【贏在高考?黃金20卷】備戰(zhàn)2021高考數(shù)學(xué)全真模擬卷（北京版）

第十四模擬

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

1.已知集合4=｛?。?》2+2%,*€尺｝,3=｛*k2+丁2=2,xeR,ye/?｝,則（）

A.[-1,2]B.（-1,2]

C.D.|^-1,V2J

【答案】D

【解析】集合A=卜,=/+2x,xe7?｝,則4=｛引丁2—1｝,

集合B=｛x,2+y2=2,xeR,yeR｝,則8=｛x卜及4x4血｝,

所以由交集運(yùn)算可得AcB=｛y|yN_1｝門「卜04%<正｝=卜卜14x40｝,

即408=[-1,可

故選：D.

2.設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為4,若a=2冊(cè)，則“d<0”是“｛5｝為遞減數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析1充分性:若d<0,則??+i-aH=d<0,即%<an，,2a向<2%，即晨<瓦,,

所以，數(shù)列｛2｝為遞減數(shù)列，充分性成立；

a

必要性：若｛〃,｝為遞減數(shù)列，則"+i<bn,即2"""<T">n+\<?！埃瑒t可+i-=d<0，

必要性成立.

因此，"d<0”是“也｝為遞減數(shù)列”的充要條件.

故選：C.

3.若函數(shù)/（X+1）為偶函數(shù)，對(duì)任意X],Ww[l，+°°）且M工*2，都有（工2一%）[/（%）一/（9）]〉°，

則有（)

【答案】A

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)/（X+1）為偶函數(shù)，所以/（X）的對(duì)稱軸為x=l;

又對(duì)任意蒼，we［l,+8）且%。工2有（入2—%）［〃%）一/（%2）］＞。，則

/（X）在［1,+8）上為單調(diào)遞減函數(shù).因?yàn)?/p>

4M”》唱一亭河.所以唱＞/圖”（沙

即右卜加創(chuàng)

故選:A.

J—1是等差數(shù)列，則等于（）

4.已知數(shù)列｛”“｝中，4=2，%=1，又?jǐn)?shù)列，-

備+lJ

1c21

A.-1B.—C.—D.—

233

【答案】D

【解析】設(shè)么=〃+1，且數(shù)列｛2｝的公差為4

,11,11

仇=----=一,a=--------=—

%+13%+12

b.+2d=-

1311

，，解得八五，4」

b.+6d=—

'2

11”…13

.?=+（13l）x=

q+14244

1

故選：D

兀]

5.函數(shù)/(x)=sin—x—+1在區(qū)間(0,4)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

2x

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是找對(duì)應(yīng)兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

故選：c.

6.已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)向量1=(3,-2m),b=(l,m-2)，且平面內(nèi)的任一向量￡都可以唯一表示成

"=之￡+〃石(九〃為實(shí)數(shù)),則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.你+8)B.

C.(—00⑵D.(—co,-2)(-2,+oo)

【答案】B

(解析]由題意可知，平面內(nèi)的任一向量c都可以唯一表示成c=2a+//k

a,b是平面內(nèi)表示所有向量的一個(gè)基底,.

A

￡,坂不共線,3（加-2）+2/MH0：.m手M

故，”的取值范圍是（7,飆（*+8].

故選8

7.某三棱錐的三視圖如圖所示（圖中小正方形的邊長(zhǎng)為1）,則該三棱錐的體積為（）

A.—B.—C.1D.2

33

【答案】A

【解析】由題意，該幾何體的直觀圖為三棱錐A—BCD，如下圖，

其中ABL底面BCD，AB=2,在△88中，8D=1，BO邊上的高為2,

所以三棱錐A—BCQ的體積為丫=g5ABe.A8=gxgxlx2x2=g.

8.劉徽是魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，他是中國(guó)古典數(shù)學(xué)理論的奠基者之一.他全面證明了《九章算術(shù)》中的方

法和公式，指出并糾正了其中的錯(cuò)誤，更是擅長(zhǎng)用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題.如下圖在圓的直徑CD上任取一

點(diǎn)、E,過(guò)點(diǎn)E的弦AB和8垂直，則AB的長(zhǎng)不超過(guò)半徑的概率是（）

Al811

B.-C.一D

234￥

【答案】A

【解析】

設(shè)圓的半徑為1,則有|AB|=2jl2To吁￡,解得：J。目之今,

2八⑻

又E在直徑C。上，所以所求的概率為2|CE|[2J

阿2*

故選：A

22

尢y

9.已知P為雙曲線C：1(a>0,/?>0)左支上一點(diǎn)，A,尸2分別為C的左、右焦點(diǎn)，M為

a2b2

虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，若|MP|+|P閭的最小值為由瑞則C的離心率為()

C4+V6

B.2+V6D.4+V6

2

【答案】C

【解析】解：|皿尸|+|尸國(guó)引〃。|+|尸制+2aN|M胤+2a=V^1/+2a=2c,

即d2c°-a2+2a-2c'

化筒得2c2—8ac+5a2=0，即Ze?—8e+5=0，

解得e=4域或e=t逅，所以eJ+木.

222

故選：C

—x+a,x>0

10.函數(shù)/(x)=|x|Tn(k|+l),g(x)=「］,若存在與使得〃Xo)<g(Xo)成立，則整數(shù)

a—x,x<0

I2

的最小值為()

A.-1B.OC.1D.2

【答案】B

【解析】由題意得f(T)=|—(_ln(|_x|+l)=W_ln(W+l)=〃x),

BP/(-x)=/(x),所以函數(shù)〃x)為偶函數(shù)，

+0

且函數(shù)g(x)=<滿足g(—x)=g(x),所以函數(shù)g(x)為偶函數(shù),

<0

要使得存在與使得/(/)<g(%)成立，

只需當(dāng)時(shí)，/(x)-g(x)<0有解，即X—ln(x+l)—；x—4<0在［0,+8)有解,

即a>gx-ln(x+l)在［0,+oo)有解，

令g(x)=；x-ln(x+l),則g'(x)=g一±=^^,

當(dāng)X€［O,1)時(shí),g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；

所以當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)取得最小值g(l)=；—ln(l+l)=g—ln2,

要使的使得存在/使得了(/)<g(%)成立，可得a>g-In2,

所以整數(shù)a的最小值為0.

故選：B.

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.滿足l4|z—l+的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為.

【答案】2兀

【解析】由題意，設(shè)z=x+yi(x,yeR),

因?yàn)閘W|z-l+4〈G，可得lw|(x-l)+(y+l)i|w百，即1W(X—iy+(y+l)2W3,

所以"上一1+心百表示外徑為JL內(nèi)徑為1的圓環(huán)，

其中圓環(huán)的面積為S=%x(6)2一萬(wàn)xl2=2乃.

故答案為：2萬(wàn).

12.在(2x-y)(x+y)6的展開式中x4/的系數(shù)為.

【答案】25

【解析】(2x-y)(x+y[=2x(x+j)6-y(x+y)6.

因?yàn)?x+y)6的展開式的通項(xiàng)公式為=C；x6-，y,「=0,1,2,3,4,5,6,

所以在(x+yp的展開式中Vy3的系數(shù)為cl=20,x4y2的系數(shù)為C；=15,

所以在(2x—y)(x+y『的展開式中x"的系數(shù)為2x20-15=25.

故答案：25.

1二設(shè)/⑺=cos法工廠則/(1)+/(2)+…+/(59)=---------?

【答案】竺8

2

￡(、C/ZC。、cosxcos(60-X)

【解析】由題得小)+八6。7)=嬴g+嬴(30=+H

cosxcos(60°-x)cosxcos(600-x)

cos(30°-x)cos(x-30)cos(x-30°)cos(x-30°)

占.3.

_cosx+cos(60-x)_cosx+cos(60c-x)_2sinx+2C°S'

cos(x-30)cos(x-30)cos(x—30°)

_Gsin(x+60)_氐in(x-3(T+90。)_&cos(x-30。)_6

cos(x-30)cos(x-30°)cos(x-30°)

所以/(l°)+/(2')+…+/(59')=([(/(1。)+/(59。))+(/(2。)+/(58。))+--+(/(59。)+/(「))]

=-x59V3=—73.

22

故答案：竺叵.

2

14.某果園種植丑橘每年固定成本10萬(wàn)元，每年最大產(chǎn)量13萬(wàn)斤，每種一斤橘子，成本增加1元，已知銷

售額函數(shù)/(x)=-x3+3or2+x,(x是橘子產(chǎn)量，單位：萬(wàn)斤，銷售額單位：萬(wàn)元，。為常數(shù))若產(chǎn)2萬(wàn)

斤，利潤(rùn)18萬(wàn)元，貝ija=；要使利潤(rùn)最大，每年需產(chǎn)橘子萬(wàn)斤.

【答案】3：6

【解析】解：因?yàn)楫a(chǎn)2萬(wàn)斤，利潤(rùn)18萬(wàn)元，

所以—23+12a+2—10—2=18,解得。=3

所以/(元)=-x3+9x2+x,

若設(shè)產(chǎn)量與利潤(rùn)的函數(shù)為g(x)，

則g(x)——x，+9%2+x—10—x——%3+—10,x€(0,13],

g'(x)=-3%2+18x,令g'(x)=0,則x=0(舍去)或x=6,

因?yàn)楫?dāng)0<x<6時(shí)，g(%)>0,當(dāng)13之1>6時(shí)，g(%)<0,

所以當(dāng)x=6,g(x)取最大值，

故答案為：3,6

15.已知函數(shù)/0)=/+1,直線/:>=*+2與x軸和>軸分別交于點(diǎn)。，B,直線/與函數(shù)的圖象

交于A,C兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)B,。之間)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①若點(diǎn)E為y軸上一點(diǎn)，則存在符合條件的點(diǎn)E和實(shí)數(shù)“，使得△鉆石為等邊三角形；

\AC\

②記&)=西,則le{y|y=r(a)};

\AB\

③記〃(a)=上U，則/z(a)的值域?yàn)?0,+8)；

\BC\

④記g3）=*：d，15cll則對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)都有黃V1成立（"G，々｝表示再’々中

最大的數(shù)，加〃｛%,X2｝表示X],%2中最小的數(shù)）?

其中正確結(jié)論的序號(hào)是

【答案】①②④

【解析】解：???直線y=ac+2與X軸，y軸均相交，,?《/（）.

對(duì)于①，當(dāng)NA5y=60°時(shí)，則當(dāng)BE=84時(shí)，A4BE為等邊三角形，故①正確;

y=ax+2

對(duì)于②，聯(lián)立方程組｛…3，消?？傻茫籂t3-1=。,

a-yJa2+4Q++4

解得X.=---------，X,=---------，

1222

2

若r(a)=1，則|AC=|DC|,即C為AD的中點(diǎn)，又。(一屋。)，

._2+交?［亙=巴正亙<2,即42+4，+13〉0),

a2233a

/+4=幺+16,+烏,即2a4+7。2—4=0，解得a-=q,a-<

99/922

故當(dāng)a=￥時(shí)，|Aq=|Z)q,，lG{y|y=r(a)},故②正確;

....\AB\

對(duì)于③，?.,〃。0,，故。(a)=I,故③錯(cuò)誤;

16cl

對(duì)于④，;直線y=QX+2和直線y=一ax4-2關(guān)于y軸對(duì)稱，目.拋物線/（x）=x2+1都關(guān)于y軸對(duì)稱,

故g（a）=g（一〃），即羋&=1成立，故④正確.

g（一。）

故答案為：①②④.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。

16.(本小題滿分14分)

已知△ABC中，-<cosA.

b

(I)求證：B是鈍角；

(II)若△ABC同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：

①sinA=；②a=2；③c=拒；④sinC=-

22

請(qǐng)指出這三個(gè)條件，說(shuō)明理由，并求出b的值.

「sinC'

【解析】(I)因?yàn)橐?lt;cosA,由正弦定理可得——<cosA,在三角形中,

bsinB

sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,且sin3>0，

所以不等式整理為sinAcosB+cosAsinB<sinBcosA，

即sinAcos3<0,在三角形中可得sinA>0,

所以cosBvO,所以得證3為鈍角;

ac

(II)⑴若滿足①②③，則止法定理可得——=——，

sinAsinC

2=41

即五一sinC,所以sinC=],

又a>c,所以A>C,在三角形中，sinA=變，

TT371

所以A=一或A==萬(wàn)，而由（I）可得A=一

444

TT7T7T1

所以可得。=一，B=7C-A-C=7l-------=一*

64612

所以6=yla2+c2-2accosB=^4+2-2x2x72x（_"：&）=6+1

5）若滿足①②④，由（I）B為鈍角，A，C為銳角，

及sinA=sinC=^^可得A=M,C,

2243

所以8=2%不符合8為鈍角，故這種情況不成立；

12

（m）若滿足②③④，由8為鈍角，sin。=走，

2

TC71

所以C=—，而4>c,所以4>c,這時(shí)8<一，

33

不符合B為鈍角的情況，所以這種情況不成立；

綜上所述：只有滿足①②③時(shí)〃=6+1.

17.（本小題滿分14分）

如圖，在四棱錐尸-A2C。中，48//。。,48,4。平面43。。，平面24。，E是總的中點(diǎn)，F(xiàn)是DC

上一點(diǎn)，且PD=AD,A8=2OF=6.

（1）求證:EF7/平面Q4O；

（2）若P4=4,PO=3,求直線P8與平面ABCD所成角的正弦值.

【解析】（1）如圖，取P4的中點(diǎn)M，連接

則腔//AB,ME^-AB.

2

又。F//AB,DF=\AB,所以ME//DF，ME=DF，

2

所以四邊形MDEE是平行四邊形，所以EF〃MD,

因?yàn)镸Du面BA。,跖2面Q4O，所以跖//面PAO

（2）過(guò)點(diǎn)P作P〃_LAD于點(diǎn)”，則P〃_L平面ABC。，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，H4所在直線為>軸，過(guò)點(diǎn)H

且平行于A8的直線為z軸，PH所在直線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系”一qz,

在等腰三角形24。中，P￡>=AD=3，PA=4,

因?yàn)镻H.A￡）=MD-Q4，所以3P”=4x療V，

解得「月=生叵

3

則AH=g,所以P華，。，08（0,|,6）,所以麗=（一竽,*6）.

易知平面A8C0的?個(gè)法向量為n=(1,0,0)，

PBn_2765

所以cos（PB,〃網(wǎng)網(wǎng)=―方

所以直線0B與平面A8C0所成角的正弦值為2叵.

39

18.(本小題滿分14分)

在一場(chǎng)娛樂(lè)晚會(huì)上，有5位民間歌手(1至5號(hào))登臺(tái)演唱，由現(xiàn)場(chǎng)數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各

位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號(hào)歌手歌迷，他必選1號(hào)，不選2號(hào)，另在3

至5號(hào)中隨機(jī)選2名.觀眾乙對(duì)5位歌手的演唱沒(méi)有偏愛，因此在1至5號(hào)中隨機(jī)選3名歌手.

(1)求觀眾甲選中3號(hào)歌手的概率；

(2)X表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙的票數(shù)之和，求尸(X=l).

【解析】((1)設(shè)A表示事件“觀眾甲選中3號(hào)歌手”

觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷，他必選1號(hào)，不選2號(hào)，則觀眾甲選3名歌手有種選法.

觀眾甲選中3號(hào)歌手有C；種選法.

所以觀眾甲選中3號(hào)歌手的概率P=

(2)X表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙的票數(shù)之和,

X=1表示觀眾甲、乙只有一人投票給3號(hào)歌手.

觀眾甲投票給3號(hào)歌手，而乙沒(méi)有投票給3號(hào)歌手有C；C：種

觀眾乙投票給3號(hào)歌手，而甲沒(méi)有投票給3號(hào)歌手有種

7

P（x=l）=c；c：+c；c：

15

19.(本小題滿分14分)

已知函數(shù)=*-ln(x+a)+l.

(1)設(shè)x=l是兀v)的極值點(diǎn)，求m并求兀v)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)aV3時(shí)，證明

1

【解析】⑴f'(x)=ex-'-

x+a

由x=l是/(X)的極值點(diǎn)知，/(1)=0，即1一占=0,所以0=0.

于是〃x)=e'T-lnx+l,定義域?yàn)?0,+8),且/'(x)=e'T-_L,

函數(shù)/'(X)=--在(0,+8)上單調(diào)遞增,且/'⑴=0,

X

因此當(dāng)x?0,1)時(shí)，r(%)<0；當(dāng)xe(l,+8)時(shí),/,(x)>0,

所以/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0』)，增區(qū)間為(1，?°)?

(2)當(dāng)a43,x>-a時(shí)，0<x+a?x+3,從而ln(x+a)Wln(x+3),則

〃x)+l=e*T-ln(x+a)+22e*T-ln(x+3)+2,

令g(x)=ei-ln(x+3)+2,XG(-3,+CO),則

且'(1)=，7-右在(—3,48)單調(diào)遞增，

且g'(-1)=與-\<0，(g"(0)=--->0,

e2ee

故存在唯一的實(shí)數(shù)ye(-l,0),使得8'(%)=0.

當(dāng)xe(—3,天)時(shí)，g'(x)<0,g(x)遞減；當(dāng)尤€(不,+oo)時(shí)，g'(x)>0,g(x)遞增.

從而當(dāng)X=/時(shí)，g(x)取最小值.

由g'(/)=0得e""_7^=0,則e'°T=7^i，/一l=-ln(%+3),

砧/\/XX,1/\1(%+2)2

故g(x)min=g(Xo)=e。-ln(x0+3)+2=——^+x0-l+2=——

由飛?-1,0)知,(*。+2)>o,故/1(x)+10g(x)Ng&)>0,

%+3

即當(dāng)時(shí),〃尤)>-1成立.

20.已知圓A(x-G『+y2=16的圓心為4,點(diǎn)8(-6,0)是圓A內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是圓A上任意一點(diǎn),

線段BC的垂直平分線與半徑AC相交于點(diǎn)。.

(1)求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡E的方程；

（2）給定點(diǎn)P（O,1）,設(shè)直線/不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與軌跡E相交于例，N兩點(diǎn)，以線段MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P.

證明：直線/過(guò)定點(diǎn).

【解析】

（1）如圖，由己知，圓心A（、6,0）,半徑「=4.

???點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上，貝ij|￡>C|=|。理

X|A（^=|ZM|+|ZX7|（：.\AC\=\D^[+\DB\

又?.[AC|=r=4,=4>|AB|

則動(dòng)點(diǎn)。的軌跡E是以A（月,0），8卜月,0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=4的橢圓

從而a=2,c=V3，〃=/—c2=1，

故所求軌跡E方程為三+丁=1.

4.

（2）由已知，ZMPN=90°,則麗?麗=0，

若/的斜率不存在，設(shè)/:x=f，由題設(shè)知且“<2

若/的斜率存在，設(shè)/:>="+〃

2

將y=依+〃2代入土+J_1得（4爐+l）d+8%如+4〃，-4=0

由題設(shè)可知△=16（4公-m2+l）>0

設(shè)”(％，x),N(x,y),則5+W=-內(nèi)/=:':丁

22一：

"K十i4k+1

麗,=a，y—1),PN=(x2,y2-1),從而

PM-PN―x[x2+(x—1)(%—1)=內(nèi)/+(Ax,+m—1)-(AX2+m—1)

2

=(k+1)玉工2+女(，〃-1)(%+x2)+(m—1)'=0

即僅2+i).把二i+M機(jī)-i).望生+(加一1J=o

\>4A:2+1')4二+1')

3

化筒得(加一1)(5加+3)=0,解得機(jī)=1(舍去)或相=一《

此時(shí)A=16(4左2+^|)>0成立，于是/：>=履一|

故直線/過(guò)定點(diǎn)

21.(本小題滿分14分)

對(duì)于數(shù)列4：%,4,…M(4eN,i=l,2,…,〃)，定義“T變換”：T將數(shù)列A“變換成數(shù)

列紇：伉也，…也，其中々=|q.-a,*]|(i=l,2,…，〃-1),且々=|a“-q|,這種"T變換”記作

紇=T(4).繼續(xù)對(duì)數(shù)列紇進(jìn)行“T變換”，得到數(shù)列C“，…，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均

為0時(shí)變換結(jié)束.

(I)試問(wèn)4:4,2,8和4：1，4,2,9經(jīng)過(guò)不斷的“T變換”能否結(jié)束？若能，請(qǐng)依次寫出經(jīng)過(guò)“T

變換”得到的各數(shù)列；若不能，說(shuō)明理由；

(II)求&：4，。2，。3經(jīng)過(guò)有限次“丁變換”后能夠結(jié)束的充要條件；

(III)證明：Ajq,4,4,4一定能經(jīng)過(guò)有限次“丁變換”后結(jié)束.

【解析】(I)解：數(shù)列A?：4,2,8不能結(jié)束，各數(shù)列依次為2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0：0,2,2；

2,0,2；從而以下重復(fù)出現(xiàn)，不會(huì)出現(xiàn)所有項(xiàng)均為0的情形.

數(shù)列4:1,4,2,9能結(jié)束，各數(shù)列依次為3,2,7,8：1,5,1,5；4,4,4,4；0,0,0,0.

(n)解：4經(jīng)過(guò)有限次“T變換”后能夠結(jié)束的充要條件是q=%=。3.

若％=4=%，則經(jīng)過(guò)一次“T變換”就得到數(shù)列0,0,0,從而結(jié)束.

當(dāng)數(shù)列43經(jīng)過(guò)有限次“T變換”后能夠結(jié)束時(shí)，先證命題“若數(shù)列T(4)為常數(shù)列，則為常數(shù)列”?

當(dāng)qNa22a3時(shí)，數(shù)列T(4)：q-%，%一。3，％一生.

由數(shù)列7(4)為常數(shù)列得4一%=%—%=4一%，解得《=%=%，從而數(shù)列4也

為常數(shù)列.

其它情形同理，得證.

在數(shù)列4經(jīng)過(guò)有限次“丁變換”后結(jié)束時(shí)，得到數(shù)列0,0