微觀金融技術與方法2023/7/111第1頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1引言期望效用理論全面考慮了投資收益的風險和收益的概率分布情況，是研究不確定環(huán)境下個體消費和投資決策的主要工具。風險厭惡型投資者的投資行為本章主要建立期望效用理論的基礎，和資產定價理論的微觀經濟基礎。對待風險的態(tài)度風險厭惡的度量兩基金貨幣分離

第一章偏好表示與風險厭惡2023/7/112第2頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2一些常用的投資決策準則一、收益最大準則

收益最大準則應用于完全沒有風險的情況下。由此法則，只需選擇收益率最高的投資機會即可。經濟學中的生產者理論和價值理論廣泛使用這一準則。在金融經濟學中，不確定環(huán)境下，收益最大準則不再適用。2023/7/113第3頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月二、最大期望收益準則

使用投資收益的期望值作為各種投資方案的比較，是收益最大準則在不確定情形下的推廣。是否期望收益最大準則就是一個最優(yōu)的決策法則呢？（否）2023/7/114第4頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月Example1Gamble(X)flipofacoinifheads,youreceive$1: X1=+1iftails,youpay$1: X2=-1E(X)=(0.5)(1)+(0.5)(-1)=0ifyouplaythisgamemanytimes,itisunlikelythatyouwillwinorloseanything2023/7/115第5頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月Example2Gamble(X)flipofacoinifheads,youreceive$10: X1=+10iftails,youpay$1: X2=-1E(X)=(0.5)(10)+(0.5)(-1)=4.50ifyouplaythisgamemanytimes,youwillbeabigwinnerHowmuchwouldyoupaytoplaythisgame:perhapsasmuchasa$4.50Butofcoursetheanswerdependsuponyourpreferencetorisk 2023/7/116第6頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月FairGamblesif thecosttoplay = expectedvalueof thesegambles theoutcomethenthegambleissaidtobeactuariallyfairCommonempiricalfindings: 1. individualsmayagreetoflipacoinforsmallamountsofmoney,

butusuallyrefusetobetlargesumsofmoney

2023/7/117第7頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月

2. peoplewillpaysmallamountsofmoneytoplayactuarially unfairgames(forexample,cost=$1,butE(X)>1)

-butwillavoidpayingalot

Whydotheseempiricalfindingsoccur?2023/7/118第8頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月圣彼得堡悖論（SaintPetersburgparadox）Gamble(X): Acoinisflippeduntilaheadappears,

Youreceive$2n,wherenisthefliponwhichtheheadoccurredstates: X1=$2 X2=$4 X3=$8 ... Xn=$2nprob: α1=1/2α2=1/4 α3=1/8... αn=1/2n

E(X)=

Paradox:

noonewouldpayanactuariallyfairpricetoplaythisgame

(noonewouldevenpayclosetothefairprice)2023/7/119第9頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月

ExplainingtheSt.PetersburgParadoxthisparadoxarisesbecauseindividualsdonotmakedecisions

basedonpurelyontheirwealth,butratherontheutilityof

theirexpectedwealth

ifwecanshowthatthemarginalutilityofwealth

declinesaswegetmorewealth,thenwecanshowthatthe

expectedvalueofagameisfiniteAssumeU(X)=ln(X), U'(X)>0 MUpositive

U"(X)<0 diminishingMUE(U(W)) =

αiU(Xi)

=

αiln(Xi)=1.39<anindividualwouldpayanamountupto1.39units

ofutilitytoplaythisgambleAndthissolvestheparadox2023/7/1110第10頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3投資者行為

個人決策準則一、確定性環(huán)境：選擇與偏好

在確定性環(huán)境下分析個人的理性決策行為，需要權衡不同抉擇好壞優(yōu)劣的價值尺度。建立在選擇行為之上的偏好關系（preferencerelation）可以用一種兩維的關系（binaryrelation）表述出來。2023/7/1111第11頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月定義（偏好關系）：投資選擇集上的偏好關系是指具有完備性、自反性和傳遞性的一個二維關系。a)

完備性（completeness）對于任何,要么要么；b)

自反性（reflexivity）對于任何有；c)

傳遞性（transitivity）對于任何如果有，則有。2023/7/1112第12頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月

以上這三點是為了保障偏好表達的邏輯一致性，建立一個價值衡量標準。

二、效用函數和效用最大化

為了更方便的研究投資者的行為，我們希望偏好關系能用函數形式表示，這種函數稱為效用函數。2023/7/1113第13頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月效用函數的定義：稱函數表示偏好關系，或者稱函數是偏好關系的效用函數表出，若投資者認為好于，即，當且僅當，。但不是所有的偏好關系都能用函數來表示。2023/7/1114第14頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例子：2023/7/1115第15頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月效用函數的存在性定理：

若證券組合集只具有有限或可數個元素時，那么定義在上的偏好關系一定可以用實值效用函數表示。（證明用數學歸納法）注：偏好關系的效用函數不是唯一的。為序數效用函數（Ordinaryutilityfunction）

2023/7/1116第16頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月三、不確定環(huán)境：期望效用理論在不確定環(huán)境下，或證券組合是一個隨機變量時，效用函數難以分析問題，則用偏好的期望效用函數表示。2023/7/1117第17頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月期望效用函數的定義：存在實函數和上的概率測度使得，當且僅當。

顯然，確定情形下的效用函數表示是期望效用函數表示的特例。有兩種方式研究期望效用理論：薩維奇（Savage,1972）的主觀概率方法和Von-NeumannandMorgenstern(1953)的客觀概率方法。下面稱為Von-NeumannandMorgenstern效用函數（NMU），定義為一元函數。2023/7/1118第18頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月設是定義在狀態(tài)空間上的概率度量，對于證券組合，定義其分布函數：

則證券組合的期望效用值為

2023/7/1119第19頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月

若兩個證券組合具有相同的分布函數，則具有相同的期望效用值。為簡單起見，假設證券組合的概率分布定義在有限集上，即離散情形：記為定義在上的概率分布的集合。若則表示在概率分布下取值為的概率。證券組合的分布函數為

則投資者對證券組合的期望效用值為。2023/7/1120第20頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月將證券組合選擇視為抽彩（lottery），的元素為所有可能的各獎金數額，設，則表示獲得獎金的概率。一次性抽彩（asimplelottery）記為：，對任意或表示為復合性抽彩（acompoundlottery）。稱為復合性抽彩的一次性自然抽彩。投資者對抽彩的感覺僅僅取決于獲得各種獎的凈概率。2023/7/1121第21頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月假設1（復合性抽彩的約簡公理，ReductionAxiom）對于任意

此即。

假設2（保序性，Orderpreserving）對于則當且僅當

2023/7/1122第22頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月假設3（中值性，Intermediatevalue）對于則存在唯一的使得

定理1如果定義在上的偏好關系滿足假設1，2，3，那么它可以用效用函數表示。

2023/7/1123第23頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月假設4（獨立公理或替代公理，IndependentorSubstituteAxiom）對于意味著

。命題1給定假設1，獨立公理意味著保序性假設。

即在復合抽彩的約簡公理下，假設4可推出假設2。2023/7/1124第24頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月假設5對于，有。假設6（阿基米德公理，ArchimedeanAxiom）對于

，則存在實數

使得命題2

給定假設1，獨立性公理和阿基米德公理意味著假設5，假設3。2023/7/1125第25頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2

定義在上的偏好關系，若它滿足約簡假設、保序假設、中值假設和假設5，在該偏好關系可以用Von-NeumannandMorgenstern效用函數（NMU）表示，并且在正仿射變化定義下，期望效用函數是唯一的。

注：仿射變換（affinetransformation)指乘以一個正數再加上一個實數。在仿射變換下，不改變原效用函數的性質。2023/7/1126第26頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月推論定義在上的偏好關系，若它滿足約簡假設、獨立公理和阿基米德公理，則該偏好關系可以用NMU表示。

假設1＋假設2＋假設3＋假設5＝>NMU存在；假設1＋假設4＋假設6＝>NMU存在；2023/7/1127第27頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月附注1

當是一個無限集時，上述的期望效用函數表示定理不再成立；為此需要增加其它公理（連續(xù)性假設）。在經驗檢驗中，獨立公理經常被違背，從而不存在期望效用函數表示，著名的例子為：附注2阿萊的悖論（Allaisparadox）：法國經濟學家阿萊（M.Allais,1988年諾貝爾經濟學獎得主）在1953年，做過一組心理實驗。在該實驗中，被試者要求在下面兩組彩票組合中進行選擇。2023/7/1128第28頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第一組：

A=(5百萬，0；1百萬，1；0，0）；

B=(5百萬，0.1；1百萬，0.89；0，0.01);

其中每一數對中的第一個數字表示抽獎收益，第二個為概率大小。

第二組：

C=(5百萬，0；1百萬，0.11；0，0.89)；

D=(5百萬，0.1；1百萬，0；0，0.90)。試驗發(fā)現大多數人在A和B中會選擇A；而在C和D中則選擇D。

2023/7/1129第29頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月

根據期望效用表示方法，選擇A就意味著：U(1百萬）1>U(5百萬）0.1+U(1百萬)0.89+U(0)0.01,整理得：

U(1百萬）0.11>U(5百萬）0.1+U(0)0.01,

2023/7/1130第30頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月

在該式兩邊加上U(0)0.89,得：

U(1百萬）0.11＋U(0)0.89>U(5百萬）0.1+U(0)0.90,

這就是說，在C和D中根據期望效用方法應當獲得的結果是C。這是一種實驗經濟學的方法，與期望效用公理相抵觸，行為經濟學與行為金融學的一些理論試圖對此做出合理的解釋，見卡尼曼－特韋斯基著名的“展望理論”（Prospecttheory)。

2023/7/1131第31頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月1.4對待風險的態(tài)度1.4.1對風險的不同態(tài)度關于經濟行為主體對待風險的態(tài)度，我們可以從兩個方面來考察：經濟行為主體是愿意確定性地接受一個博彩行為的預期價值還是寧愿接受這個博彩行為本身及其不確定的結果；經濟行為主體愿意付出多少價值來避免蘊含在這個博彩行為中的風險。所謂保險統計意義上的公平博彩指的是期望收益為0的博彩，即2023/7/1132第32頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月a)我們將那些不愿意接受任何保險統計意義上的公平博彩的經濟行為主體稱之為風險厭惡者。如果經濟行為主體認為是否接受一個公平博彩對于他是無差別的，那么這樣的經濟行為主體就是所謂風險中性者。如果經濟行為主體愿意接受任何保險統計意義上的公平博彩，則我們把這類行為主體稱作為風險愛好者。2023/7/1133第33頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月

考察一個保險統計意義上的公平博彩這個博彩有兩種可能結果：其一，這個博彩行為的參與者有p的概率獲得正值的收益z1；其二，有（1-p）的概率獲得負值的收益z2。

圖1-1經濟行為主體的效用函數的凸凹性的局部性質2023/7/1134第34頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月1.5風險厭惡

凹函數的定義： 是一個線性空間，是上的一個凸子集，稱為凹的，若任意有：

2023/7/1135第35頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月結論：一個博彩的期望效用嚴格比它的期望支付的效用小當且僅當他的效用函數是嚴格凹的。

在現實生活中，大多數投資者是厭惡風險的，即他們的NMU函數是凹函數?？紤]一個具有嚴格遞增效用函數的風險厭惡投資者的證券投資選擇問題。2023/7/1136第36頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月投資者面臨最大化自己期望效用值的最優(yōu)投資選擇問題：

上述問題的一階條件為2023/7/1137第37頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月命題1

假設資本市場允許賣空，若投資者存在最優(yōu)投資策略，則命題2假設資本市場允許賣空，投資者買入風險資產的充分必要條件是至少存在一種風險資產收益率均值大于無風險利率。

(通常而言，風險厭惡者只有在風險資產的平均回報率高于無風險資產的回報率時，才會在風險資產上進行投資）。

2023/7/1138第38頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月

進一步，我們探討要使投資者不但對風險資產買入，而且投資者將其全部初始財富的比例以上投資于風險資產，需要什么樣的條件。2023/7/1139第39頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月1.6經濟行為主體對風險貼水或風險溢價的態(tài)度問題定義風險貼水指的是一個風險規(guī)避者為了避免承擔風險而愿意放棄的投資收益或投資收率的額度。在金融學的運用中，風險貼水作為一個術語通常指的是風險證券的預期收益率與無風險資產的預期收益率之間的差額。用確定性等價收益或確定性等價收益率定義：

定義是投資者為了避免參與賭博（一個不確定性）而愿意放棄的財富或交納的罰金的最大數量，如果2023/7/1140第40頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月更一般的表示為：

其中這個罰金又稱為馬科維茨風險溢價（Markowitzriskpremium）。2023/7/1141第41頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月

圖1－2風險貼水（溢價）概念2023/7/1142第42頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月稱為普拉特－阿羅風險溢價（Pratt-Arrowriskpremium）。稱為（普拉特－阿羅）絕對風險厭惡度量（absoluteriskaversion）。

2023/7/1143第43頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月

1.7風險大小的測量利用風險貼水度量利用風險貼水度量，取決于對經濟行為主體的假定只是對于同一類經濟行為主體，風險貼水值的大小才能衡量風險程度的大小風險貼水測度依賴于經濟行為主體的主觀條件，與決策者的主觀評價（偏好關系）有關。

2023/7/1144第44頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月利用方差測度方差純粹是從風險的數量特征來測定風險的程度（大?。┑脑谝欢ㄒ饬x上可以認為，方差對于風險的測度是客觀的，描述了選擇結果偏離預期值的程度，而與經濟行為主體的主觀條件無關。2023/7/1145第45頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月1.8風險厭惡的度量1.8.1風險厭惡度量的導出在一定的假設條件下，即經濟行為主體面對的是公平博彩并且風險很小時，普拉特（Pratt1964年）和阿羅（Arrow,1970年）分別證明經濟行為主體的效用函數特征

可以用來度量經濟行為主體的風險厭惡程度。2023/7/1146第46頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月絕對風險厭惡度量對于具有二次連續(xù)可微的效用函數的經濟行為主體，我們定義如下的風險厭惡度量

為阿羅－普拉特絕對風險厭惡度量。風險容忍度（risktolerance）阿羅－普拉特相對風險厭惡度量

2023/7/1147第47頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月

1.8.2風險厭惡度量的性質絕對風險厭惡度量，主要考察在初始財富相同的條件下，具有不同風險厭惡程度的經濟行為主體的風險行為特點；相對風險厭惡度量，主要考察經濟行為主體隨著個人財富或消費的變化，對風險資產的投資行為的變化。即當財富增加時，其投資于有風險資產的財富比例的變化。2023/7/1148第48頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月普拉特定理假設是兩個二次可微的，嚴格單調遞增的凹函數，那么以下三種表述方式是等價的：命題4

假設投資者i比k具有更強的風險厭惡，若要使他們對風險投資進行等量投資，則對i來說需求的風險溢價要比k所需求大。就是說，風險厭惡傾向強的投資者對風險投資相對更小。2023/7/1149第49頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月定義(Arrow,1970)

前面都是假定投資者的初始財富不變?，F在我們考察隨著個人財富的增加投資者對風險資產的投資變化，從而可以觀察投資者對風險資產的態(tài)度，是否將風險資產視為正常品（normalgoods).2023/7/1150第50頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月阿羅－普拉特定理：對于遞減絕對風險厭惡的經濟行為主體，隨著初始財富的增加，他對風險證券的的投資逐漸增大，也就是說，他視風險證券為正常品；對于遞增絕對風險厭惡的經濟行為主體，隨著初始財富的增加，他對風險證券的的投資逐漸減少，也就是說，他視風險證券為劣等品；對常數絕對風險厭惡的經濟行為主體，他對風險證券的的投資與初始財富的變動無關。

2023/7/1151第51頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月阿羅－普拉特相對風險厭惡度量：

2023/7/1152第52頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月

由前面可知，假若風險厭惡是絕對遞減的，投資者隨著他的財富增加將會加大對風險的絕對投資量，但是并不清楚相對于總財富的風險投資比例是增大、不變還是減少。為了回答這個問題，進一步借助相對風險厭惡度量概念。命題5對于遞增相對風險厭惡的經濟行為主體，風險證券需求的財富彈性小于1（即隨著財富的增加，投資于風險資產相對于財富的比例下降）；對于常數相對風險厭惡的經濟行為主體，風險證券需求的財富彈性等于1；對于遞減相對風險厭惡的經濟行為主體，風險證券需求的財富彈性大于1。2023/7/1153第53頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月1.8兩基金貨幣分離

對于多種風險資產的市場，前面的一些結論未必成立，若投資者持有同一的風險資產組合，而對于不同初始財富水平僅僅改變風險資產組合與無風險資產之間的比例，那么在多種風險資產環(huán)境里前面的簡單比較靜態(tài)結果仍然有效。

兩基金貨幣分離（twofundmonetaryseparation）：

在多種風險資產的市場，若投資者的最優(yōu)證券組合對于不同的財富水平總是無風險資產和一個風險資產共同基金的線性組合，對于不同初始財富水平僅僅改變風險資產組合與無風險資產之間的比例。這種現象被稱為兩基金貨幣分離。即最優(yōu)風險資產投資為

其中為與無關常數，此即

2023/7/1154第54頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月定理（Cass&Stiglitz,1970）假設資產市場具有多種風險資產，存在兩基金貨幣分離現象的充要條件是效用函數滿足對于所有的z。稱證券組合是部分分離的（partiallyseparated），如果