勾股定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納

（2）以B為圓心，AB為半徑作圓，交AC于點(diǎn)D；（3）連接BD，得到直角△CBD，其中BC為所求線(xiàn)段長(zhǎng)為；（4）同理可作出長(zhǎng)為的線(xiàn)段。第18章勾股定理復(fù)習(xí)一、知識(shí)歸納1.勾股定理勾股定理表示直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即a2+b2=c2。勾股定理由商高定理演變而來(lái)，商高定理是在我國(guó)古代提出的，勾股定理則是在西方稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯定理。2.勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，其中常見(jiàn)的是拼圖的方法。拼圖的思路是通過(guò)割補(bǔ)拼接，使得圖形面積不變，然后根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理。常見(jiàn)的證明方法包括正方形拼圖法、直角三角形拼圖法和梯形拼圖法。3.勾股定理的適用范圍勾股定理只適用于直角三角形，對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形的三邊關(guān)系不具有這一特征。因此，在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明確所考察的對(duì)象是直角三角形。4.勾股定理的應(yīng)用勾股定理可以用來(lái)求解直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)，以及已知一邊長(zhǎng)時(shí)另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系。此外，勾股定理還可以應(yīng)用于解決一些實(shí)際問(wèn)題。5.利用勾股定理作長(zhǎng)為的線(xiàn)段利用勾股定理可以作出長(zhǎng)為的線(xiàn)段。具體作法是，先作直角邊為1的等腰直角三角形，然后以斜邊為半徑作圓，交另一直角邊所在的直線(xiàn)于一點(diǎn)，連接該點(diǎn)與圓心，即可得到所求線(xiàn)段。精心整理2.以AB為一條直角邊，作另一直角邊為1的直角三角形，依次重復(fù)這個(gè)過(guò)程，直到得到直角三角形，其斜邊長(zhǎng)為多少？解釋?zhuān)何覀儚闹苯侨切蔚亩x出發(fā)，以AB為一條直角邊，作另一直角邊為1的直角三角形。然后，我們重復(fù)這個(gè)過(guò)程，直到得到直角三角形。我們需要求出這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)。3.在數(shù)軸上表示√10，作法如下：將√10看作是直角三角形的斜邊，為了有利于畫(huà)圖讓其他兩邊的長(zhǎng)為整數(shù)，而10又是9和1這兩個(gè)完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是3和1。作法：如圖所示在數(shù)軸上找到A點(diǎn)，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以O(shè)C為半徑，以O(shè)為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)B即為√10的點(diǎn)。解釋?zhuān)何覀冃枰跀?shù)軸上表示√10。為了方便畫(huà)圖，我們將√10看作是直角三角形的斜邊，而10又是9和1這兩個(gè)完全平方數(shù)的和，因此另外兩邊分別是3和1。我們的作法是，在數(shù)軸上找到A點(diǎn)，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以O(shè)C為半徑，以O(shè)為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)B即為√10的點(diǎn)。4.變式題：寫(xiě)出下列原命題的逆命題并判斷是否正確。1．原命題：貓有四只腳。（正確）2．原命題：對(duì)頂角相等（正確）3．原命題：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)，到這條線(xiàn)段兩端距離相等。（正確）4．原命題：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等。（正確）解釋?zhuān)何覀冃枰獙?xiě)出每個(gè)原命題的逆命題，并判斷其是否正確。原命題1、2、3、4都是正確的，而它們的逆命題分別是：1.有四只腳的是貓（不正確）；2.相等的角是對(duì)頂角（不正確）；3.到線(xiàn)段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上（正確）；4.到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線(xiàn)上（正確）。6.勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀。在運(yùn)用這一定理時(shí)，我們需要注意以下幾點(diǎn)：首先確定最大邊，不妨設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為c；然后驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2=a2+b2，則三角形是以∠C為直角的直角三角形（若c2>a2+b2，則三角形是以∠C為鈍角的鈍角三角形；若c2<a2+b2，則三角形為銳角三角形）。注意，定理中a、b、c及a2+b2=c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的。例如，若三角形三邊長(zhǎng)a、b、c滿(mǎn)足a2+c2=b2，則以a、b、c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊。解釋?zhuān)汗垂啥ɡ淼哪娑ɡ硎桥卸ㄒ粋€(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀。在運(yùn)用這一定理時(shí)，我們需要注意以下幾點(diǎn)：首先確定最大邊，不妨設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為c；然后驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2=a2+b2，則三角形是以∠C為直角的直角三角形（若c2>a2+b2，則三角形是以∠C為鈍角的鈍角三角形；若c2<a2+b2，則三角形為銳角三角形）。需要注意的是，定理中a、b、c及a2+b2=c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的。例如，若三角形三邊長(zhǎng)a、b、c滿(mǎn)足a2+c2=b2，則以a、b、c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊。互逆命題是指題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)的兩個(gè)命題。例如，勾股定理和勾股定理逆定理就是互逆命題。勾股定理逆定理是判定一個(gè)三角形是否為直角三角形的重要方法。它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀。運(yùn)用該定理時(shí)，可將兩小邊的平方和a2+b2與較長(zhǎng)邊的平方c2作比較。若它們相等，則以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形；若a2+b2<c2，則以a，b，c為三邊的三角形是鈍角三角形；若a2+b2>c2，則以a，b，c為三邊的三角形是銳角三角形。勾股定理逆定理中的a，b，c及a2+b2=c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的。例如，若三角形三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足a2+c2=b2，則以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊。勾股數(shù)是能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)。即在a2+b2=c2中，a，b，c為正整數(shù)時(shí)，稱(chēng)a，b，c為一組勾股數(shù)。記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度，例如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等?？梢杂煤帜傅拇鷶?shù)式表示n組勾股數(shù)，例如n2-1,2n,n2+1（n≥2，n為正整數(shù)）；2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1（n為正整數(shù)）；m2-n2,2mn,m2+n2（m>n，m，n為正整數(shù)）。勾股定理可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。在應(yīng)用勾股定理時(shí)，一定要注意弄清誰(shuí)是斜邊誰(shuí)是直角邊，以避免犯錯(cuò)。勾股定理是解決直角三角形中邊長(zhǎng)計(jì)算或直角三角形中線(xiàn)段關(guān)系證明問(wèn)題的重要定理。在使用勾股定理時(shí)，需要了解直角三角形的前提條件，即斜邊和直角邊各是什么，以便正確運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算。此外，應(yīng)該添加輔助線(xiàn)（通常作垂線(xiàn)），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解。勾股定理的逆定理能夠通過(guò)三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形。在具體推算過(guò)程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較，而不是簡(jiǎn)單地用兩邊的平方和與第三邊的平方比較，以免得到錯(cuò)誤的結(jié)論。勾股定理及其逆定理在解決實(shí)際問(wèn)題或具體的幾何問(wèn)題中是密不可分的一個(gè)整體。通常既要通過(guò)逆定理判定一個(gè)三角形是否為直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長(zhǎng)度，二者相輔相成，完成對(duì)問(wèn)題的解決。在解題時(shí)，常見(jiàn)的圖形包括直接考查勾股定理和應(yīng)用勾股定理建立方程。對(duì)于直角三角形，可以通過(guò)勾股定理a2+b2=c2進(jìn)行計(jì)算。而在建立方程時(shí)，需要考慮到勾股定理和兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積。此外，可以將勾股定理與全等三角形的知識(shí)結(jié)合起來(lái)，解決一些較為復(fù)雜的問(wèn)題。題型三：實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用勾股定理如圖所示，三角形ABC中，C為直角，AC=3，BC=4。以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積。解：我們可以通過(guò)勾股定理求出AB的長(zhǎng)度為5，然后計(jì)算出三角形ABC的面積為6，半圓的面積為(π/4+1)和(π/4+4)，因此陰影部分的面積為(π/4+1)+(π/4+4)-6=6。題型四：應(yīng)用勾股定理逆定理，判定一個(gè)三角形是否是直角三角形已知三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c，判定△ABC是否為直角三角形。①a=1.5，b=2，c=2.5根據(jù)勾股定理，a^2+b^2=c^2，代入數(shù)據(jù)得1.5^2+2^2=2.5^2，因此△ABC是直角三角形。②a=5，b=4，c=3同樣根據(jù)勾股定理，a^2+b^2=c^2，代入數(shù)據(jù)得5^2+4^2≠3^2，因此△ABC不是直角三角形。題型五：勾股定理與勾股定理的逆定理綜合應(yīng)用已知△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC邊上的中線(xiàn)AD=12cm，證明AB=AC。解：首先根據(jù)勾股定理得AC^2=AB^2+BC^2，代入數(shù)據(jù)得AC^2=169+100=269。然后根據(jù)中線(xiàn)定理得AD^2=(2BC^2+2AB^2-AC^2)/4，代入數(shù)據(jù)得AD^2=(2*100+2*169-269)/4=75。因此，根據(jù)勾股定理逆定理得AB^2=AD^2+BD^2，其中BD=BC/2=5，代入數(shù)據(jù)得AB^2=75+25=100，即AB=AC。證畢。經(jīng)典例題透析BDC類(lèi)型一：勾股定理的直接用法1、已知直角三角形ABC中，∠C=90°，求以下問(wèn)題：(1)已知a=6，c=10，求b；根據(jù)勾股定理得b^2=c^2-a^2=100-36=64，因此b=8。(2)已知a=40，b=9，求c；同樣根據(jù)勾股定理得c^2=a^2+b^2=40^2+9^2=1681，因此c=41。(3)已知c=25，b=15，求a；仍然根據(jù)勾股定理得a^2=c^2-b^2=25^2-15^2=400，因此a=20。類(lèi)型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用2、如圖，已知△ABC中，AB=5，AC=7，BD和CE分別是邊BC的中線(xiàn)和高，求BC的長(zhǎng)。我們可以先求出△ABC的面積S，根據(jù)BD和CE的定義得S=1/2*BC*BD=S=1/2*BC*CE，因此BD=CE，即BC為等腰三角形。然后根據(jù)勾股定理得BC^2=AB^2+AC^2=5^2+7^2=74，因此BC=√74。在公路MN上，點(diǎn)B在公路PQ上，且AB＝2km，AP＝3km，BP＝4km，求AB與MN的夾角。解：根據(jù)勾股定理，可得PN＝5km，由正弦定理得sin∠APN＝sin30°＝0.5，所以AN＝6km。再由余弦定理可得cos∠APB＝（32＋42－2×3×4×0.5）/（2×3×4）＝0.25，所以∠APB＝75.5°。最后，由余弦定理可得cosθ＝（22＋62－52）/（2×2×6）＝0.5，所以θ＝60°。所以AB與MN的夾角為75.5°－60°＝15.5°。分析：本題是關(guān)于勾股定理的應(yīng)用，需要根據(jù)所給條件求出各邊長(zhǎng)，然后再利用三角函數(shù)求出所需角度。改寫(xiě)：在一個(gè)夏令營(yíng)活動(dòng)中，小明從A點(diǎn)出發(fā)，先向北偏東60°方向走到達(dá)B點(diǎn)，再向北偏西30°方向走500m到達(dá)目的地C點(diǎn)?，F(xiàn)在需要求出A、C兩點(diǎn)之間的距離和目的地C在營(yíng)地A的方向。舉一反三，如果一輛高2.5米，寬1.6米的卡車(chē)要開(kāi)進(jìn)一個(gè)廠(chǎng)門(mén)，問(wèn)能否通過(guò)該廠(chǎng)門(mén)。另外，本題還涉及到勾股定理的逆定理，需要證明$a^2+b^2=c^2$。舉一反三，如果在一個(gè)圓柱體上，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，求出爬行的最短路程。最后，本題還需要利用三角函數(shù)求出AB與MN的夾角，需要根據(jù)勾股定理求出各邊長(zhǎng)。段邊長(zhǎng)分別為a和b，斜邊長(zhǎng)為c，則有a2+b2=c2；③在等腰直角三角形中，斜邊長(zhǎng)等于直角邊長(zhǎng)的根號(hào)2倍。其中正確的是（）A.①②③都正確B.①②正確，③錯(cuò)誤C.①正確，②③錯(cuò)誤D.②正確，①③錯(cuò)誤12.一架直升機(jī)從空中向下看，發(fā)現(xiàn)自己在離地面160m的高空中飛行。它向前飛行了一段距離，再次向下看，此時(shí)發(fā)現(xiàn)自己在離地面80m的高空中飛行。則這架直升機(jī)向前飛行的距離為（）A.80mB.120mC.160mD.240m解：根據(jù)勾股定理，直升機(jī)向前飛行的距離為$\sqrt{160^2-80^2}=120m$。總結(jié)升華：勾股定理是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的工具，可以用來(lái)求解直角三角形的邊長(zhǎng)或角度。在解題時(shí)，可以通過(guò)轉(zhuǎn)化的思想方法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題來(lái)解決，也可以通過(guò)方程的思想方法進(jìn)行求解。同時(shí)，需要注意題目中的單位和精度，以免計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤。1.正確的是（B）。2.這個(gè)三角形是直角三角形（C），因?yàn)楦鶕?jù)勾股定理，c為斜邊，而(a+b)2=c2+2ab。3.無(wú)需改寫(xiě)。4.兩個(gè)船相當(dāng)于