數(shù)學試題

考試時間：2022年10月12日下午15:00-17:00試卷滿分：150分

一、單項選擇題：（本大題8個小題，每小題5分，總分40分，每題有且僅有

一個選項正確。）

1.已知集合A={x|F-w,v<0},B={.V|/HV<I},若〃豫，則實數(shù)m的取值范圍是（）

A.(O，

2.已知向量J、B滿足"=(后’2后卜

A.5B.6

3.在A48c中，已知a+b=—^―+—L

,則&48c的形狀一定是（）

tanAtani

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

|x-a+3|,x>l

4.函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是（

log。x,0<x<l)

A.0<a<lB.3<a<6C.l<aW4D.lVa這2

5.已知A48c三邊3C,AC,4B上的高分別為L、色、1,則cos4=（）

22

A.BB.也C.也D.一迫

2244

6.5G技術(shù)的數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公式：C=%log2（l+M）.它表示：在受噪聲干撓

的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬沙、信道內(nèi)信號的平均功率S、信道內(nèi)部

的高斯噪聲功率N的大小，其中捻叫做信噪比.按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬V,而將信

噪比￡從1000提升至2000,則C大約增加了（）?

N

A.10%B.30%C.50%D.100%

7.設(shè)函數(shù)/（x）=2sin（；x+夕卜1、0弓夕《女）在［°，5兀］內(nèi)恰有3個零點，則（P的取值范

圍是（）

c兀

A.0-

3U圖

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8.直線y=k與兩條曲線/(x)=j和g(x)=叱共有三個不同的交點，并且從左到右三

個交點的橫坐標依次是苞、、2、x3,則下列關(guān)系式正確的是()

2

XJX

A.x2=X,4-x3B.22=X+3C.X2=XjX3D.x2=X]X3

二、多項選擇題：(本大題4個小題，每小題5分，全對5分，漏選2分，錯選

0分。)

9.已知3=(1,2),6=(-4,/),則()

A.若a〃g,則f=8B.若G15，貝！1/=2

的最小值為5D.若向垃2與向量石的夾角為鈍角，貝h<2

10.下列命題正確的是()

A.直線N=x是曲線/(x)=lnx+ln(2-x)+l的一條切線

B.在MBC中，“Z>3”是“sin力>sinB”的充要條件

ww

C.命題“Vx>0,log2(x+l)>0的否定為“玉0>O,log2(x0+1)<0

D.tan(%r+a)=tana,A:eZ

11.已知函數(shù)/(x)=cos|x|-2卜inx|,以下結(jié)論不正確的是()

?.?■.??;1,,

.i一

A.乃是函數(shù)/(x)的一個周期B.函數(shù)/(x)在0,早上單調(diào)遞減

C.函數(shù)/(x)的值域為［-^,1］D.函數(shù)/(x)在［一2見2句內(nèi)有6個零點

三、填空題：(本大題4個小題，每小題5分，總分20分。)

13.角a的終邊經(jīng)過點P(加,4),且cosa=-',則tana的值為1

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14.代數(shù)式（2log,3+log83）（log32+log92）的值為.

15.已知14x44,則函數(shù)=）x：+x——的值域為

X+x+4x+4

16.若函數(shù)/（x）=2x-cosx-〃［在（-萬，萬）上存在唯一的零點須，若函數(shù)

8。）=丫2-而》-"比在（一肛》）上存在唯一的零點丫2,且再＞々，則實數(shù)旭的取值

范圍是.

四、解答題：（本大題6個小題，總分70分，解答應寫出必要的文字說明、證

明過程或演算步驟。

17.（本小題10分）

已知數(shù)列S”｝的前〃項和為，，q=l,a“+LS"+l（"eN*）,數(shù)列｛%｝滿足"=1,

=2。"+".

（1）求數(shù)列MJ、｛4｝的通項公式;

（2）若數(shù)列｛%｝滿足％=魯，求證：q+q+…+C.＜：.

DR+i2

18.（本小題12分）

19.（本小題12分）

2022年9月28日晚，中國女排在世錦賽小組賽第三輪比賽中，又一次以3:0的比分

酣暢淋漓地戰(zhàn)勝了老對手日本女排，沖上了熱搜榜第八位，令國人振奮！同學們，你們

?,*...,?P??,?■

知道排球比賽的規(guī)則和積分制嗎？其規(guī)則是：每場比賽采用“5局3勝制”（即有一支

球隊先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束）.比賽排名采用積分制，積分規(guī)則如下：比賽中，以3:0

或3:1取勝的球隊積3分，負隊積0分；以3:2取勝的球隊積2分，負隊積1分?已知甲、

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2

乙兩隊比賽，甲隊每局獲勝的概率為5.

(1)如果甲、乙兩隊比賽1場，求甲隊的積分X的概率分布列和數(shù)學期望；

(2)如果甲、乙兩隊約定比賽2場，求兩隊積分相等的概率?

I,'

20.(本小題12分)

已知向量用=(sinx,l}〃=^-s^cosx,-目.設(shè)函數(shù)/(、)=(析+”>*

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期；

(2)在&中，角A,B,C的對邊分別為0、氏c,4cB的角平分線交45于

點D.若/(C)恰好為函數(shù)/㈤的最大值，且此時C￡)=/(C),求3a+b的最小值.

21.(本小題12分)

已知直線L:y=--x+2與橢圓—+^-=1相切于點“，與直線

1z242

/2：y=#x+/相交于點N(異于點〃).

(1)求點M的坐標；

(2)直線4交E于點工(玉,必)，兩點，證明：*NMs^MNB,

22.(本小題12分)

己知函數(shù)/(x)=e2R-x,加€火.

(1)若加>0,求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若任意xNO,f(x)>l+mx2,求m的取值范圍.

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參考答案

題號123456789101112

答案CBBCCADDBCBCDABDABC

4

16.[%，2乃+1)

13.——14.215.5a

3

部分試題的簡答：

7.解：：/(x)=0即sin(gx+，=；,

/.—x+0=—F—x二----------&2k兀,keZ,

2626

x=三一2肢+4左萬或x=葺-2。+4k兀,keZ,

當人＜0時，所有根都小于零，當我22時，所有根都大于5萬，

JT77

y-2^>0y-2^<0

由題可得:或v

軍一2。+4萬>57r57r...

--2^+4^<5兀

解之得：代或王工.故選D.

632

XInx

(1)先說明：方程二二——有唯一零點；

ex

XInxxInx

(2)再說明：X＜%時，一＞—1，JO當時，一＜一，即在說明：當直線歹=左經(jīng)過唯

xexx

一的公共點時，直線與兩條曲線恰好有三個不同的交點。

%,x,Inx,inx,

(3)此時：0<西<1<々<e<》3,且-V=-T="---?=——......①

1212

3e*ex2x3

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—0Ine1Ine2Inx,inx,

對上式同構(gòu)可得：—；——―-——----------,

2

e'ex2x3

1

?J0</',》2<e且函數(shù)g(x)=@i在(0,e)單調(diào)遞增，：〃=々，X,=Inx2...②

又xe迎,彳3>e,且函數(shù)g(x)=5)在(e,+oo)上單調(diào)遞減，

e*=毛.............③

2

由方程②③可得：七?七=In&?e*,再結(jié)合方程①可得：x2=x,x3.故選D.

12.(1)/(x)有唯一的零點x=l,

且當xe(O,l)時，/(x)<0:當xe(l,+8)時，/'(x)>0,排除D答案.

(2)當左=0時，/(x)=lnx：

17.(1)解:由a.+i=S,+l,得=S“_]+1(”22),

所以%+i-4=%("*2)，即%+i=24(?>2)

又由卬=1,得。2=2,滿足。的=2%，所以a“=2i..................................3分

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1

而bn+t-b?=2an=2",所以b*—b、=2"-'+2”2+...+2,

所以"=2n~l+2n~2+…+21+1=—；］，-2"-1；5分

(

（2）證明：因為q,=(2?-l)(2--1)4r-l2--1

I,I111

所以q+七+…C”=_(-i--------:-----HF--------r----H丁一嚴產(chǎn)--

'2"2V2'-122-122-123-12n-i2z,42"-2

10分

18.(1)證明：由題意可知QE_L￡>C,又/ZC8=90°,則8C_L4C

5LDE//BC,所以。EUC,又/CCDC=C,AC,OCu平面ZCD,

所以。E_L平面NCA；.4分

（2）解：方法一：因為平面BCOE_L平面力8C,平面8COECI平面48c=8C,BCVAC,

所以“C_L平面8COE,連結(jié)C￡,

故/4EC即為直線ZE與平面B8E所成的角，。.5分

AC1

則有sin/4EC=—=-,過點力作///BC,則面/QED面48。=/,

AE4

所以cos4g條半

故異面直線DE與AB所成角的余弦值為叵

10分

6

方法二：由（1）可得，CAICB,CA1CD,CD1CB...............5分

以點C為坐標原點，。為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)4C=4,8C=b,

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則：”(a,0,0),0(0,0,2),E(0也2),3(0,仇0),

75=(—凡0,2),瓦=(0/,0),至=(—凡6,2),0

■：CD1面Z8C,

面N8C的法向量而=(0,0,2).

設(shè)面的法向量〃=(x,y,z),

一___[-ax+2z=0

,**n±AD,n±DE,_八，不妨令x=2y=0,z=a

=0

n=(2,0,a),

I/----Ai\n^CD\ai

由題得：cos(A7,CD)\=^u_=.=-r=,解得：a=\......7分

?'〃卜|同|45+1V5

???AC1面BCDE，.二WiBCDE的法向量為CA=(1,0,0)

I/------\||C4*JElIi

^.4"q解之得：bW……9分

.?.瓦=(0,而,0),西-i,VTT,o)

由題得：|cos(DE,AB)\=,

異面直線DE與AB所成角的余弦值為叵

10分

6

19.解：(1)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,

p(x=o)=(‘+c；q(yU，尸(丫=1)=仁.(箝(94=白，

353JyJ33ol

P(X=2)=G?《)2?(；『[=5，P(X=3)=/.4)2.l.|+(I)'=11.........4分

j3Joi333JZ/

所以X的分布列為

X0123

81616

P

98?8?27

所以數(shù)學期望E(X)=0xg+lx2+2x《+3x11=詈.................6分

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（2）記“甲、乙兩隊比賽兩場后，兩隊積分相等”為事件A,

設(shè)第i場甲、乙兩隊積分分別為X，工，則X,=3T，z=l,2,

因兩隊積分相等，所以隊|+3=岸+所，即％+乂=（3-工）+（3-匕），則X1+X?=3,

所以P(A)=P(M=0)尸(氏=3)+P(X、=1)P(瑪=2)+P(X\=2)尸(乙=1)+P(X\=3)尸(匕=0)

1168161681611120

——yX/1_yL_V_—.........................................................6分

-92781818181279~6561

20.解：(1)vm=(sinx,l),/7=[y/3cosx,--|,:.m+n=\sinx+>/3cosx,—

1

f(x)=sinx(sinx+V3cosx)+-

2

C0SA

二sin?x+Gsinxcosx+-=~^+2^sjn2r+—=sinf2%--1+1...........4分

2222I

則/⑺的最小正周期為35.....................................................................5分

（2）方法一：由八。）恰好為函數(shù)/*）的最大值可得f（C）=sin（2C-]+l=2,

即sin■.-0<C<7r,則可解得C=。，則8=/(C)=2,...7分

CDAD

在△ZCD中,由sin'-sin’C，可得

sinA

2

CDBD

11

在△88中,由蓊=正’可得如癡-------|--------...............8分

sinAsin3

sinJ

則可得。=H------....................................10分

sinB

3sinAsinB

3(74-6H--；----1—；---

sinBsinA

,/sin^>0,sinS>0,

_/3sinA_sin8、

「?3a+b>+2J-----x---------

Vsin5sinA

當且僅當百sin/=sin8時，等號成立，故3a+b的最小值為4+隨......12分

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方法二：同上：解得c=。，則8=/(C)=2,7分

等面積法可得：S6MD+SABCD=S.CD

即：-CA-CD^m30°+-CB-CD-sin30°=-C4?C8?sin60°,

2口，24224

設(shè)"一方='且人一百=一則"耳+祖n”L耳+養(yǎng)

3a+6=接+3/+:2-3+4,當且僅當3=2時即4=2+2，1且b=6時,等

V33/V3333

號成立.

???34+b的最小值為4+隨........................................12分

3

y=------x+2.—.—

21.解：⑴解：r2,消歹得：/—2瓜+2=0,解得：x=4i，

x1+2y2=4

故〃(0,1)..................................................................................................3分

y=---x+2(無A

(2)證明：聯(lián)立彳廣>解之得：NV2--+—........6分

V2

"丁+?k)

y=—x-\"t

聯(lián)立42，消V得:x2+y/2tx+t2-2-0>由題可得：△=8-2/>0,

x2+2y2=4

X|+%2==廠—2.

X|一近一與t,|陰=Jl+g卜-近一與t.........8分

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|w|2=|網(wǎng)|網(wǎng)

,又ZANB=AMNB,：.\ANMs\MNB......12分

NMNB

22.解：⑴/(x)=2加e2mx-1,>o,二/(x)在及上單增,令/(x)=0,解得

1,1

x=—In—,

2m2m

則當X』—8,『ln，一］時，/'(x)<0；當xe(『ln丁,+oo］時，/'(x)>0.

V2m2m)\2m2m)

.??/(X)的遞減區(qū)間為一哈「In?。贿f增區(qū)間為Lnj4分

I2m2m/2m2m

(2)方法一：設(shè)g(x)=/(x)-(mx2+l)=e2s-mx2—x-l,xZ0,g(0)=0；

g(x)=2me2mx-2mx-1,x>0,g(0)=2m-\；

g(x)=(2m)2-2m=2m(2me2n,x-1)=2mf(x),x>0

①當2〃?—120即加2g時，g”(x)N0在［0,