等差數(shù)列的前項和概念解析1第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五1．已知等差數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，則它的前10項的和S10＝()CA．138B．135C．95D．232．在等差數(shù)列{an}中，已知S15＝90，那么a8等于()A．3B．4C．6D．12

C2第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五3．已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＋…＋a101＝0，則有()CA．a(chǎn)1＋a101＞0C．a(chǎn)1＋a101＝0B．a(chǎn)1＋a101＜0 D．a(chǎn)51＝514．在等差數(shù)列{an}中，已知a6＝a3＋a8，則前9項和S9

等于()DA．3B．2C．1D．05．在等差數(shù)列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn

表示數(shù)列{an}的前n項和，則S11＝()BA．18B．99C．198D．2973第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五重點等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)

(1)若{an}成等差數(shù)列，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…(k≥2)也成等差數(shù)列．難點求等差數(shù)列的前n項和Sn

的最值

(1)根據(jù)項的正負(fù)來定：若a1＞0，d＜0，則數(shù)列的所有正數(shù)項之和最大；若a1＜0，d＞0，則數(shù)列的所有負(fù)數(shù)項之和最?。?第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五5第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五

等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用例1：等差數(shù)列{an}的前

m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為()A．30B．170C．210D．260思維突破：(1)把問題特殊化，即令m＝1來解．(2)利用等差數(shù)列的前n項和公式Sn＝na1＋n(n－1)

2d進(jìn)行求解．6第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五(3)借助等差數(shù)列的前n項和公式Sn＝n(a1＋an)

2及性質(zhì)m＋n＝p＋q?am＋an＝ap＋aq

求解．

(4)根據(jù)性質(zhì)：“已知{an}成等差數(shù)列， 則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…(k≥2)成等差數(shù)列”解題．

(5)根據(jù)Sn＝an2＋bn求解．

(6)運(yùn)用等差數(shù)列求和公式，Sn＝na1＋n(n－1)

2d的變形式解題．7第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五解法一：取m＝1，則a1＝S1＝30，a2＝S2－S1＝70，∴d＝a2－a1＝40，a3＝a2＋d＝70＋40＝110，S3＝a1＋a2＋a3＝210.8第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五

由③－②及②－①結(jié)合④，得S3m＝210.

解法四：根據(jù)上述性質(zhì)，知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m

成等差數(shù)列． 故Sm＋(S3m－S2m)＝2(S2m－Sm)， ∴S3m＝3(S2m－Sm)＝210.9第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五解法五：∵{an}為等差數(shù)列，∴設(shè)Sn＝a·n2＋b·n，∴Sm＝am2＋bm＝30，S2m＝4m2a＋2mb＝100，∴S3m＝9m2a＋3mb＝210.解法六：由Sn＝na1＋n(n－1)

2d，10第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五B1－1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9＝()A．63B．45C．36D．27答案：C11第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五1－2.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S2＝2，S4＝10，則S6等于()CA．12B．18C．24D．42

等差數(shù)列前n項和的最值問題例2：在等差數(shù)列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn

的最值．12第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五

等差數(shù)列前n項和的最值問題除了用二次函數(shù)求解外，還可利用下面的方法討論：①若d＞0，a1＜0，當(dāng)且僅當(dāng)an≤0且an＋1＞0時，Sn有最小值；②若d＜0，a1＞0，當(dāng)且僅當(dāng)an≥0且an＋1＜0時，Sn

有最大值．取最值時，應(yīng)考慮n在正整數(shù)范圍內(nèi)取值．由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)n＝13時，Sn有最大值為169.13第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五2－1.數(shù)列{an}是首項為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且第六項為正，第七項為負(fù)．(1)求數(shù)列的公差；(2)求前n項和Sn的最大值；(3)當(dāng)Sn＞0時，求n的最大值．14第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五S6＝6×23＋，(2)∵d＜0，∴數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，又a6＞0，a7＜0，∴當(dāng)n＝6時，Sn

取得最大值，6×5 2×(－4)＝78.(3)Sn＝23n＋n(n－1)

2×(－4)＞0，整理得：n(25－2n)＞0，∴0＜n＜25 2又n∈N*，所求n的最大值為12.15第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五

等差數(shù)列前n項和的實際應(yīng)用 例3：一個等差數(shù)列的前10項之和100，前100項之和為10，求前110項之和．解法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和Sn，則16第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五17第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五解法二：設(shè)等差數(shù)列的前n項和為Sn＝An2＋Bn，18第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五解法三：設(shè)等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，19第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五∴S110＝－110.20第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五

3－1.(2010年浙江)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，前n項和為Sn，滿足S5S6＋15＝0. (1)若S5＝5，求S6

及a1；

(2)求d的取值范圍．21第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五(2)∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2＋9da1＋10d2＋1＝0.故(4a1＋9d)2＝d2－8.∴d2≥8.22第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五

例4：已知一個等差數(shù)列{an}的通項公式an＝25－5n，求數(shù)列{|an|}的前n項和Sn.23第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五

錯因剖析：解本題易出現(xiàn)的錯誤就是：(1)由an≥0得，n≤5理解為n＝5，得出結(jié)論：Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝50(n≤5)，Sn＝(20－5n)(n－5)

2；(2)把“前n項和”認(rèn)為“從n≥6起”的和．事實上，本題要對n進(jìn)行分類討論．正解：由an≥0得n≤5，∴{an}前5項為非負(fù)，從第6項起為負(fù)，當(dāng)n≥6時，24第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五4－1.已知Sn

為等差數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝12n－n2.(1)求|a1|＋|a2|＋|a3|；(2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|；(3)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.25第二十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五解：∵Sn＝12n－n2，∴當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝12－1＝11，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(12n－n2)－12(n－1)＋(n－1)2＝13－2n，當(dāng)n＝1時，13－2×1＝