2021年河北省石家莊市城關(guān)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知表示兩條不同直線，表示平面，下列說(shuō)法正確的是

A．若則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則

參考答案：B

：對(duì)于選項(xiàng)A：m、n平行、相交、異面都有可能；選項(xiàng)B顯然成立2.已知,則

A．

B。

C．

D。以上都不對(duì)參考答案：B略3.下列命題中，真命題是（

）A．

B．C．的充要條件是

D．是的充分條件參考答案：D4.執(zhí)行如圖的程序框，輸出的A為A.2047

B.2049

C.1023

D.1025參考答案：答案：A5.復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)的結(jié)果為

A.

B.

C.

D.參考答案：A6.已知平面向量，，且，則（

）A． B． C． D．參考答案：D7.已知單位向量滿足，則夾角為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C8.設(shè)函數(shù)，則（

）A．在區(qū)間內(nèi)均有零點(diǎn)B．在區(qū)間內(nèi)均無(wú)零點(diǎn)C．在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)D．在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)

參考答案：D，根據(jù)根的存在定理可知，選D.9.如果執(zhí)行右面所示的程序框圖，那么輸出的（A）2352（B）2450（C）2550（D）2652參考答案：C略10.以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書(shū)中的“楊輝三角形”．該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”的兩數(shù)之和，表中最后一行僅是一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)為（）A．2018×22016 B．2018×22015 C．2017×22016 D．2017×22015參考答案：B【考點(diǎn)】F1：歸納推理．【分析】數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列，且第一行公差為1，第二行公差為2，第三行公差為4，…，第2015行公差為22014，第2016行只有M，由此可得結(jié)論．【解答】解：由題意，數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列，且第一行公差為1，第二行公差為2，第三行公差為4，…，第2015行公差為22014，故第1行的第一個(gè)數(shù)為：2×2﹣1，第2行的第一個(gè)數(shù)為：3×20，第3行的第一個(gè)數(shù)為：4×21，…第n行的第一個(gè)數(shù)為：（n+1）×2n﹣2，第2017行只有M，則M=（1+2017）?22015=2018×22015故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由數(shù)表探究數(shù)列規(guī)律的問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

參考答案：答案：—1

12.已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)為F，過(guò)F的一條傾斜角為30°的直線與C在第一象限交于點(diǎn)A，且|OF|＝|OA|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為_(kāi)____．參考答案：【分析】利用已知條件求出|AF|＝c，|A|＝c，利用雙曲線定義求解即可．【詳解】過(guò)F的一條傾斜角為30°的直線與C在第一象限交于點(diǎn)A，且|OF|＝|OA|＝c，令右焦點(diǎn)為E，可知焦點(diǎn)三角形AFE為直角三角形，∴∠AOx＝60°，且|AF|＝c，|A|＝c由雙曲線的定義可得|AF|﹣|A|=2，∴，即e．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，主要是離心率的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．13.如圖，在正三棱柱中，D為棱的中點(diǎn)，若截面是面積為6的直角三角形，則此三棱柱的體積為

。參考答案：14.設(shè)是公比為的等比數(shù)列，且，則．參考答案：3因?yàn)榈墓葹?，所以，解得?5.設(shè)以為方向向量的直線的傾斜角為，則

參考答案：16.橢圓+=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F（c，0）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q在橢圓上，則橢圓的離心率是．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)出Q的坐標(biāo)，利用對(duì)稱(chēng)知識(shí)，集合橢圓方程推出橢圓幾何量之間的關(guān)系，然后求解離心率即可．【解答】解：設(shè)Q（m，n），由題意可得，由①②可得：m=，n=，代入③可得：，可得，4e6+e2﹣1=0．即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0解得e=．故答案為：．17.已知雙曲線的兩條漸近線均和圓C：x2+y2-6x+5=0相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知每一項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列滿足，．（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：；（2）證明：；（3）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．參考答案：（1）見(jiàn)解析;（2）見(jiàn)解析;（3）見(jiàn)解析.試題分析：（1）由于是隔項(xiàng)，所以先由求出與之間關(guān)系，并在利用歸納假設(shè)時(shí)，注意對(duì)稱(chēng)性，兩個(gè)式子同時(shí)運(yùn)用：，（2）奇數(shù)項(xiàng)隔項(xiàng)遞減，且最大值為，所以研究偶數(shù)項(xiàng)單調(diào)性：隔項(xiàng)遞增，且最小值為，（同（1）的方法給予證明），最后需證明，根據(jù)歸納可借助第三量，作差給予證明；（3）先探求數(shù)列遞推關(guān)系：，再利用等比數(shù)列求和公式得.（2）由（1）知，，所以，同理由數(shù)學(xué)歸納法可證，.猜測(cè)：，下證這個(gè)結(jié)論.因?yàn)?，所以與異號(hào).注意到，知，，即.所以有，從而可知.（3）所以所以19.（本小題滿分14分）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．圓.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與圓相交于兩點(diǎn)，問(wèn)是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：（1）解：∵橢圓過(guò)點(diǎn)，

∴.

…………1分

∵，

…………2分∴．

…………3分∴橢圓的方程為.

…………4分（2）解法1：由（1）知，圓的方程為，其圓心為原點(diǎn).………5分∵直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴方程組（*）

有且只有一組解．由（*）得．

……6分從而,化簡(jiǎn)得．①

…7分

，.……………9分∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

……10分由于，結(jié)合①式知，

∴.

……11分

∴與不垂直.

……12分

∴點(diǎn)不是線段的中點(diǎn).

……13分

∴不成立.

……14分解法2：由（1）知，圓的方程為，其圓心為原點(diǎn).

………5分∵直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴方程組（*）

有且只有一組解．由（*）得．

……6分從而,化簡(jiǎn)得．①

…7分

，

…………………8分由于，結(jié)合①式知，

設(shè),線段的中點(diǎn)為,

由消去,得.………………9分

∴.

……10分

若,得,化簡(jiǎn)得,矛盾.

………………11分

∴點(diǎn)與點(diǎn)不重合.

……12分∴點(diǎn)不是線段的中點(diǎn).

……13分

∴不成立.

……14分20.已知函數(shù).(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性；(Ⅱ)設(shè)，若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍.參考答案：解：(Ⅰ)

........2分(1)若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

(2)若，由得；由得函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.

............5分(Ⅱ)由題設(shè)，對(duì)任意的恒成立即對(duì)任意的恒成立即對(duì)任意的恒成立

..............6分由(Ⅰ)可知，若，則，不滿足恒成立

.............7分若，由(Ⅰ)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.

，又恒成立

，即

.............9分設(shè),則函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,,解得的取值范圍為

.............12分21.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，a1=1，a2a4=16，單調(diào)增數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，a4=b3，且6Sn=bn2+3bn+2（n∈N*）．（Ⅰ）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令（n∈N*），求使得cn＞1的所有n的值，并說(shuō)明理由．（Ⅲ）證明{an}中任意三項(xiàng)不可能構(gòu)成等差數(shù)列．參考答案：解：（Ⅰ）∵a2a4=a12q4=q4=16，q2=4，∵an＞0，∴q=2，∴an=2n﹣1∴b3=a4=8．∵6Sn=bn2+3bn+2①當(dāng)n≥2時(shí)，6Sn﹣1=bn﹣12+3bn﹣1+2②①﹣②得6bn=bn2﹣bn﹣12+3bn﹣3bn﹣1即（bn+bn﹣1）（bn﹣bn﹣1）=3（bn+bn﹣1）∵bn＞0∴bn﹣bn﹣1=3，∴{bn}是公差為3的等差數(shù)列．當(dāng)n=1時(shí)，6b1=b12+3b1+2，解得b1=1或b1=2，當(dāng)b1=1時(shí)，bn=3n﹣2，此時(shí)b3=7，與b3=8矛盾；當(dāng)b1=3時(shí)bn=3n﹣1，此時(shí)此時(shí)b3=8=a4，∴bn=3n﹣1．（Ⅱ）∵bn=3n﹣1，∴=，∴c1=2＞1，c2=＞1，c3=2＞1，＞1，＜1，下面證明當(dāng)n≥5時(shí)，cn＜1事實(shí)上，當(dāng)n≥5時(shí)，=＜0即cn+1＜cn，∵＜1∴當(dāng)n≥5時(shí)，Cn＜1，故滿足條件Cn＞1的所有n的值為1，2，3，4．（Ⅲ）假設(shè){an}中存在三項(xiàng)p，q，r（p＜q＜r，p，q，R∈N*）使ap，aq，ar構(gòu)成等差數(shù)列，∴2aq=ap+ar，即2?2q﹣1=2p﹣1+2r﹣1．∴2q﹣p+1=1+2r﹣p．因左邊為偶數(shù)，