2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義NO.1課堂強(qiáng)化名師課堂·一點(diǎn)通考點(diǎn)三課前預(yù)習(xí)·巧設(shè)計(jì)創(chuàng)新演練·大沖關(guān)第二章平面向量考點(diǎn)一考點(diǎn)二讀教材·填要點(diǎn)小問(wèn)題·大思維解題高手NO.2課下檢測(cè)2.4平面向量的數(shù)量積[讀教材·填要點(diǎn)]1．平面向量數(shù)量積的定義已知兩非零向量a與b，它們的夾角為θ，則把數(shù)量

叫做a與b的

(或

)，記作

，即

.規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為

.2．向量的數(shù)量積的幾何意義

(1)投影：|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量

方向上(方向上)的投影．

(2)幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影

的乘積．|a||b|·cosθa·b＝|a||b|cosθ0數(shù)量積內(nèi)積a在bb在a|b|cosθa·ba·b＝0|a||b||a||b||a|2

≤

4．向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝

(交換律)．(2)(λa)·b＝

＝

(結(jié)合律)．(3)(a＋b)·c＝

(分配律)．b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c[小問(wèn)題·大思維]1．向量的數(shù)量積與數(shù)乘向量的運(yùn)算結(jié)果有何區(qū)別？提示：向量的數(shù)量積a·b是一個(gè)實(shí)數(shù)；數(shù)乘向量λa是一個(gè)向量．2．投影是向量還是數(shù)量？提示：投影是數(shù)量而不是向量，它可正、可負(fù)、可為零．3．對(duì)于向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立嗎？提示：不一定成立，∵若(a·b)·c≠0，則它與c共線(xiàn)，而a·(b·c)≠0時(shí)與a共線(xiàn)，而a與c不一定共線(xiàn)，故該等式不一定成立．4．若a，b是非凱零向截量，支則|a·妖b|＝|a||b|一定高成立興嗎？提示封：不一譜定．酷因?yàn)閍·清b＝|a||b|c伴osθ，所仿以只稅有|co聯(lián)sθ|＝1，即a，b共線(xiàn)上時(shí)才役成立夫．5．若a，b，c是非喪零向模量，繼且a·拿c＝b·還c，則a＝b一定雜成立偷嗎？提示副：不一銅定．洗由a·耽c＝b·儲(chǔ)c可得c·(a－b)＝0?a－b＝0或c⊥(a－b)．[研一鏟題][例1]已知a，b的夾速角為θ，|a|＝2，|b|＝3，分胳別在規(guī)下列結(jié)條件送下求a·因b.(1泄)θ＝13孩5°；(2伍)a∥b；(3蔬)a⊥b.若本切例條須件變艦為“θ＝12敞0°銹”，試皺求(2a－b)·圾(3a＋2b)．[悟一房誠(chéng)法]求平摸面向因量數(shù)咱量積劫的步椅驟是嫂：①冤求a與b的夾深角θ，θ∈[0，π]；②肢分別慨求|a|和|b|；③很求數(shù)魚(yú)量積貫，即a·競(jìng)b＝|a||b|·委co嫂sθ，要冠特別特注意居書(shū)寫(xiě)角時(shí)a與b之間畫(huà)用實(shí)四心圓綿點(diǎn)“·”連接深，而矩不能帶用“×”連接津，也殺不能光省去翠．[通一山類(lèi)][研一司題][例2]已知新單位找向量e1，e2的夾鋼角為60鄰°，求緒向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夾亭角．[悟一炸法][通一傘類(lèi)]2．已蹄知a、b是兩碰個(gè)非近零向賭量，擋且|a|＝|b|＝|a＋b|，求a與a－b的夾津角．[研一令題][例3]已知|a|＝7，|b|＝4，|a＋b|＝9，求|a－b|.[悟一壞法]1．處棵理模失的計(jì)巧算問(wèn)良題時(shí)獲，一型般是服將模壁平方袖轉(zhuǎn)化劫為向疊量的悲運(yùn)算露進(jìn)行汪處理正．2．由|a＋b|2＝a2＋2a·該b＋b2，|a－b|2＝a2－2a·喜b＋b2相加怠可得|a＋b|2＋|a－b|2＝2(景|a|2＋|b|2)．其等幾何止意義弄是平瞞行四湯邊形甩兩條尸對(duì)角鏡線(xiàn)的結(jié)平方她和等閣于其菌四邊堆的平獅方和池．[通一找類(lèi)]3．設(shè)灶向量a，b，c滿(mǎn)足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，則|a|2＋|b|2＋|c|2的值室是__鄰__豆__帽__．解析外：法燃一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·請(qǐng)(－