雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)實(shí)錄（課前1分鐘，播放片頭，包括各種物體及音樂）教師：前面我們學(xué)習(xí)了橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，并研究了這一圓錐曲線的幾何性質(zhì)。在剛才的片頭中,我們還看到了許多物體，它們的外形是多種形式的優(yōu)美曲線。今天我們來研究其中的一種曲線。學(xué)生：（興奮、疑惑、有求知欲）（情境設(shè)置：片頭中的一幅圖片，火力發(fā)電廠通風(fēng)塔）教師：這是火力發(fā)電廠的通風(fēng)塔，它的截面輪廊線是什么曲線？（演示通風(fēng)塔截面圖）教師：這種曲線我們似曾相識(shí)，初中代數(shù)中我們學(xué)習(xí)的反比例函數(shù)，它的圖象就是這樣的曲線。（作出圖象）為了使大家觀察得更清楚，我們將的圖象旋轉(zhuǎn)45°。（旋轉(zhuǎn)后又重新建立新的坐標(biāo)系給出圖象）教師：（適時(shí)提出）它是什么曲線？學(xué)生：（回應(yīng)熱烈）雙曲線教師：很好（板書）雙曲線教師：通風(fēng)塔的截面輪廓線是雙曲線的一部分，物理中雙曲線型旋轉(zhuǎn)體的通風(fēng)效果是最好的。（設(shè)計(jì)感悟：片頭中的圖片直觀，引起學(xué)生對(duì)這課堂的興趣，同時(shí)對(duì)雙曲線有一個(gè)感性認(rèn)識(shí)。演示通風(fēng)塔截面圖，從具體到抽象，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，有利于認(rèn)識(shí)事物。旋轉(zhuǎn)后再建系，這樣符合建系的原則，又為后面推導(dǎo)雙曲線方程中建系埋下一個(gè)伏筆。另外還注意了物理知識(shí)的滲透。）教師：雙曲線是怎樣形成的？我們一起來探索一下。（邊演示實(shí)驗(yàn)，邊講解）教師：先來做一個(gè)實(shí)驗(yàn)：取一條拉鏈，拉開它的一部分，（動(dòng)畫1）在拉開的一邊上取其端點(diǎn)，在另一邊的中間部分取一點(diǎn)，分別固定在、兩點(diǎn)處，使一邊比另一邊多出。（動(dòng)畫2）在拉動(dòng)的過程中，我們看到點(diǎn)M隨之變，選擇拉鏈的好處是使得與增加的長度相同，都是藍(lán)色部分。教師：為了顯示的更直觀，將與平移放到下面來，再觀察一次。（重新演示動(dòng)畫2）教師：我們看到與增加的長度相同，但是它們的差總保持不變，是這一段紅色的部分。教師：（補(bǔ)充）是一個(gè)常數(shù)。教師：（演示動(dòng)畫3）將筆尖放在點(diǎn)處，隨著拉鏈的逐漸合攏或拉開，筆尖就畫出右邊的一條曲線。此時(shí)大于，且差保持不變，是一個(gè)常數(shù)。若，互換位置，會(huì)得到怎樣的曲線呢？學(xué)生：（思考）教師：（演示動(dòng)畫4）這樣又得到了左邊的這條曲線，此時(shí)小于，它們的差的絕對(duì)值保持不變。教師：想一想，在剛才的實(shí)驗(yàn)中，動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值保持怎樣的關(guān)系？學(xué)生1：是一個(gè)定值。教師：也就是一個(gè)常數(shù)，很好。教師：再想一想，這個(gè)常數(shù)與大小關(guān)系怎樣？學(xué)生2：小于教師：回答得非常好。你是通過哪個(gè)幾何圖形看出的？學(xué)生：三角形教師：三角形兩邊之差總小于第三邊。教師：接著，我們?cè)傧胍幌耄c大小關(guān)系與點(diǎn)的位置有何關(guān)系?學(xué)生3：當(dāng)大于時(shí)，點(diǎn)在右支；當(dāng)小于時(shí)，點(diǎn)在左支。教師：上面左右兩支合起來叫做雙曲線。（設(shè)計(jì)感悟：選取拉鏈實(shí)驗(yàn)好處是點(diǎn)不斷運(yùn)動(dòng)，但始終滿足差的絕對(duì)值為常數(shù)。跟蹤得軌跡是雙曲線，這是辯證唯物主義觀點(diǎn)的運(yùn)用，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律也是可以被學(xué)生掌握和應(yīng)用的。逐個(gè)的演示動(dòng)畫1到4，將實(shí)驗(yàn)細(xì)化，更清楚更直觀。）教師：根據(jù)模擬實(shí)驗(yàn)，以及橢圓的定義，你能否給雙曲線下一個(gè)定義呢？橢圓的定義是怎樣的？師生：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。教師：那么雙曲線定義呢？學(xué)生4：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。教師：回答得非常好。（板書）定義，用紅色字打出“差的絕對(duì)值”，“”教師：橢圓定義中和為常數(shù)，記為，雙曲線中差的絕對(duì)值為常數(shù)，我們也記為；所不同的是雙曲線中常數(shù)小于，橢圓中常數(shù)大于；同樣這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距，記為。教師：雙曲線滿足動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)，用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示為——（板書）(且）教師：由定義知道，差的絕對(duì)值為常數(shù)，能否大于或等于呢？我們來討論一下這三種情況的點(diǎn)的軌跡。問題1、若，點(diǎn)M的軌跡是什么？學(xué)生5：雙曲線。教師：符合雙曲線的定義。問題2、若，點(diǎn)M的軌跡是什么？學(xué)生5：是線段教師：若，即，、、、這三點(diǎn)不構(gòu)成三角形，這三點(diǎn)共線。剛才他說是線段，點(diǎn)在哪兒？師生：在、之間。教師：這樣可能嗎？不可能。點(diǎn)在哪兒？哪位同學(xué)補(bǔ)充一下？學(xué)生6：是射線教師：幾條？學(xué)生6：兩條。問題3、若，點(diǎn)的軌跡是什么？學(xué)生7：是橢圓教師：橢圓定義中是到兩定點(diǎn)的距離“之和”為常數(shù)，我們這里是“之差”滿不滿足橢圓定義？師生：不滿足。教師：不是橢圓，教師：當(dāng)時(shí)，、、這三點(diǎn)構(gòu)成三角形；當(dāng)時(shí)，這三點(diǎn)共線；當(dāng)時(shí)，既不構(gòu)成三角形，又不共線。那么——師生：軌跡不存在（設(shè)計(jì)感悟：三個(gè)問題的設(shè)計(jì)，使學(xué)生對(duì)雙曲線定義中2a與2c的關(guān)系，更進(jìn)一步理解。）教師：復(fù)雜的曲線可以通過建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系得到簡單對(duì)稱的曲線方程，如橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，那么雙曲線方程如何？教師：我們用求曲線方程的一般步驟，類比于橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程，來共同推導(dǎo)雙曲線的方程。第一步是——師生：建系設(shè)點(diǎn)教師：你準(zhǔn)備如何建系？學(xué)生8：以、它們的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系。設(shè)點(diǎn)是雙曲線上任一點(diǎn)，，，教師：這樣建系設(shè)點(diǎn)不僅滿足雙曲線的對(duì)稱性，而且還使得所設(shè)未知數(shù)、參數(shù)盡可能少且具有直觀性。很好。教師：第二步寫出幾何條件，第三步根據(jù)幾何條件以及兩點(diǎn)間的距離公式列出方程，第四步化簡方程。請(qǐng)同學(xué)們類比于橢圓方程推導(dǎo)過程來完成。（學(xué)生積極思考，認(rèn)真演算）教師：（在學(xué)生討論過程中）對(duì)于這個(gè)方程的化簡，主要任務(wù)是去掉什么？學(xué)生：去根號(hào)學(xué)生9：先移項(xiàng)，再平方教師：含兩個(gè)根式時(shí)，將一個(gè)移項(xiàng)，再平方學(xué)生9：再一次平方得：教師：很好。在橢圓方程簡化中我們也遇到了類似的一個(gè)方程，我們是怎么處理？師生：設(shè)字母教師：我們引入一個(gè)字母,使，因?yàn)闄E圓中大于。我們能否也引入一個(gè)量，哪位同學(xué)出出主意？學(xué)生10：設(shè)=教師：雙曲線中與關(guān)系？學(xué)生10：大于教師：這個(gè)方法很可行，因?yàn)槭且粋€(gè)正數(shù)，所以令=此時(shí)即可化簡，結(jié)果是——師生：教師：這個(gè)方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。它所表示的雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，其中，（板書）標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)在x軸上教師：如果我們以F1F2所在的直線為y軸，即焦點(diǎn)在y軸上，它的標(biāo)準(zhǔn)方程怎樣？學(xué)生：教師：與橢圓中類似，由坐標(biāo)變換思想，互換的位置即可得焦點(diǎn)在y軸上的方程。（板書）焦點(diǎn)在y軸上，教師：標(biāo)準(zhǔn)方程形式上與橢圓類似，右邊為1，左邊為平方差的形式，而橢圓左邊為和的形式。兩個(gè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程形式相似，但焦點(diǎn)的位置不同，如何判定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上？例1判斷下列雙曲線方程焦點(diǎn)的位置①②③④學(xué)生10：①②焦點(diǎn)在x軸上，③④焦點(diǎn)在y軸上。教師：④是標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？學(xué)生：不是標(biāo)準(zhǔn)方程。教師：你能不能將它化為標(biāo)準(zhǔn)方程？學(xué)生10：同時(shí)乘-1，得就是方程③。教師：你能不能幫我們歸納一下，在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中如何判斷雙曲線焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上？學(xué)生10：如果項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在軸上。教師：他給了我們一個(gè)判定雙曲線焦點(diǎn)位置的方法，而橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，通過比較即分母大小來判定焦點(diǎn)的位置。教師：把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程作一下比較。首先，從方程形式上看有什么不同？學(xué)生11：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中距離差“-”，有別于橢圓中距離和“+”，教師：三者關(guān)系有什么不同？學(xué)生11：雙曲線中；有別于橢圓方程中，教師：焦點(diǎn)位置判定方法不同（設(shè)計(jì)感悟：學(xué)生自行推導(dǎo)方程教師進(jìn)行指導(dǎo)，又推導(dǎo)焦點(diǎn)在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程形式進(jìn)行區(qū)別，教師適時(shí)提出問題：如何判斷雙曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上？從而突破難點(diǎn)，正確區(qū)別兩個(gè)不同的標(biāo)準(zhǔn)方程形式。）教師：我們來做幾個(gè)練習(xí)，熟悉雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程。例2填空題(1)已知雙曲線方程，則①=,=,=②焦點(diǎn)在軸上，其坐標(biāo)為，焦距為(2)如果橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同，那么=教師：先看第1題，快速作答。學(xué)生12：軸，（-5，0）（5，0），焦距為10教師：接著計(jì)算一下第（2）題學(xué)生13：=教師：雙曲線焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上？學(xué)生13：在軸上。教師：等于多少？教師：在橢圓的焦點(diǎn)也應(yīng)在軸上，那么等于——學(xué)生13：教師：等于5，則為9，等于3，因?yàn)榇笥?（設(shè)計(jì)感悟：鞏固雙基，信息反饋）例2已知一動(dòng)圓過定點(diǎn)且與已知圓相外切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程學(xué)生：（思考）教師：點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)是兩個(gè)定點(diǎn)，且在軸上對(duì)稱的兩點(diǎn)；圓和圓相外切，兩圓相外切，能得到什么條件？師生：圓心距等于半徑之和。教師：即，點(diǎn)到點(diǎn)的距離之差是——學(xué)生：是常數(shù)教師：點(diǎn)的軌跡是什么？學(xué)生：雙曲線教師：我們跟蹤一下它的軌跡來看一看（演示跟蹤軌跡）教師：當(dāng)我們知道曲線的屬性，就可以用待定系數(shù)法求方程，關(guān)鍵是求學(xué)生14：P點(diǎn)的軌跡方程為教師：還需要什么條件？學(xué)生14：教師：要注意討論軌跡的范圍教師：我們利用雙曲線的定義得到了它的方程。（設(shè)計(jì)感悟：更進(jìn)一步的掌握雙曲線的定義，用待定系數(shù)法求方程。）教師：雙曲線與橢圓有區(qū)別又有聯(lián)系，我們通過一個(gè)表格來比較異同點(diǎn)。我們橫向來填空。（教師與學(xué)生一起來完成表格）

橢圓雙曲線定義圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)位置與標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系比較分母大小若項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；若項(xiàng)的系數(shù)是正的，焦點(diǎn)在y軸上。關(guān)系（設(shè)計(jì)感悟：