第1課時并集和交集激趣誘思知識點撥某單位食堂第一天買菜的品種構成的集合記為A={黃瓜,冬瓜,鯽魚,蝦,茄子};第二天買菜的品種構成的集合記為B={黃瓜,豬肉,毛豆,芹菜,蝦,土豆}.問:1.兩天所買過的相同菜的品種構成的集合記為C,則集合C等于什么?2.兩天買過的所有菜的品種構成的集合記為D,則集合D等于什么?激趣誘思知識點撥知識點一、并集

激趣誘思知識點撥名師點析

對并集概念的理解:(1)A∪B仍是一個集合,A∪B由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成.(2)并集符號語言中的“或”與生活中的“或”字含義有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”連接的并列成分之間不一定是互斥的,“x∈A或x∈B”包括下列三種情況:①x∈A,且x?B;②x?A,且x∈B;③x∈A,且x∈B.可用下圖所示形象地表示.激趣誘思知識點撥(3)對概念中的“所有”的理解,不能認為A∪B是由A的所有元素和B的所有元素組成的集合,即簡單拼湊,還要注意滿足集合中元素的互異性,相同的元素(即A與B的公共元素)只能算作并集中的一個元素.例如,A={1,2,4},B={1,4,5,7},A∪B={1,2,4,5,7},而不能寫成A∪B={1,2,4,1,4,5,7}.激趣誘思知識點撥微思考(1)觀察下列幾組集合①集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},C={1,2,3,4,5,6};②集合A={x|x是參加2018平昌冬奧會的男運動員},B={x|x是參加2018平昌冬奧會的女運動員},C={x|x是參加2018平昌冬奧會的運動員};③集合A={x|x是奇數(shù)},B={x|x是偶數(shù)},C={x|x是整數(shù)}.上述各組中,集合C與集合A,B之間有什么關系?提示:集合C是由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的.(2)思考(1)①中,集合A中有4個元素,集合B中也有4個元素,但集合C中卻有6個元素,為什么?提示:集合中元素的互異性,相同的元素只出現(xiàn)一次.激趣誘思知識點撥微練習(1)設集合A={1,3},集合B={1,2,4,5},則集合A∪B=(

)A.{1,3,1,2,4,5} B.{1}C.{1,2,3,4,5} D.{2,3,4,5}(2)已知集合A={x|x>-2},B={x|x≥1},則A∪B=(

)A.{x|x>-2} B.{x|-2<x≤1}C.{x|x≤-2} D.{x|x≥1}(3)已知集合A={1,3,m},B={3,4},A∪B={1,2,3,4},則實數(shù)m=

.

答案:(1)C

(2)A

(3)2激趣誘思知識點撥知識點二、交集

激趣誘思知識點撥名師點析

對交集概念的理解:(1)A∩B仍是一個集合,A∩B由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成.(2)對于“A∩B={x|x∈A,且x∈B}”,包含以下兩層意思:①A∩B中的任一元素都是A與B的公共元素;②A與B的公共元素都屬于A∩B,這就是文字定義中“所有”二字的含義,如A={1,2,3},B={2,3,4},則A∩B={2,3},而不是{2}或{3}.(3)并不是任意兩個集合總有公共元素,當集合A與集合B沒有公共元素時,不能說A與B沒有交集,而是A∩B=?.(4)當A=B時,A∩B=A和A∩B=B同時成立.激趣誘思知識點撥微拓展求兩集合交集的注意點(1)求兩集合的交集時,首先要化簡集合,使集合元素的性質特征盡量明顯化,然后根據(jù)交集的含義寫出結果.(2)在求與不等式有關的集合的交集運算時,數(shù)軸分析法直觀清晰,因此,應重點考慮.激趣誘思知識點撥微思考(1)觀察下列幾組集合:①集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},C={3,4};②集合A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},C={x|x是等腰直角三角形};③集合A={x|x>0},B={x|x<2},C={x|0<x<2}.上述各組中,集合C與集合A,B之間有什么關系?提示:集合C是由所有既屬于集合A又屬于集合B的元素組成的.(2)若集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},A∩B存在嗎?提示:A與B沒有公共元素,但A∩B存在,為空集?.激趣誘思知識點撥微練習(1)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},則A∩B=(

)A.{x|x>-1}

B.{x|x<2}C.{x|-1<x<2} D.?(2)已知集合A={-1,0,1,2,3},B={x|-2≤x≤2},那么A∩B=(

)A.{-1,0,1} B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1,2,3} D.{x|-2≤x≤2}(3)已知集合A={0,1},B={a-2,2},若A∩B={1},則A∪B=(

)A.{0,1,2}

B.{1}

C.{0,1,2,3}

D.{1,2}答案:(1)C

(2)B

(3)A激趣誘思知識點撥知識點三、并集、交集的性質(1)A∩A=A,A∪A=A.(2)A∩?=?,A∪?=A.(3)A∩B?A,A∩B?B.(4)A∪B?A,A∪B?B.激趣誘思知識點撥微練習判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)(A∩B)∪C=A∩(B∪C).(

)(2)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C).(

)(3)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).(

)答案:(1)×

(2)√

(3)√

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測集合的并集與交集運算例1(1)設集合A={x|x2-2x-3=0},B={x|x2=1},則A∪B=(

)A.{1} B.{1,3}C.{-1,1,3} D.{-1,1}(2)已知集合A={x|x<2},B={x≥1},則A∪B=(

)A.{x|x<2} B.{x|1≤x<2}C.{x|x≥1} D.R分析(1)先解一元二次方程得集合A,B,再根據(jù)集合并集定義求結果;(2)用數(shù)軸表示集合A,B,根據(jù)定義求解.解析:(1)A={-1,3},B={-1,1},A∪B={-1,1,3}.答案:(1)C

(2)D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1(1)已知集合A={x∈N|1≤x≤3},B={2,3,4,5},則A∪B=(

)A.{2,3} B.{2,3,4,5}C.{2} D.{1,2,3,4,5}(2)設集合A={x∈N*|x≤2},B={2,6},則A∪B=(

)A.{2} B.{2,6}C.{1,2,6} D.{0,1,2,6}答案:(1)D

(2)C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測例2(1)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},則A∩B=(

)A.{3} B.{5}C.{3,5} D.{1,2,3,4,5,7}(2)設集合M={x|-3<x<2},N={x|1≤x≤3},則M∩N=(

)A.{x|1≤x<2} B.{x|1≤x≤2}C.{x|2<x≤3} D.{x|2≤x≤3}(3)(2019天津,文1)設集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},則(A∩C)∪B=(

)A.{2} B.{2,3}C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4}探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解析:(1)直接由交集定義可得.(2)利用數(shù)軸分別畫出集合M,N,如圖:∴M∩N={x|1≤x<2}.(3)A∩C={1,2},(A∩C)∪B={1,2,3,4},故選D.答案:(1)C

(2)A

(3)D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

求兩個集合交集、并集的方法技巧當求兩個集合的并集、交集時,對于用描述法給出的集合,首先明確集合中的元素,其次將兩個集合化為最簡形式;對于連續(xù)的數(shù)集常借助于數(shù)軸寫出結果,此時要注意數(shù)軸上方所有“線”下面的實數(shù)組成了并集,數(shù)軸上方“雙線”(即公共部分)下面的實數(shù)組成了交集,此時要注意當端點不在集合中時,應用空心圈表示;對于用列舉法給出的集合,則依據(jù)并集、交集的含義,可直接觀察或借助于Venn圖寫出結果.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2若集合M={x∈R|-3<x<1},N={x∈Z|-1≤x≤2},則M∩N=(

)A.{0} B.{-1,0}C.{-1,0,1} D.{-2,-1,0,1,2}解析:N={-1,0,1,2},M={x∈R|-3<x<1},則M∩N={-1,0}.答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測已知集合的交集、并集求參數(shù)的值或取值范圍例3已知a∈R,集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},若9∈A∩B,則實數(shù)a的值為

.

分析9∈A∩B說明9∈A,通過分類討論建立關于a的方程求解,注意求出a的值后要代入集合A,B中,看是否滿足集合中元素的互異性.解析:∵9∈A∩B,∴9∈A且9∈B,∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.當a=5時,A={-4,9,25},B={0,-4,9},符合題意;當a=3時,A={-4,5,9},B不滿足集合中元素的互異性,故a≠3;當a=-3時,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},符合題意.綜上可得a的值為5或-3.答案:5或-3探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

已知兩個有限集運算結果求參數(shù)值的方法對于這類已知兩個有限集的運算結果求參數(shù)值的問題,一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關系,再列方程求解.另外,在處理有關含參數(shù)的集合問題時,要注意對求解結果進行檢驗,以避免違背集合中元素的有關特性,尤其是互異性.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究

例3中,將“9∈A∩B”改為“A∩B={9}”,其余條件不變,求實數(shù)a的值及A∪B.解:∵A∩B={9},∴9∈A.∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.當a=5時,A={-4,9,25},B={0,-4,9},由于A∩B={-4,9},不符合題意,故a≠5;當a=3時,A={-4,5,9},B不滿足集合中元素的互異性,故a≠3;當a=-3時,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},且A∩B={9},符合題意.綜上可得a=-3.此時A∪B={-8,-4,-7,4,9}.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測例4集合A={x|-1<x<1},B={x|x<a}.(1)若A∩B=?,求a的取值范圍;(2)若A∪B={x|x<1},求a的取值范圍.分析利用數(shù)軸把集合A,B表示出來,根據(jù)題目條件數(shù)形結合列出參數(shù)a滿足的不等式,求解時需注意等號能否取得.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解:(1)A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∩B=?,如圖1所示.∴數(shù)軸上點x=a在點x=-1左側,且包含點x=-1,∴{a|a≤-1}.(2)A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∪B={x|x<1},如圖2所示,∴數(shù)軸上點x=a在點x=-1和點x=1之間,不包含點x=-1,但包含點x=1.∴{a|-1<a≤1}.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

已知集合運算求參數(shù)的取值范圍的思路此類問題常借助數(shù)軸解決,首先根據(jù)集合間的關系畫出數(shù)軸,然后根據(jù)數(shù)軸列出關于參數(shù)的不等式(組)求解,特別要注意端點值的取舍.當集合的元素離散時,常借助集合的關系列關于參數(shù)的方程(組)求解,但求解后要代入檢驗是否符合題意.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究

例4(1)中,把“A∩B=?”改為“A∩B≠?”,求a的取值范圍.解:利用數(shù)軸(略)表示出兩個集合,數(shù)形結合知,要使A∩B≠?,需數(shù)軸上點x=a在點x=-1右側且不包含點x=-1,所以{a|a>-1}.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測集合的交集、并集性質的應用例5設集合M={x|-2<x<5},N={x|2-t<x<2t+1,t∈R},若M∪N=M,則實數(shù)t的取值范圍為

.

分析把M∪N=M轉化為N?M,利用數(shù)軸表示出兩個集合,建立端點間的不等關系式求解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測答案:{t|t≤2}探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究

將例5條件中“M∪N=M”改為“M∩N=M”,其余不變,求實數(shù)t的取值范圍.解:由M∩N=M,得M?N,故N≠?.用數(shù)軸(略)表示兩個集合,要滿足條所以t的取值范圍為{t|t≥4}.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測例6設A={x|x2-2x=0},B={x|x2-2ax+a2-a=0}.(1)若A∩B=B,求a的取值范圍;(2)若A∪B=B,求a的值.分析先化簡集合A,B,再由已知條件得A∩B=B和A∪B=B,轉化為集合A,B的包含關系,分類討論求a的值或取值范圍.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解:由x2-2x=0,得x=0或x=2.∴A={0,2}.(1)∵A∩B=B,∴B?A,B=?,{0},{2},{0,2}.當B=?時,Δ=4a2-4(a2-a)=4a<0,∴a<0;(2)∵A∪B=B,∴A?B.∵A={0,2},而B中方程至多有兩個根,∴A=B,由(1)知a=1.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

利用交、并集運算求參數(shù)的思路(1)涉及A∩B=B或A∪B=A的問題,可利用集合的運算性質,轉化為相關集合之間的關系求解,要注意空集的特殊性.(2)將集合中的運算關系轉化為兩個集合之間的關系.若集合中的元素能一一列舉,則可用觀察法得到不同集合中元素之間的關系,要注意集合中元素的互異性;與不等式有關的集合,則可利用數(shù)軸得到不同集合之間的關系.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練3已知集合M={x|2x-4=0},集合N={x|x2-3x+m=0},(1)當m=2時,求M∩N,M∪N;(2)當M∩N=M時,求實數(shù)m的值.解:(1)由題意得M={2}.當m=2時,N={x|x2-3x+2=0}={1,2},∴M∩N={2},M∪N={1,2}.(2)∵M∩N=M,∴M?N.∵M={2},∴2∈N,∴2是關于x的方程x2-3x+m=0的解,即4-6+m=0,解得m=2.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測分類討論思想在集合運算中的應用分類討論就是分別歸類再進行討論的意思,數(shù)學中的分類過程就是對事件共性的抽象過程.解題時要明確為什么分類,如何分類,如何確定分類的標準.應用時,首先要審清題意,認真分析可能產(chǎn)生的不同因素.進行討論時要確定分類的標準,每一次分類只能按照一個標準來分,不能重復也不能遺漏.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測典例

設集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-5=0}.(1)若A∩B={2},求實數(shù)a的值;(2)若A∪B=A,求實數(shù)a的取值范圍.解:(1)集合A={x|x2-3x+2=0}={1,2},若A∩B={2},則x=2是方程x2+2(a+1)x+a2-5=0的實數(shù)根,可得a2+4a+3=0,解得a=-3或a=-1.驗證:a=-3時,B={2},a=-1時,B={-2,2},均滿足A∩B={2}.∴a的值為-1或-3.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測(2)A={x|x2-3x+2=0}={1,2},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0},對應的Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).∵A∪B=A,∴B?A.①當Δ<0,即a<-3時,B=?,滿足條件;②當Δ=0,即a=-3時,B={2},滿足條件;③當Δ>0,即a>-3時,只有B={1,2},才能滿足條件,由一元二次方程根與系數(shù)的關系,得1+2=-2(a+1),且1×2=a2-5.∴a=-