朱老師初二（上）數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義-4-第三講全等三角形的相關(guān)模型【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：手拉手模型特點(diǎn)：由兩個等頂角的等腰三角形所組成，并且頂角的頂點(diǎn)為公共頂點(diǎn)結(jié)論：（1）△ABD≌△AEC（2）∠α+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC變形：要點(diǎn)二：角平分線模型特點(diǎn)：由角平分線構(gòu)成了的兩個三角形。結(jié)論：（1）△AFG≌△AEG（2）FG=GE變形：要點(diǎn)三：半角模型特點(diǎn)：結(jié)論：（1）MN=BM+DN（2）△CMN的周長=2AB（3）AM、AN分別平分∠BMN和∠DNM變形：要點(diǎn)四：等腰直角三角形模型1.在斜邊上任取一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)全等操作過程：（1）將△ABD逆時針旋轉(zhuǎn)90°，使△ACM≌△ABD，從而推出△ADM為等腰直角三角形。（2）過點(diǎn)C作BC⊥MC，連AM導(dǎo)出上述結(jié)論2.定點(diǎn)是斜邊中點(diǎn)，動點(diǎn)在兩直角邊上滾動的旋轉(zhuǎn)全等操作過程：連AD.（1）使BF=AE（或AF=CE），導(dǎo)出△BDF≌△ADE（2）使∠EDF+∠BAC=180°，導(dǎo)出△BDF≌△ADE3.將等腰直角三角形補(bǔ)全為正方形，如下圖：要點(diǎn)五：雙垂直模型特點(diǎn)：圖形中包含兩條垂線，且有一組邊或角相等。結(jié)論：若AD=BD,則BH=AC變形：∠1=∠2，則AE=AF∠1=∠2，∠BAP=∠DAP，則AE=AF，AP⊥CF2、在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，若E、F分別在邊BC、CD且上，滿足EF=BE+DF.求證：例4（等腰直角三角形模型）：等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)M、N在斜邊BC上滑動，且∠MAN=45°，試探究BM、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系。舉一反三：1、兩個全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC，如圖所示放置，E、A、C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD，取BD的中點(diǎn)M，連接ME、MC，試判斷△EMC的形狀，并證明你的結(jié)論。2.如圖，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，滿足PB=PC，AP=AC。求證：BCP=15°例5(雙垂線模型)：如右圖，△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交點(diǎn)，則線段BH的長度為。舉一反三：1、如圖14-1，在△ABC中，BC邊在直線L上，AC⊥BC,且AC=BC。△EFP的邊FP也在直線L上，邊EF與AC重合，且EF=FP.(1)猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）將△EFP沿直線L向左平移至圖14-2的位置時，EP交AC于點(diǎn)Q，連接AP、BQ，則BQ與AP滿足什么樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請猜想并證明；（3）將△EFP沿直線L向左平移至圖14-3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點(diǎn)Q，連接AP、BQ，你認(rèn)為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？例6（三垂線模型）：如圖所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為AC中點(diǎn)，AF⊥BD于E，交BC于F，連接DF.求證：∠ADB=∠CDF.舉一反三：如圖所示，在△ABC中，AB=AC，AM=CN，AF⊥BM于E，交BC于F，連接NF.求證：①∠ADB=∠CDF；②BM=AF+FN2、如圖所示，在△ABC中，AB=AC，AM=CN，AF⊥BM于E，交BC于F，連接NF，并分別延長BM和FN交于點(diǎn)P.求證：①PM=PN；②PB＝PF+AF【鞏固練習(xí)】如圖，在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，BC=CD，，求證：AC平分BAD.2、如圖,AB＞AC，∠A的平分線與BC的垂直平分線相交于D，自D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：BE=CF．3、如圖所示，在△ABC中，BC邊的垂直平分線DF交△BAC的外角平分線AD于點(diǎn)D，F(xiàn)為垂足，DE⊥AB于E，并且AB>AC。求證：BE－AC=AE。4、如圖，D、E、F分別是△ABC的三邊上的點(diǎn)，CE=BF，且△DCE的面積與△DBF的面積相等，求證：AD平分∠BAC。5、如圖，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。6、如圖，在△ABC中，∠BAC的角平分線AD交BC于D，且AB=AD,作CM⊥AD的延長線與M，求證：7、如圖，在△ODC中，∠D=90°，CE是∠DCO的角平分線，且OE⊥CE，過點(diǎn)E作FF⊥OC交OC于點(diǎn)F，猜想：線段OD與EE之間的關(guān)系，并證明。8、如圖，BD、CE分別是△ABC的外角平分線，過點(diǎn)A作AD⊥BD,AE⊥CE,垂足分別是D、E，連接DE.求證：（1）DE∥BC，且（2）若BD、CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線（如圖2），其他條件不變，則線段FG與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（3）若BD為△ABC的內(nèi)角平分線，CE為△ABC的外角平分線（如圖3），則線段FG與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？9、如圖，在△ABC中，AD是BAC的外角平分線，P是AD上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說明理由。10.如圖，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O為BC中點(diǎn)，若M、N分別在線段AC、AB上移動，且在移動中保持AN=CM.（1）判斷△OMN的形狀，并證明你的結(jié)論.(2)當(dāng)M、N分別在線段AC、AB上移動時，四邊形AMON的面積如何變化？11.在正方形ABCD中，BE=3，EF=5，DF=4，求∠BAE+∠DCF=?13.如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=2∠ABC，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，滿足PB=PC，AP=AC。求證：∠2=2∠114.如