1.1.4投影與直觀圖第一章

§1.1空間幾何體學(xué)習(xí)目標(biāo)理解直觀圖的斜二測畫法規(guī)則，會(huì)畫常見幾何體的直觀圖.問題導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)檢測題型探究內(nèi)容索引問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)直觀圖與斜二測畫法(1)直觀圖用來表示空間圖形的

.(2)斜二測畫法的規(guī)則①在已知模型所在的空間中取水平平面，作互相垂直的Ox，Oy軸，再作Oz軸，使∠xOz＝

，且∠yOz＝

.②畫直觀圖時(shí)，把Ox，Oy，Oz畫成對(duì)應(yīng)的軸O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝

，∠x′O′z′＝

，x′O′y′所確定的平面表示水平平面.平面圖形90°90°45°(或135°)90°③已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于

、

或

的線段，并使它們和所畫坐標(biāo)軸的位置關(guān)系，與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系

.④已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中

，平行于y軸的線段，長度為

.⑤畫圖完成后，擦去作為輔助線的

，就得到了空間圖形的直觀圖.x′軸z′軸y′軸相同保持長度不變?cè)瓉淼囊话胱鴺?biāo)軸[思考辨析判斷正誤]1.用斜二測畫法畫水平放置的∠A時(shí)，若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中，∠A＝45°.(

)2.用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖時(shí)，平行的線段在直觀圖中仍平行，且長度不變.(

)3.在斜二測畫法中平行于y軸的線段在直觀圖中長度保持不變.(

)×××題型探究例1畫出如圖水平放置的直角梯形的直觀圖.類型一直觀圖的畫法解答解(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底邊OB所在直線為x軸，垂直于OB的腰OD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.畫出相應(yīng)的x′軸和y′軸，使∠x′O′y′＝45°，如圖(1)(2)所示.(2)在x′軸上截取O′B′＝OB，在y′軸上截取O′D′＝

OD，過點(diǎn)D′作x′軸的平行線l，在l上沿x′軸正方向取點(diǎn)C′使得D′C′＝DC.連接B′C′，如圖(2).(3)所得四邊形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直觀圖，如圖(3).

引申探究若將本例中的直角梯形改為等腰梯形，其直觀圖如何？解答解畫法：(1)如圖所示，取AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系.(2)畫對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.以O(shè)′為中點(diǎn)在x′軸上取A′B′＝AB，在y′軸上取O′E′＝

OE，以E′為中點(diǎn)畫出C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD.(3)連接B′C′，D′A′，所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖.

反思與感悟

(1)本題利用直角梯形互相垂直的兩邊建系，使畫直觀圖非常簡便.(2)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵之一，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，以便于畫點(diǎn).原圖中不平行于坐標(biāo)軸的線段可以通過作平行于坐標(biāo)軸的線段來作出其對(duì)應(yīng)線段.關(guān)鍵之二是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，借助于平面直角坐標(biāo)系確定頂點(diǎn)后，只需把這些頂點(diǎn)順次連接即可.跟蹤訓(xùn)練1

(1)用斜二測畫法畫邊長為4cm的水平放置的正三角形(如圖)的直觀圖.解答解①如圖a所示，以BC邊所在的直線為x軸，以BC邊上的高線AO所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

②畫出對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x′O′y′＝45°.(2)畫一個(gè)正四棱錐的直觀圖(尺寸自定).解答解①畫軸.如圖c，畫x軸、y軸、z軸，使∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°.②畫底面.以O(shè)為中心，在xOy平面內(nèi)，畫出正方形的直觀圖ABCD.③畫頂點(diǎn).在Oz軸上截取OS，使OS等于已知正四棱錐的高.④畫棱.連接SA，SB，SC，SD，擦去輔助線(坐標(biāo)軸)，得到正四棱錐S－ABCD的直觀圖，如圖d所示.類型二直觀圖的還原與計(jì)算解答命題角度1由直觀圖還原平面圖形例2如圖所示，△A′B′C′是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，將其還原成平面圖形.解

①畫出直角坐標(biāo)系xOy，在x軸的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②過B′作B′D′∥y′軸，交x′軸于點(diǎn)D′，在OA上取OD＝O′D′，過D作DB∥y軸，且使DB＝2D′B′；③連接AB，BC，得△ABC.則△ABC即為△A′B′C′對(duì)應(yīng)的平面圖形，如右圖所示.反思與感悟由直觀圖還原平面圖形的關(guān)鍵(1)平行于x′軸的線段長度不變，平行于y′軸的線段擴(kuò)大為原來的2倍.(2)對(duì)于相鄰兩邊不與x′、y′軸平行的頂點(diǎn)可通過作x′軸，y′軸平行線變換確定其在xOy中的位置.跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，C′D′＝2cm，則原圖形是____形.菱答案解析命題角度2原圖形與直觀圖的面積的計(jì)算例3如圖所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖.若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝

C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.試畫出原四邊形的形狀，并求出原圖形的面積.解答解如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.在過點(diǎn)D的y軸的平行線上截取DA＝2D1A1＝2.在過點(diǎn)A的x軸的平行線上截取AB＝A1B1＝2.連接BC，即得到了原圖形.由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長度分別為AB＝2，CD＝3，直角腰的長度AD＝2，反思與感悟

(1)由原圖形求直觀圖的面積，關(guān)鍵是掌握斜二測畫法，明確原來實(shí)際圖形中的高，在直觀圖中變?yōu)榕c水平直線成45°(或135°)角且長度為原來一半的線段，這樣可得出所求圖形相應(yīng)的高.跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，一個(gè)水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面積是答案解析√達(dá)標(biāo)檢測1.已知一個(gè)正方形的直觀圖是一個(gè)平行四邊形，其中有一邊長為4，則此正方形的面積為A.16 B.64C.16或64 D.無法確定1234解析等于4的一邊在原圖形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面積為16或64.答案解析√2.利用斜二測畫法畫出邊長為3cm的正方形的直觀圖，正確的是圖中的1234答案解析解析正方形的直觀圖應(yīng)是平行四邊形，且相鄰兩邊的邊長之比為2∶1.√1233.有一個(gè)長為5cm，寬為4cm的矩形，則其用斜二測畫法得到的直觀圖的面積為____cm2.4答案解析4.畫出水平放置的四邊形OBCD(如圖所示)的直觀圖.解答1234解(1)過點(diǎn)C作CE⊥x軸，垂足為E，如圖①所示，畫出對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x′O′y′＝45°，如圖②所示.(2)如圖②所示，在x′軸上取點(diǎn)B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′軸上取一點(diǎn)D，1234過E′作E′C′∥y′軸，連接D′C′，B′C′.(3)擦去坐標(biāo)軸及B′E′，E′C′，則所求四邊形OBCD的直觀圖如圖③所示.12341.畫水平放置的平面圖形的直觀圖，關(guān)鍵是確定直觀圖的頂點(diǎn).確定點(diǎn)的位置，可采用直角坐標(biāo)系.建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是迅速作出直觀圖的關(guān)鍵，常利用圖形的對(duì)稱性，并讓頂點(diǎn)盡量多地落在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的直線上.2.用斜二測畫法畫圖時(shí)要緊緊把握住：“一斜”、“二測”兩點(diǎn)：(1)一斜：平面圖形中互相垂直的Ox、