非線性彈性力學(xué)彈性力學(xué)的分支01兩種非線性變形描述本構(gòu)方程研究歷史幾何方程其它問(wèn)題目錄0305020406基本信息彈性力學(xué)的一個(gè)分支，又稱(chēng)非線性彈性理論，是經(jīng)典線性彈性力學(xué)的推廣。非線性彈性力學(xué)問(wèn)題分為三類(lèi)：物理線性、幾何非線性問(wèn)題；物理非線性、幾何線性問(wèn)題；物理非線性、幾何非線性問(wèn)題。兩種非線性幾何非線性物理非線性?xún)煞N非線性物理非線性物理非線性,即應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系中的非線性。橡皮、高分子聚合物和生物軟組織等材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系中有這種非線性。幾何非線性幾何非線性,即應(yīng)變-變形梯度關(guān)系中的非線性。在薄板、薄殼、細(xì)桿、薄壁桿件的大變形問(wèn)題和穩(wěn)定問(wèn)題中存在幾何非線性。研究歷史研究歷史早在1894年，J.芬格就提出超彈性體的有限變形理論。有限變形理論的方程冗長(zhǎng)、復(fù)雜，并具有強(qiáng)烈的非線性，當(dāng)時(shí)的人們感到在數(shù)學(xué)上進(jìn)行一般性的討論沒(méi)有多大希望。所以這方面的研究工作長(zhǎng)時(shí)間進(jìn)展不大。1940年M.穆尼通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)，提出某些類(lèi)型的橡皮的彈性勢(shì)函數(shù)表達(dá)式，從而把非線性彈性理論中難題之一的彈性勢(shì)函數(shù)的形式問(wèn)題向前推進(jìn)了一步，并證實(shí)橡皮是幾乎不可壓縮的材料，使它有了進(jìn)一步和發(fā)展。1948年R.S.里夫林在任意形式的貯能函數(shù)下，得到不可壓縮彈性體的幾個(gè)簡(jiǎn)單而重要問(wèn)題的精確解。將它們應(yīng)用于橡膠制品，即使橡膠的伸長(zhǎng)為原長(zhǎng)的兩三倍，精度仍能達(dá)到百分之幾。在這一成就的鼓舞下，學(xué)者們重新開(kāi)始探討有限變形彈性理論，并導(dǎo)致了整個(gè)的蓬勃發(fā)展。此后，非線性彈性理論就成為理性力學(xué)的重要組成部分。1952年起C.特魯斯德?tīng)?、W.諾爾、B.D.科勒曼、J.L.埃里克森、M.E.格廷、A.C.愛(ài)林根以及美籍華人王釗誠(chéng)在非線性彈性力學(xué)方面作出較大貢獻(xiàn)，中國(guó)的郭仲衡于1962～1963年連續(xù)發(fā)表了多篇論文。1972年奧登等人在用有限元法進(jìn)行數(shù)值解方面做了大量有成效的工作，從而使得非線性彈性力學(xué)在工程實(shí)際中得到較廣泛的應(yīng)用。但是非線性彈性力學(xué)無(wú)論在理論方面、精確解方面還是數(shù)值近似解方面都比線性彈性力學(xué)難度大，所以至今遠(yuǎn)不如線性彈性力學(xué)成熟，有許多問(wèn)題尚需進(jìn)一步探討。非線性彈性力學(xué)的基本概念和方程比較復(fù)雜，在分析中大多采用張量這一數(shù)學(xué)工具。變形描述變形描述變形描述在討論非線性彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，取初始時(shí)刻物體在三維空間中所占的區(qū)域?yàn)閰⒖紭?gòu)形（見(jiàn)）,在其上取笛卡兒坐標(biāo)。在時(shí)刻物體所占的區(qū)域?yàn)楝F(xiàn)時(shí)構(gòu)形，在其上取笛卡兒坐標(biāo)。由方程對(duì)于有單值逆變換的情形，存在在時(shí)刻物質(zhì)點(diǎn)的位置矢量為X，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，該點(diǎn)在時(shí)刻的位置矢量為，則在時(shí)刻物質(zhì)點(diǎn)的位置矢量為X，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，該點(diǎn)在時(shí)刻的位置矢量為，則其中u是該物質(zhì)點(diǎn)的位移矢量,它在和中的坐標(biāo)分別記為和。必須區(qū)分使用和坐標(biāo)，這是非線性彈性力學(xué)區(qū)別于線性彈性力學(xué)的基本特征之一。描述物體變形的量有變形梯度，在中，其定義為：其中為克羅內(nèi)克符號(hào)；為位移分量的偏導(dǎo)數(shù)，即變形梯度既包含純變形又包含剛性轉(zhuǎn)動(dòng)，為把純變形從其中分解出來(lái)，須采用極分解定理，相應(yīng)于左分解和右分解分別得到左柯西-格林應(yīng)變(又稱(chēng)芬格應(yīng)變)和右柯西-格林應(yīng)變(又稱(chēng)格林變)。而在中有逆應(yīng)變(稱(chēng)為皮奧拉應(yīng)變)和(稱(chēng)為柯西應(yīng)變)。幾何方程幾何方程非線性彈性力學(xué)的幾何方程(6)和(7)是關(guān)于位移偏導(dǎo)數(shù)的非線性方程,所以是幾何非線性的。而方程(8)和(9)是線性彈性力學(xué)中的幾何方程。在非線性彈性力學(xué)中(6)和(7)是有區(qū)別的，而在線性彈性力學(xué)中(8)和(9)沒(méi)有區(qū)別。非線性彈性力學(xué)中的物理意義、數(shù)學(xué)意義與線性彈性力學(xué)中的相同。但由于幾何方程比較復(fù)雜，故需要采用張量的方法，利用黎曼曲率張量在歐氏空間中為零的條件導(dǎo)出應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。應(yīng)力和平衡方程在變形后的構(gòu)形上定義應(yīng)力是最自然的，這種應(yīng)力稱(chēng)為柯西應(yīng)力(或歐拉應(yīng)力)。但因變形后的構(gòu)形是未知的(待求的），故取變形前的構(gòu)形上單位面積的面力作為應(yīng)力的定義，這種應(yīng)力稱(chēng)為皮奧拉應(yīng)力（或拉格朗日應(yīng)力、第一皮奧拉-基爾霍夫應(yīng)力）。由于是非對(duì)稱(chēng)的，故又定義對(duì)稱(chēng)的應(yīng)力，稱(chēng)為基爾霍夫應(yīng)力（或第二皮奧拉-基爾霍夫應(yīng)力）。此外還有另一種對(duì)稱(chēng)的應(yīng)力杠，稱(chēng)為對(duì)流應(yīng)力。是真實(shí)應(yīng)力，、和杠是名義應(yīng)力。非線性彈性力學(xué)中,有上述四種應(yīng)力，而線性彈性力學(xué)中只有一種應(yīng)力。在線性化的近似假設(shè)下，非線性彈性力學(xué)的四種應(yīng)力都化為一種應(yīng)力，即線件彈性力學(xué)中應(yīng)力。由于有多種形式的應(yīng)力。所以相應(yīng)地有多種形式的動(dòng)力學(xué)方程，它們都描述變形后物體構(gòu)形中微體的動(dòng)g量守恒條件和動(dòng)量矩守恒條件。由于、、杠和中含有變形梯度，故在平衡微分方程中含有位移的偏導(dǎo)數(shù)，而在線性彈性力學(xué)中，平衡微分方程不含位移偏導(dǎo)數(shù)。本構(gòu)方程本構(gòu)方程本構(gòu)方程在線性彈性力學(xué)中,本構(gòu)方程（即應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系）只有一種形式，即給出的方程，其圖像是一條直線。在非線性問(wèn)題中，由于應(yīng)力和應(yīng)變都有多種形式，所以有多種本構(gòu)方程，其圖像是曲線（非線性），但加載、卸載是同一條曲線(與塑性力學(xué)不同)。究竟哪種應(yīng)力跟哪種應(yīng)變對(duì)應(yīng)，就要從基本的本構(gòu)公理（見(jiàn)本構(gòu)關(guān)系）出發(fā)來(lái)考慮。非線性彈性力學(xué)主要通過(guò)以下兩個(gè)基本模型建立本構(gòu)方程：①?gòu)椥泽w理想模型。該模型假設(shè)：存在各處應(yīng)力為零的自然狀態(tài),初始構(gòu)形就取在自然狀態(tài)上,材料行為只與相對(duì)于自然狀態(tài)的現(xiàn)時(shí)變形狀態(tài)有關(guān)?？梢酝ㄟ^(guò)兩種途徑來(lái)建立相應(yīng)的本構(gòu)方程。一種是格林方法，即從勢(shì)能函數(shù)出發(fā)來(lái)得到彈性體的本構(gòu)方程。彈性勢(shì)是任何一個(gè)應(yīng)變均可作為自變量的標(biāo)量函數(shù)。具有彈性勢(shì)的彈性體稱(chēng)為超彈性體或格林意義下的彈性體。另一種是柯西方法，從彈性體的特性即“一定的應(yīng)力狀態(tài)對(duì)應(yīng)于一定的應(yīng)變狀態(tài)”出發(fā)，直接假設(shè)應(yīng)力－應(yīng)變函數(shù)關(guān)系，再通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定其中系數(shù)。直接由這種應(yīng)力－應(yīng)變函數(shù)關(guān)系描述的物體叫柯西意義下的彈性體，或直接叫作彈性體。各向同性超彈性體一定是各向同性彈性體，但彈性體只有當(dāng)其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系中的系數(shù)滿(mǎn)足一定的關(guān)系時(shí)才是超彈性體，才具有相應(yīng)的彈性勢(shì)。在這個(gè)意義上說(shuō)來(lái)，柯西彈性體是一個(gè)比超彈性體更為廣泛的概念。②低彈性體模型。1955年特魯斯德?tīng)枏臅r(shí)間變化率出發(fā)，為體現(xiàn)簡(jiǎn)單變率理論的理想模型而引出低彈性的概念。應(yīng)力的本構(gòu)導(dǎo)數(shù)是變形速率的線性齊次函數(shù)的物體叫作低彈性體。諾爾證明應(yīng)力關(guān)系=（）可逆的各向同性彈性體是低彈性體。各向異性彈性體不是低彈性體。小應(yīng)變低彈性體是彈性體。其它問(wèn)題其它問(wèn)題非線性彈性力學(xué)中的各變分原理都可從虛功原理統(tǒng)一導(dǎo)出，方法和步驟同線性彈性力學(xué)中的相同。非線性彈性力學(xué)