第六章曲線曲面投影方法第一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五1）點在空間作連續(xù)變換方向的運動軌跡

曲線的形成一般有下列三種方式：2）一條線（直線或曲線）運動過程中的包絡(luò)線6.1曲線概述6.1.1曲線的形成第二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五3）平面與曲面或兩曲面相交的交線必須指出：同一曲線可以由幾種不同的方法形成。如二次平面曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）既可看成是點運動的軌跡，又可看成是平面和圓錐面的交線。第三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五6.1.2曲線的分類1、按點的運動有無規(guī)律，曲線可分為規(guī)則曲線（如圓錐曲線、螺旋線等）和不規(guī)則曲線。2、按曲線上點的分布可分為兩類：1）平面曲線曲線上所有點都在同一平面上，如二次曲線、漸伸線等；2）空間曲線曲線上任一連續(xù)四個點不在同一平面上，如螺旋線等。第四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五1）曲線的投影一般仍為曲線，只有當(dāng)平面曲線所在平面平行于投射線時，投影為直線。在正投影條件下，該平面垂直于投影面時，曲線投影為直線

2）屬于曲線的點，其投影屬于曲線的投影，即點與曲線的從屬關(guān)系為曲線投影的不變性

3）代數(shù)曲線的投影，其次數(shù)不變。如二次曲線的投影仍為二次曲線

4）曲線切線（割線）的投影仍為其投影的切線（割線）

6.2.1曲線的投影

特性6.2曲線的投影

特性及其畫法第五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五6.2.2曲線的投影畫法一般情況下，曲線至少需要兩個投影才能確定出它在空間的形狀和位置。按照曲線形成的方法，依次求出曲線上一系列點的各面投影，然后把各點的同面投影順次光滑連接即得該曲線的投影。為了提高作圖準確性，應(yīng)盡可能作出曲線上特殊點（如極限位置點、分界點等）的投影，最好把這些特殊點以及重影點用字母標(biāo)注出來

第六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五Ａ、Ｃ、D、G均為特殊點B和F為對H面重影點E為一般點

第七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五6.3圓的投影

圓是最簡單的平面曲線

根據(jù)圓所在平面相對于投影面的位置不同，其正投影有如下三種情況（這里僅討論其Ｖ和Ｈ兩面投影）：

2.1圓所在平面為投影面平行面

2.2圓所在平面為投影面垂直面

2.3圓所在平面為一般位置平面

第八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五當(dāng)圓所在平面為投影面平行面時，圓在所平行的投影面上的投影反映該圓的實形。在另一投影面上的投影為直線，線段的長度等于圓的直徑6.3.1圓所在平面為投影面平行面第九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五6.3.2圓所在平面為投影面垂直面當(dāng)圓所在的平面為投影面垂直面時，圓在所垂直的投影面上的投影為直線，線段的長度等于其直徑。在另一投影面上的投影則為橢圓。

第十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五6.3.3圓所在平面為一般位置平面

當(dāng)圓所在平面為一般位置平面時，圓的兩個投影均為橢圓，但兩個橢圓的長、短軸是不同的，必須分別求解。橢圓的長軸應(yīng)為平行于該投影面的直徑的投影

短軸應(yīng)為對該投影面成為最大斜度線的直徑的投影

第十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五圓的投影-處于一般位置時圓的投影與作圖方法-最大斜度線法當(dāng)圓處于一般位置時，則在各投影面上的投影均為橢圓?？梢圆捎米畲笮倍染€法或變換投影面法來作圖。最大斜度線法第十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五圓的投影-處于一般位置時圓的投影與作圖方法-變換投影面法變換投影面法特別注意：水平投影的短軸gh和正投影的短軸gh并不一一對應(yīng)。第十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五方法二：利用投影變換法求橢圓長、短軸

第十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五6.4螺旋線6.4.1圓柱螺旋線

一點沿圓柱面直母線作等速直線運動，同時該母線又繞圓柱面軸線作等速回轉(zhuǎn)運動，則該點在空間的運動軌跡即為圓柱螺旋線

圓柱螺旋線的三要素

1：圓柱的直徑ｄ

2：導(dǎo)程Ph：當(dāng)動點所在直母線旋轉(zhuǎn)一周時，點沿該母線移動的距離稱為螺旋線的導(dǎo)程

第十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五

旋向：分為右旋、左旋兩種

右螺旋線的動點運動遵循右手定則，圖上（a)可見部分右邊高；左螺旋線的動點運動遵循左手定則，圖上(b)可見部分左邊高

第十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五作圖步驟

第十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五6.1.2圓錐螺旋線一點沿圓錐面直母線作等速直線運動，同時該母線又繞圓錐面軸線作等速回轉(zhuǎn)運動，則該點在空間的運動軌跡即為圓錐螺旋線

第十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五

曲面可以看作是一條線（直線或曲線）在空間作有規(guī)律或無規(guī)律的連續(xù)運動所形成的軌跡，或者說曲面是運動線所有位置的集合

如圖所示曲面，

是由AA１沿著曲線ABC運動且在運動中始終平行于直線MN所形成的

AA１稱為母線第十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五母線形狀可以是不變的，也可以是不斷變化的

母線在曲面上的任一位置稱為素線，無限接近的相鄰兩素線稱為連續(xù)兩素線

控制母線運動的點、線和面稱為定點、導(dǎo)線和導(dǎo)面它們統(tǒng)稱為導(dǎo)元素

第二十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五母線由導(dǎo)元素控制按照一定規(guī)律運動所形成的曲面稱為規(guī)則曲面

母線作不規(guī)則運動所形成的曲面稱為不規(guī)則曲面

同一曲面可以由多種方法形成，一般應(yīng)采用最簡單的母線來描述曲面的形成

第二十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五6.5曲面的投影

只要作出能夠確定曲面的幾何要素的必要投影，就可確定一個曲面，因為母線和導(dǎo)元素給定后，形成的曲面將唯一確定。

曲面的輪廓線就是在正投影條件下，包絡(luò)已知曲面的投射柱面與曲面的切線

當(dāng)曲面輪廓線與曲面的某些位置的素線重合時，這些母線稱為界限素線第二十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五

曲面的輪廓線對不同投影面各不相同。如圖所示，投射柱面與曲面的切線T稱為曲面對H面的輪廓線，ｔ′為曲面輪廓線的H投影。

第二十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五6.5.1曲面的分類

根據(jù)不同的分類標(biāo)準，曲面可以有許多不同的分類方法。如：按母線的形狀分類，曲面可分為直線面和曲線面；按母線的運動方式分類，曲面可分為移動面和回轉(zhuǎn)面；按母線在運動中是否變化分類，曲面可分為定母線面和變母線面；按母線運動是否有規(guī)律來分類，曲面可分為規(guī)則曲面和不規(guī)則曲面；按曲面是否能無皺折地攤平在一個平面上來分類，則可分為可展曲面和不可展曲面。

第二十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五一、直線面

1可展直線面

1）柱面

一直母線沿曲導(dǎo)線運動且始終平行于另一直導(dǎo)線而形成的曲面稱為柱面。柱面的相鄰兩素線為平行直線，位于同一平面內(nèi)，所以是可展曲面。

第二十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五作圖時，一般應(yīng)畫出導(dǎo)線和曲面的輪廓線，必要時還要畫出若干素線及其曲面的H面跡線

第二十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五第二十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五直圓柱面

aa

a第二十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五幾種柱面

直圓柱面斜圓柱面直橢圓柱面斜橢圓柱面

第二十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五4.1.2錐面

一直母線沿曲導(dǎo)線運動且始終通過一定點（錐頂）而形成的曲面稱為錐面。錐面的相鄰兩素線為過錐頂?shù)南嘟恢本€，位于同一平面內(nèi)，所以是可展曲面。第三十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五作圖時，一般只畫出錐頂、導(dǎo)線和曲面的輪廓線，必要時還要畫出若干素線及曲面的H面跡線

第三十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五第三十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五

正圓錐面

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ksk

k過錐頂作一條素線。第三十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五正圓錐面斜圓錐面正橢圓錐面斜橢圓錐面

第三十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五4.1.3切線面

一直母線在運動過程中始終與一空間曲導(dǎo)線相切而形成的曲面稱為切線曲面

切線曲面是可展直線面

第三十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五漸開線螺旋面

在作投影圖時，首先應(yīng)畫出其導(dǎo)線——圓柱螺旋線的投影（畫法詳見§７），然后沿導(dǎo)線取若干點，在各點處作出導(dǎo)線的一系列切線，即可求出H投影面跡線，在V面投影上應(yīng)保留輪廓線的投影。

第三十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五2）不可展直線面

柱狀面

一直母線沿兩條曲導(dǎo)線運動，并始終與一導(dǎo)平面平行，即形成了柱狀面

柱狀面是不可展曲面

第三十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五錐狀面

一直母線同時沿著一條直導(dǎo)線和一條曲導(dǎo)線運動，并始終與一導(dǎo)平面平行，即形成了錐狀面

錐狀面是不可展曲面

第三十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五雙曲拋物

一直母線沿著兩條相錯的直導(dǎo)線運動，并始終與一導(dǎo)平面平行，即形成了雙曲拋物面

雙曲拋物面上有兩個直素線族，而且相應(yīng)地有兩個導(dǎo)平面。這兩個導(dǎo)平面的交線（OZ軸）即為該曲面的軸線。若兩個導(dǎo)平面相互垂直，則稱為正雙曲拋物面，否則稱為斜雙曲拋物面。

雙曲拋物面的相鄰兩素線為相錯直線，所以是不可展曲面

第三十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五正雙曲拋物面斜雙曲拋物面第四十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五6.6

回轉(zhuǎn)曲面

母線繞一固定軸作回轉(zhuǎn)運動所形成的曲面稱為回轉(zhuǎn)曲面

固定軸稱為回轉(zhuǎn)軸在旋轉(zhuǎn)過程中，母線上任一點的軌跡都是圓，這些圓稱為緯線圓。其圓心在回轉(zhuǎn)軸上，且該圓與回轉(zhuǎn)軸垂直在這些緯線圓中，比相鄰兩側(cè)緯線圓都小的緯線圓稱為喉圓，比相鄰兩側(cè)都大的緯線圓稱為赤道圓。

第四十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五畫回轉(zhuǎn)曲面的投影圖時，通常使其軸線垂直于某一投影面，以便簡化作圖

由于母線可以是直線，也可以是曲線，故回轉(zhuǎn)曲面可以分為：

直線回轉(zhuǎn)面曲線回轉(zhuǎn)面

組合回轉(zhuǎn)面

第四十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五6.6.1直線回轉(zhuǎn)面

圓柱面

§４中介紹的直圓柱面可以認為是一直母線圍繞與之平行的軸線作回轉(zhuǎn)運動形成的，它是一般柱面的特殊形式。若一個矩形面圍繞其中一條邊回轉(zhuǎn)則形成圓柱體。

第四十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五

圓柱面上求點

aa

a第四十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五圓錐面

§４中介紹的正圓錐面可以認為是一直母線圍繞與之相交的軸線作回轉(zhuǎn)運動形成的，它是一般錐面的特殊形式。若一個直角三角形面圍繞其中一條直角邊回轉(zhuǎn)則形成圓錐體。

圓錐面上求點有兩種方法：素線法（§４介紹）

緯線圓法

第四十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五緯線圓法

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s●(n)s●n(n)●第四十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五單葉雙曲回轉(zhuǎn)面一直母線圍繞與之相錯的軸線作回轉(zhuǎn)運動即形成一單葉雙曲回轉(zhuǎn)面

單葉雙曲回轉(zhuǎn)面的相鄰兩素線為相錯直線，所以是不可展曲面

第四十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五6.6.2曲線回轉(zhuǎn)面

曲線回轉(zhuǎn)面屬于曲線面，所有的曲線面均為