主要內容初等變換的定義初等矩陣三種特殊矩陣第一節(jié)矩陣的初等變換初等變換應用(第j行的k倍加到第

i

行上,記作ri+krj).

一、初等變換的定義定義1

下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:(i)

對調兩行(對調i,j

兩行,記作ri

rj

);(ii)

以數(shù)

k

0乘以某一行中的所有元素

(第

i

行乘以

k,記作

kri

);(iii)

把某一行所有元素的

k倍加到另一行對應的元素上去把定義中的“行”換成“列”,即得矩陣的初等列變換的定義.矩陣的初等行變換與初等列變換，統(tǒng)稱為稱初等變換.注：（1）矩陣的初等變換與行列式的初等變換不同。矩陣之間的變換用箭頭鏈接。（2）初等變換后矩陣的型不變。（3）初等變換都是可逆變換。定義2：如果矩陣A經有限次初等變換變成矩陣B,就稱矩陣A與B等價,記作A~B.二、三種特殊矩陣1、定義3：稱一個矩陣是（行）階梯形矩陣，

(1)

零行在非零行的下面；

(2)

每個非零行的第一個非零元素均位于

上一行第一個非零元素的右邊。指是其滿足如下兩個條件：

例如

2簡單階梯形矩陣和標準形矩陣

定義4

一個矩陣若滿足

(1)

它是階梯形矩陣;

(2)

每個非零行的第一個非零元素為1;

(3)每個非零行的第一個非零元素所在列矩陣.其它位置的元素都為零,則稱這個矩陣為標準形

定義5

如果一個矩陣的左上角為單位矩陣,的其它元素全為零,則稱之為簡單階梯形矩陣.

定理1

任何矩陣都可經過有限次初等行變

下面我們還是通過例子來說明該定理.化為簡單階梯形矩陣，最后可經過有限次初等換化為階梯形矩陣，

再經過有限次初等行變換舉例說明

列變換化為標準形矩陣。

用初等行變換將矩陣A化為階梯形矩陣、簡單階梯形矩陣。例1階梯形矩陣簡單階梯形矩陣用初盯等行致變換隸將矩限陣A化為栽階梯腿形矩伍陣、欺簡單統(tǒng)階梯物形矩滋陣。鋪并用茄初等禾變換近將其皮化為朵標準迅形。練習2三種鐮初等哄變換脂對應君著三牧種初煙等矩字陣.1.定義6由單煎位矩相陣E經過選一次譽初等變換緊得到婚的矩避陣稱剖為初等施矩陣.三初艷等矩諒陣等矩弊陣,記為E(rirj)第i

行第

j

行1)對換礦兩行?；驅ε該Q兩也列把單抹位矩壁陣中剪第i,j兩行北對換(rirj),得初第i列第j列第i

行2)以數(shù)k猶0乘某獵行或最某列以數(shù)k棉0乘單肯位矩孕陣E的第i行闊(rik)橫,得初霸等矩蹦陣,株記常為E(隨kri).第

i行第

j

行3)以數(shù)k乘某話行(列)加到滅另一將行(列)上去把單敬位矩黨陣E的第j行的k倍加基到第i行所嘗得的塌初等矩澤陣記丈為E（ri+k冠rj）A的右啊邊乘閘以相完應的n階初疏等矩饒陣.1)2)3)2.初等票矩陣遣的性饞質定理2設A是一很個mn矩陣,對A施行劈燕一次初架等行篇變換,相當優(yōu)于在A的左鳥邊乘簽以相芳應的m階初誘等矩切陣;對A施行鴨一次庭初等借列變濟換,相當留于在推論初等弊矩陣界都是那可逆甘矩陣,且例3則必豆有：（A）（B）（C）（D）四初凈等變款換的納應用匹：求逆辛矩陣定理3：可腫逆矩嚼陣經慣過初塑等行鮮變換招變成孫的簡單階漢梯形極矩陣乎一定償是單弟位矩膏陣。設A是n階可巧逆矩舊陣，估由定勵理3知，偵存在隨一系醒列初黑等行積變換滑把A變成最了單乞位矩閥陣。蔽再由帆定理2知，斥存在至一系單列初卡等矩坑陣敞使得對上技式右視乘聽，塔得我們梅可以國采用歇下列茂形式烘求A-1：并排放棒在一諸起，標組成蜂一個n商2n矩陣(A,E)踩.對矩陣(A,E)作一禮系列配的行絡初等革變換懷，將閉其左勾半部分哥化為單越位矩趙陣E，這殲時其閉右半咱部分臭就是