向量幾何運算專題一．解答題（共21小題）1．已知△ABC中，過重心G的直線PQ交線段AB于P，交線段AC于Q，連結AG并延長交BC于點D，設AB→=a→，AC→=b→，△APQ（1）用a→，b→表示（2）求S12．如圖所示，△ABC中，AB→=a→，AC→=b→，D為AB的中點，E為CD上的一點，且DC＝4（1）用向量a→，b→表示（2）用向量a→，b→表示AF→，并求出AE：EF和BF3．已知△ABC中，過重心G的直線交邊AB于P，交邊AC于Q，設△APQ的面積為S1，△ABC的面積為S2，AP→=pPB（1）求證：1p（2）求S14．在△ABC中，D是線段AB上靠近B的一個三等分點，E是線段AC上靠近A的一個四等分點，DF→=4FE→，設AB（1）用m→，n→表示（2）設G是線段BC上一點，且使EG∥AF，求|CG5．如圖，已知△OCB中，B、C關于點A對稱，D是將OB分成2：1的一個內分點，DC和OA交于點E，設OA→（1）用a→，b→表示向量（2）若OE→=λOA6．如圖所示，在△ABC中，點M是AB的中點，且AN→=12NC→，BN與CM相交于點E，設AB→=a7．如圖，G為△OBC的重心，PQ為過重心的直線，交OB與OC于P，Q點．①用OP→，OQ②若OP→=xOB8．□ABCD中，AB→=a→，AD→=b→，E、F分別在BC、（1）將DE→，BF（2）將AG→用a9．已知m＞0，n＞0，如圖，在△ABC中，點M，N滿足AM→=mAB→，AN→=nAC→，D是線段BC上一點，BD→=1（1）若點O滿足2AO→=OB→+（2）求m+2n的最小值．10．如圖在△ABC中，點D是AC的中點，點E是BD的中點，設BA→=a（1）用a→，c（2）若點F在AC上，且BF→=15a11．在△ABC中，點D，E分別在邊BC和邊AB上，且DC＝2BD，BE＝2AE，AD交CE于點P，設BC→=a（1）若EP→=tEC→，試用a→，b（2）試用a→，b→表示（3）在邊AC上有點F，使得AC→=5AF→，求證：B，12．如圖，在平行四邊形ABCD中，AE→=2AB→，DF→（Ⅰ）用a→，b→表示AC→（Ⅱ）用向量的方法證明：A，F(xiàn)，C三點共線．13．在△OAB中，設OA→=a→，OB→=b（1）用a→，b（2）在線段AC，BD上分別取E，F(xiàn)，使EF過M點，設OE→=pOA→，OF→=qOB14．如圖△ABC中，D為BC的中點，E為AB的中點，AD→=3AF→，令（1）試a→、b→表示（2）延長EF交AC于P，設AP→=xAC15．如圖所示，在△ABC中，D為BC邊上一點，且BD→=2DC→．過D點的直線EF與直線AB相交于E點，與直線AC相交于F點（（1）用AB→，AC→表示（2）若AE→=λAB→，16．如圖所示，在△ABC中，點D是邊BC的中點，點E是線段AD的中點．過點E的直線與邊AB，AC分別交于點P，Q．設PB→=λAP→，QC→（1）試用AD→與BC→表示AB→（2）求證：λ+μ為定值，并求此定值；（3）設△APQ的面積為S1，△ABC的面積為S2，求S117．如圖所示，在△ABC中，AQ→=QC→，AR→=1（1）用AB→和AC→分別表示BQ→（2）若AI→=mAB→+n18．如圖，在△ABC中，AQ為邊BC的中線，AP→=25AQ→，過點P作直線分別交邊AB，AC于點M，N，且AM→（1）當MN→∥BC→，用AM→（2）證明：1λ19．在△AOB中，∠AOB為直角，OC→=25OA→，OD→=12OB（1）試用a→、b（2）在線段AC上取一點E，在線段BD上取一點F，使得直線EF過M，設OE→=λOA→，20．如圖所示，AD是△ABC的一條中線，點O滿足AO→=2OD→，過點O的直線分別與射線AB，射線AC交于（1）求證：AO→（2）設AM→=mAB→，AN→=nAC→，21．如圖所示，在△ABO中，OC→=13OA→，OD→=1（1）試用向量a→，b→表示（2）在線段AC上取點E，在線段BD上取點F，使EF過點M．設OE→=λOA→，OF→=μOB→，其中λ

向量幾何運算專題參考答案與試題解析一．解答題（共21小題）1．已知△ABC中，過重心G的直線PQ交線段AB于P，交線段AC于Q，連結AG并延長交BC于點D，設AB→=a→，AC→=b→，△APQ（1）用a→，b→表示（2）求S1【解答】解：（1）根據(jù)題意，AG→∵AP→=mAB→，AQ→=nAC→，即AQ→?AP∴?m=λ3?mλn=λ3，整理得3mn＝（2）根據(jù)題意，由（1）AP→∴S1∵1m∴m∈(12，1)則當1m=32時，S1S2取得最小值4∴S1S22．如圖所示，△ABC中，AB→=a→，AC→=b→，D為AB的中點，E為CD上的一點，且DC＝4（1）用向量a→，b→表示（2）用向量a→，b→表示AF→，并求出AE：EF和BF【解答】解：（1）根據(jù)題意，AE→=AD→+（2）根據(jù)題意，AE的延長線與BC的交點為F，則設AF→=λ則AF→=λAE→=λ（又由B、F、C三點共線，則λ8+3λ4即AF→又由AF→=87AE→，則有AF=BF→=AF→?AB→=17a→+3．已知△ABC中，過重心G的直線交邊AB于P，交邊AC于Q，設△APQ的面積為S1，△ABC的面積為S2，AP→=pPB（1）求證：1p（2）求S1【解答】解：（1）證明：設AB→若AP→=pPB→，AQ→又由P，G，Q三點共線，則存在λ，使得PQ→=λPG即q1+qb→即2p?1p=1+qq，即（2）由（1）AP→=p則有S1又由1p+1q=1則有S1又由p＞1，則0＜1則當1p=12時，S1S2取得最小值49，當則有49≤S1S4．在△ABC中，D是線段AB上靠近B的一個三等分點，E是線段AC上靠近A的一個四等分點，DF→=4FE→，設AB（1）用m→，n→表示（2）設G是線段BC上一點，且使EG∥AF，求|CG【解答】解：（1）因為D是線段AB上靠近B的一個三等分點，所以AD→因為E是線段AC上靠近A的一個四等分點，所以AE→所以DE→因為DF→=4FE則AF→又AB→=m所以AF→（2）因為G是線段BC上一點，所以存在實數(shù)λ，使得CG→則EG→因為EG∥AF，所以存在實數(shù)μ，使AF→=μEG整理得34μ=1故|CG5．如圖，已知△OCB中，B、C關于點A對稱，D是將OB分成2：1的一個內分點，DC和OA交于點E，設OA→（1）用a→，b→表示向量（2）若OE→=λOA【解答】解：（1）由題意知A是BC的中點，且OD→由平行四邊形法則得OB→+OC則OC→=2OA→則DC→=OC→?（2）由圖知EC→∥DC∵EC→=OC→?OE→=2a→∴2?λ2解得λ=46．如圖所示，在△ABC中，點M是AB的中點，且AN→=12NC→，BN與CM相交于點E，設AB→=a【解答】解：由已知，在△ABC中，AM→=MB→，且AN→=12NC→，已知BN與CM交于點在三角形ACM中，CN：CA＝ND：AM＝2：3，所以ND：MB＝NE：EB＝DE：EM＝2：3，所以NE→AE→7．如圖，G為△OBC的重心，PQ為過重心的直線，交OB與OC于P，Q點．①用OP→，OQ②若OP→=xOB【解答】①解：∵點P、G、Q三點共線，∴存在實數(shù)λ使得PG→∴OG→化為OG→=1②證明：∵OP→∴OG→又OG→∴x1+λ=1∴1x8．□ABCD中，AB→=a→，AD→=b→，E、F分別在BC、（1）將DE→，BF（2）將AG→用a【解答】解：（1）DE=?AD=?AD=aBF→=?a=?2（2）設DG→=mDE→，GF由DG→m（a→?34b→）+解得，m=23，n故AG=b→+=29．已知m＞0，n＞0，如圖，在△ABC中，點M，N滿足AM→=mAB→，AN→=nAC→，D是線段BC上一點，BD→=1（1）若點O滿足2AO→=OB→+（2）求m+2n的最小值．【解答】證明：（1）∵BD→∴AD→∵2AO→∴2AO→=∴OE→∴OE∥BC．（2）解：由（1）可知，AE→∵M，N，E三點共線，∴13m∴m+2n＝（m+2n）（13m+16n）=23+2n時，等號成立，故m+2n的最小值為4310．如圖在△ABC中，點D是AC的中點，點E是BD的中點，設BA→=a（1）用a→，c（2）若點F在AC上，且BF→=15a【解答】解：（1）因為AC→=BC→?所以AD→=1因為點E是BD的中點，所以AE→=12（AB→+AD（2）設AF→=λAC→所以BF→=BA又BF→所以λ=4所以AF→所以AF：CF＝4：1．11．在△ABC中，點D，E分別在邊BC和邊AB上，且DC＝2BD，BE＝2AE，AD交CE于點P，設BC→=a（1）若EP→=tEC→，試用a→，b（2）試用a→，b→表示（3）在邊AC上有點F，使得AC→=5AF→，求證：B，【解答】解：（1）由題意BE→=2BP→=BE→+EP→=BE→+tEC→（2）設DP→=kDA→，由BDBP→=BD→+DP→=13a→+由①、②得，ta→+23（1﹣t）b→=1所以t=13(1?k)23（3）證明：由AC→=a→?b→所以BF→=75BP→，因為BF→與BP→有公共點12．如圖，在平行四邊形ABCD中，AE→=2AB→，DF→（Ⅰ）用a→，b→表示AC→（Ⅱ）用向量的方法證明：A，F(xiàn)，C三點共線．【解答】（Ⅰ）解：平行四邊形ABCD中，AC→由于AE→=2AB→，AB→=a→，則AE→=2（Ⅱ）證明：∵DF→=13DE→．∴DF→=13（2a→?b即FC→=13AC→，又CF與AC有公共點C，則13．在△OAB中，設OA→=a→，OB→=b（1）用a→，b（2）在線段AC，BD上分別取E，F(xiàn)，使EF過M點，設OE→=pOA→，OF→=qOB【解答】解：連接OM，（1）由B，M，C三點共線，A，M，D三點共線，∴OM→=λOB→+（1﹣λ）OC→因為OC→∴λb→+14（1﹣λ）a→=∴λ=1∴λ=3∴OM→（2）由E，M，F(xiàn)三點共線，p，q均大于零，∴OM→=tOF→+（1﹣∴17a→+37b→∴tp=1∴17p∴p+q＝（p+q）（17p+3當且僅當q7p即p+q的最小值為4+2314．如圖△ABC中，D為BC的中點，E為AB的中點，AD→=3AF→，令（1）試a→、b→表示（2）延長EF交AC于P，設AP→=xAC【解答】解：（1）∵D為BC的中點，E為AB的中點，AD→=3AF→，∴AF→=13AD→=∴EF→=AF→?（2）∵AP→∴AF→=13AD∵E，F(xiàn)，P三點共線，∴13+16x15．如圖所示，在△ABC中，D為BC邊上一點，且BD→=2DC→．過D點的直線EF與直線AB相交于E點，與直線AC相交于F點（（1）用AB→，AC→表示（2）若AE→=λAB→，【解答】解：（1）在△ABD中，由AD→又BD→所以BD→所以AD→（2）因為AD→又AE→=λAB所以AB→=1所以AD→又D，E，F(xiàn)三點共線，且A在線外，所以13λ+216．如圖所示，在△ABC中，點D是邊BC的中點，點E是線段AD的中點．過點E的直線與邊AB，AC分別交于點P，Q．設PB→=λAP→，QC→（1）試用AD→與BC→表示AB→（2）求證：λ+μ為定值，并求此定值；（3）設△APQ的面積為S1，△ABC的面積為S2，求S1【解答】解：（1）∵點D是邊BC的中點，∴AD→=12（∴AB→=AD證明：（2）在△ABC中，點D是邊BC的中點，點E是線段AD的中點，則AD→=12（∵P，E，Q共線，∴λ+14∴λ+μ＝2，為定值2．（3）解：S1=12?|AP||AQ|sin∠S2=12?|AB||AC|sin∠BAC=12（1+λ）（1+μ）?|AP||則S1∵λ≥0，μ≥0，λ+u＝2，∴λ∈[0，2]，由二次函數(shù)性質得，當λ＝1時，﹣（λ﹣1）2+4取得最大值4，故S1S217．如圖所示，在△ABC中，AQ→=QC→，AR→=1（1）用AB→和AC→分別表示BQ→（2）若AI→=mAB→+n【解答】解：（1）BQ→=AQ（2）由于B，I，Q三點共線，則存在實數(shù)λ，使得BI→即AI→?AB由于R，I，C三點共線，則存在實數(shù)μ，使得RI→即AI→?AR則1?λ=13+則AI→則m=118．如圖，在△ABC中，AQ為邊BC的中線，AP→=25AQ→，過點P作直線分別交邊AB，AC于點M，N，且AM→（1）當MN→∥BC→，用AM→（2）證明：1λ【解答】解：（1）因為AQ為邊BC的中線，所以AQ→因為MN→∥BC所以AM→=2所以AQ→即AQ→證明：（2）由（1）可得AP→因為AM→=λAB所以AB→=1所以AP→由M，P，N三點共線，則15λ即1λ19．在△AOB中，∠AOB為直角，OC→=25OA→，OD→=12OB（1）試用a→、b（2）在線段AC上取一點E，在線段BD上取一點F，使得直線EF過M，設OE→=λOA→，【解答】解：（1）∵OC→=2則由A，M，D三點共線可知，存在實數(shù)m，使得OM→=mOA→+（1﹣m）OD→=mOA→+12（1﹣由B，M，C三點共線可知，存在實數(shù)n，使得OM→=nOC→+（1﹣n）OB→=25nOA→+（1﹣則m=25n∴OM→（2）∵OE→=λOA∴OM→∵M，E，F(xiàn)三點共線，∴14λ∴2λ+320．如圖所示，AD是△ABC的一條中線，點O滿足AO→=2OD→，過點O的直線分別與射線AB，射線AC交于（1）求證：AO→（2）設AM→=mAB→，AN→=nAC→，【解答】證明：（1）∵D是BC的中點，∴AD→=1∵AO→=2OD解：（2）∵