交直線BC于點(diǎn)N，求線段MN的最大值；（3）在第四象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得△PCO，△POA和△PAB中的任意兩三角形都相似（全等是相似的特殊情況）？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

參考答案一、選擇、填空題（共2小題，每小題3分，共6分）△ABC中，D為斜邊AB的中點(diǎn)，∠B＝60°，BC＝2cm，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)，沿折線D﹣C﹣B運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)的速度均為1cm/s，到達(dá)終點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)AE的長(zhǎng)為x，△AEF的面積為y，則y與x的圖象大致為（）A．B．C．D．【分析】根據(jù)題意找到臨界點(diǎn)，E、F分別同時(shí)到達(dá)D、C，畫(huà)出一般圖形利用銳角三角函數(shù)表示y即可．【解答】解：在Rt△ABC中，D為斜邊AB的中點(diǎn)，∠B＝60°，BC＝2cm，∴AD＝DC＝DB＝2，∠CDB＝60°∵EF兩點(diǎn)的速度均為1cm/s∴當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y＝?AE?DF?sin∠CDB＝x2，當(dāng)2≤x≤4時(shí)，y＝，由圖象可知A正確．故選：A．△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4，點(diǎn)D從A出發(fā)以每秒個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)以每秒4個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在DE的右側(cè)作∠DEF＝∠B，交直線AC于點(diǎn)F，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則當(dāng)△ADF是一個(gè)以AD為腰的等腰三角形時(shí)，t的值為或或．【分析】當(dāng)△ADF是一個(gè)以AD為腰的等腰三角形時(shí)，如圖2，只能AD＝AF，由題意DF＝4t，BE＝4t，DF∥BE，推出四邊形BEFD是平行四邊形，由△ABC∽△BED，可得＝，延長(zhǎng)構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；【解答】解：當(dāng)點(diǎn)F在線段AC上時(shí)，如圖1，過(guò)A作AG⊥BC于G，∵AB＝AC＝，∴BG＝CG＝2，由勾股定理得：AG＝＝1，由圖形可知：∠BAC是鈍角，∴當(dāng)△ADF是一個(gè)以AD為腰的等腰三角形時(shí)，如圖2，只能AD＝AF，由題意DF＝4t，BE＝4t，DF∥BE，∴四邊形BEFD是平行四邊形，∴∴DEF＝∠BDE＝∠B，∴△ABC∽△BED，∴＝，∴＝，∴t＝，②當(dāng)點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上，AD＝AF時(shí)，易知△BDE∽△CEF，∴＝，∴＝，∴CF＝t．∴+t＝t，∴t＝．③當(dāng)點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上，AD＝DF時(shí)，作DN⊥AF于N，BM⊥CF于M．設(shè)AM＝x，則42﹣（x+）2＝（）2﹣x2，∴x＝，∵DN∥BM，∴＝，∴AN＝t，∵DA＝DF．DN⊥AF，∴AF＝2AN＝t∴+t＝，∴t＝，綜上所述，滿(mǎn)足條件的t的值為或或．故答為或或．二、解答題（共2小題，每小題12分，共24分）3.【問(wèn)題提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，點(diǎn)D和點(diǎn)A在直線BC的同側(cè)，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120°，連接AD，求∠ADB的度數(shù)．（不必解答）【特例探究】小聰先從特殊問(wèn)題開(kāi)始研究，當(dāng)α＝90°，β＝30°時(shí)，利用軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)，以AB為對(duì)稱(chēng)軸構(gòu)造△ABD的軸對(duì)稱(chēng)圖形△ABD′，連接CD′（如圖2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等邊三角形等相關(guān)知識(shí)便可解決這個(gè)問(wèn)題．請(qǐng)結(jié)合小聰研究問(wèn)題的過(guò)程和思路，在這種特殊情況下填空：△D′BC的形狀是等邊三角形；∠ADB的度數(shù)為30°．【問(wèn)題解決】在原問(wèn)題中，當(dāng)∠DBC＜∠ABC（如圖1）時(shí)，請(qǐng)計(jì)算∠ADB的度數(shù)；【拓展應(yīng)用】在原問(wèn)題中，過(guò)點(diǎn)A作直線AE⊥BD，交直線BD于E，其他條件不變?nèi)鬊C＝7，AD＝2．請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BE的長(zhǎng)為7+或7﹣．【分析】【特例探究】①如圖2中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，連接CD′，AD′，由△ABD≌△ABD′，推出△D′BC是等邊三角形；②借助①的結(jié)論，再判斷出△AD′B≌△AD′C，得∠AD′B＝∠AD′C，由此即可解決問(wèn)題．【問(wèn)題解決】當(dāng)60°＜α≤120°時(shí)，如圖3中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，連接CD′，AD′，證明方法類(lèi)似（1）．【拓展應(yīng)用】第①種情況：當(dāng)60°＜α≤120°時(shí)，如圖3中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，連接CD′，AD′，證明方法類(lèi)似（1），最后利用含30度角的直角三角形求出DE，即可得出結(jié)論；第②種情況：當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，如圖4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，連接CD′，AD′．證明方法類(lèi)似（1），最后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：【特例探究】①如圖2中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，連接CD′，AD′，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°，∵∠DBC＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝15°，在△ABD和△ABD′中，∴△ABD≌△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝15°，∠ADB＝∠AD′B，∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝60°，∵BD＝BD′，BD＝BC，∴BD′＝BC，∴△D′BC是等邊三角形，②∵△D′BC是等邊三角形，∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°，在△AD′B和△AD′C中，∴△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∴∠AD′B＝∠BD′C＝30°，∴∠ADB＝30°．故答案為：等邊，30°；【問(wèn)題解決】∵∠DBC＜∠ABC，∴60°＜α≤120°，如圖3中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，連接CD′，AD′，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BAC＝α，∴∠ABC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝90°﹣α﹣β，同（1）①可證△ABD≌△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝90°﹣α﹣β，BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝90°﹣α﹣β+90°﹣α＝180°﹣（α+β），∵α+β＝120°，∴∠D′BC＝60°，由（1）②可知，△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∴∠AD′B＝∠BD′C＝30°，∴∠ADB＝30°．【拓展應(yīng)用】第①情況：當(dāng)60°＜α＜120°時(shí)，如圖3﹣1，由（2）知，∠ADB＝30°，作AE⊥BD，在Rt△ADE中，∠ADB＝30°，AD＝2，∴DE＝，∵△BCD'是等邊三角形，∴BD'＝BC＝7，∴BD＝BD'＝7，∴BE＝BD﹣DE＝7﹣；第②情況：當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，如圖4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，連接CD′，AD′．同理可得：∠ABC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ABD＝∠DBC﹣∠ABC＝β﹣（90°﹣α），同（1）①可證△ABD≌△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝β﹣（90°﹣α），BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B，∴∠D′BC＝∠ABC﹣∠ABD′＝90°﹣α﹣[β﹣（90°﹣α）]＝180°﹣（α+β），∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°．同（1）②可證△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C＝360°，∴∠ADB＝∠AD′B＝150°，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，AD＝2，∴DE＝，∴BE＝BD+DE＝7+，故答案為：7+或7﹣．【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形綜合題，主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)．等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．4.如圖，拋物線y＝﹣x2+（3m+1）x﹣m（m＞且為實(shí)數(shù)）與x軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)B位于點(diǎn)A的右側(cè)且AB≠OA），與y軸交于點(diǎn)C．（1）填空：點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3m，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣m）（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)m＝3時(shí)，在直線BC上方的拋物線上有一點(diǎn)M，過(guò)M作x軸的垂線交直線BC于點(diǎn)N，求線段MN的最大值；（3）在第四象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得△PCO，△POA和△PAB中的任意兩三角形都相似（全等是相似的特殊情況）？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）令x＝0，或y＝0，可求B，C坐標(biāo)（2）求出BC解析式，設(shè)M（a，﹣a2+a﹣3），則N（a，a﹣3），用a表示MN的長(zhǎng)度，根據(jù)二次函數(shù)最值問(wèn)題可求MN的最大值．（3）由O，A，B都在x軸上，且要使△PCO，△POA，△PAB中的任意兩個(gè)三角形均相似，則三個(gè)三角形都是直角三角形．可得PA⊥x軸．分∠OPC＝90°和∠OCP＝90°，分兩種情況討論，根據(jù)相似三角形所得的線段比可求P點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）令x＝0，則y＝﹣m．∴C（0，﹣m）；令y＝0，則0＝﹣x2+（3m+1）x﹣m，∴x1＝1，x2＝3m，且m＞，∴A（1，0），B（3m，0）；（2）當(dāng)m＝3時(shí)，則拋物線解析式y(tǒng)＝﹣x2+x﹣3；∴C（0，﹣3），B（9，0），∴直線BC解析式y(tǒng)＝x﹣3；設(shè)M（a，﹣a2+a﹣3），則N（a，a﹣3），∴MN＝﹣a2+a﹣3﹣a+3＝﹣a2+3a，∴當(dāng)a＝時(shí)，MN的最大值為；（3）∵O，A，B都在x軸上，∴要使△PCO，△POA，△PAB中的任意兩個(gè)三角形均相似，則三個(gè)三角形都是直角三角形．∴PA⊥x軸．∠OPB＝90°，如圖1，當(dāng)∠OCP＝90°，且AO⊥CO，PA⊥AB，∴四邊形OACP是矩形，∴OA＝CP＝1，OC＝AP＝m；∵△POA∽△BPA，∴，∴m2＝（3m﹣1）×1，∴m2