第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)高考定位三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容，主要從以下兩個(gè)方面進(jìn)行考查：1.三角函數(shù)的圖象，主要涉及圖象變換問題以及由圖象確定解析式問題，主要以選擇題、填空題的形式考查.2.利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解三角函數(shù)的值、參數(shù)、最值、值域、單調(diào)區(qū)間等，主要以解答題的形式考查.真題感悟π1.(2015·山東卷)要得到函數(shù)y＝sin4x－3的圖象，只需將函數(shù)y＝12A.向左平移π

個(gè)單位πB.向右平移12個(gè)單位πC.向左平移3個(gè)單位πD.向右平移3個(gè)單位

π

π

解析 ∵y＝sin4x－3＝sin4x－12，π∴要得到函數(shù)y＝sin4x－3的圖象，只需將函數(shù)y＝sin

4x

的圖12象向右平移π

個(gè)單位.sin

4x

的圖象(

B

))

A.y＝sin2x＋2

π

πB.y＝cos2x＋2C.y＝sin2x＋cos2xD.y＝sin

x＋cos

x

ππ解析

y＝sin2x＋2＝cos

2x

為偶函數(shù)，y＝cos2x＋2＝－sin

2x是周期為π的奇函數(shù)，故選B.2.(2015·四川卷)下列函數(shù)中，最小正周期為

π

的奇函數(shù)是(

B3.(2015·全國Ⅰ卷)函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(

)134A.kπ－4，kπ＋

，k∈Z

13B.2kπ－4，2kπ＋4，k∈Z

13C.k－4，k＋4，k∈Z13D.2k－4，2k＋4，k∈Z解析

由圖象知T

5

1

1，2＝4－4＝∴T＝2.∵ω＝π，π

π4

4π2π4又

cos

＋φ＝0，∴

＋φ＝

，∴φ＝

，4由

2kπ＜πx＋π

2kπ＋π，k∈Z，＜43∴2k－1

x＜2k＋，k∈Z，由選項(xiàng)知D

正確.＜

4答案

D4.(2015·浙江卷)函數(shù)

f(x)＝sin2

x＋sin

xcos

x＋1

的最小正周期是

，最小值是

.解析

函數(shù)

f(x)＝sin2x＋sin

xcos

x＋1＝1－cos

2x1＋2sin

2x＋1＝

2π32

sin2x－4＋2.最小正周期為π.最小值為23－

22.答案

π3－

22考點(diǎn)整合1.三角函數(shù)的圖象及常用性質(zhì)(表中k∈Z)y＝sin

xy＝cos

xy＝tan

x圖象增區(qū)間π

π－

＋2kπ，

＋2kπ

2

2

[－π＋2kπ，2kπ]

π＋kπ，

π

kπ－2

2＋

減區(qū)間π

3π

2＋2kπ，

2＋2kπ[2kπ，π＋2kπ]無對稱軸x＝kπ

π＋2x＝kπ無對稱中心(kπ，0)π

2＋kπ，0kπ

0

2

，

2.三角函數(shù)的兩種常見變換3.正弦型函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的對稱中心是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，對稱軸是過函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或者最低點(diǎn)且與x軸垂直的直線；正切型函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的圖象是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形.πAsin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<2在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：熱點(diǎn)一

三角函數(shù)的圖象[微題型1]

三角函數(shù)的圖象變換及應(yīng)用【例

1－1】

(2015·湖北卷)某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)

f(x)＝ωx＋φ0π2π3π22πxπ35π6Asin(ωx＋φ)05－50(1)

請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式；π(2)

將y＝f(x)圖象上所有點(diǎn)向左平移6個(gè)單位長度，得到y(tǒng)＝g(x)的圖象，求y＝g(x)的圖象離原點(diǎn)O最近的對稱中心.6解

(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得

A＝5，ω＝2，φ＝－π.數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：ωx＋φ0π2π3π22πxπ12π37π125π613π12Asin(ωx＋φ)050－50π且函數(shù)表達(dá)式為f(x)＝5sin2x－6.π6(2)由(1)知f(x)＝5sin2x－，

π

π

π因此g(x)＝5sin2x＋6－6＝5sin2x＋6.因?yàn)閥＝sin

x

的對稱中心為(kπ，0)，k∈Z.令2x＋π＝kπ，解得x＝kπ－π

，k∈Z.6

2

12kπ

π即

y＝g(x)圖象的對稱中心為

2

－12，0，k∈Z，其中離原點(diǎn)

O

最π近的對稱中心為－12，0.探究提高三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個(gè)變換總是對字母x而言.【例1－2】(2015·太原模擬)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜2，π

x∈R)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達(dá)式為(

)A.y＝－4sin

x＋

π

π8

4B.y＝4sin

x－

π

π8

4C.y＝－4sin

x－

π

π8

4D.y＝4sin

x＋

π

π8

4[微題型2]

由三角函數(shù)圖象求其解析式2解析

T

6－(－2)＝8，∴T＝16，A＝4.由圖象知＝∴ω＝2π2π

πT

＝16＝8，π8∴y＝4sin

x＋φ.把點(diǎn)(6，0)代入得：π×6＋φ＝0，得φ＝－8

43π，π∴y＝4sin

x－8 4

3π

π2，又∵|φ|＜，π

π8

4∴y＝－4sin

x＋

.答案

A

ωx＋φ探究提高

已知圖象求函數(shù)

y＝Asin

(A＞0，ω＞0)的解析式時(shí)，常用的方法是待定系數(shù)法.由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求A；由函數(shù)的周期確定ω；確定φ

常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)求解，其中一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置.

π【訓(xùn)練1】已知函數(shù)y＝2sin2x＋3.(1)用五點(diǎn)法作出一個(gè)周期內(nèi)的圖象；π(2)說明

y＝2sin2x＋3的圖象可由

y＝sin

x

的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到.解

(1)列表2x

π＋30π2π3π22πx－π6π12π3

7

π125π6y020－20描點(diǎn)連線π

π(2)把

y＝sin

x

的圖象向左平移3個(gè)單位，得到

y＝sinx＋3

的圖象，1再把所得到的函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的2

π得到y(tǒng)＝sin2x＋3的圖象，再把所得圖象的點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐π標(biāo)伸長到原來的2

倍，得到y(tǒng)＝2sin2x＋3的圖象.x＋sin

2x

【例2－1】(2015·西安第一中學(xué)模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝2cos2＋a(a∈R).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

π(2)當(dāng)

x∈0，6時(shí)，f(x)的最大值為

2，求

a

的值，并求出

y＝f(x)(x∈R)的對稱軸方程.熱點(diǎn)二

三角函數(shù)的性質(zhì)[微題型1]

考查三角函數(shù)的單調(diào)性、對稱性解

(1)f(x)＝2cos2

x＋sin

2x＋a＝1＋cos

2x＋sin

2x＋a

π2π＝

2sin2x＋4＋1＋a，則f(x)的最小正周期T＝

2

＝π，2π且當(dāng)

2kπ－π

2x＋

≤2kπ＋π≤

42(k∈Z)時(shí)f(x)單調(diào)遞增，

3ππ即kπ－8

，kπ＋8(k∈Z)為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

ππ

π

7π(2)當(dāng)x∈0，6時(shí)，則4≤2x＋4≤12，π

π

ππ當(dāng)2x＋4＝2，即x＝8時(shí)sin2x＋4＝1.所以f(x)max＝2＋1＋a＝2a＝1－

2.由

2x＋π

π

kπ

π4＝kπ＋2(k∈Z)，得x＝

2

＋8(k∈Z)，即

x＝kπ

π

k∈Z)為

f(x)的對稱軸.2

＋8(探究提高對于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)單調(diào)區(qū)間的求解，其基本方法是將ωx＋φ作為一個(gè)整體代入正弦函數(shù)增區(qū)間(或減區(qū)間)，求出的區(qū)間即為y＝Asin(ωx＋φ)的增區(qū)間(或減區(qū)間)，但是當(dāng)A＞0，ω＜0時(shí)，需先利用誘導(dǎo)公式變形為y＝－Asin(－ωx－φ)，則y＝Asin(－ωx－φ)的增區(qū)間即為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間即為原函數(shù)的增區(qū)間.【例

2－2】

(2015·濟(jì)南模擬)設(shè)函數(shù)

f(x)＝sin2ωx＋2 3sin

ωx·cos

ωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的圖象關(guān)于直線x＝π

對稱，其中ω，λ

為常1

2數(shù)，且

ω∈

，1.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；

π

π(2)若y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)

4

，0，求函數(shù)f(x)在x∈0，2上的值域.[微題型2]

考查三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值(或值域)解

(1)因?yàn)?/p>

f(x)＝sin2ωx＋23sin

ωx·cos

ωx－cos2ωx＋λ＝－cos

π2ωx＋

3sin

2ωx＋λ＝2sin2ωx－6＋λ，π由直線x＝π

是y＝f(x)圖象的一條對稱軸，可得sin2ωπ－6＝±1，π

π所以2ωπ－6＝kπ＋2(k∈Z)，即

ω＝k

1(k∈Z).2＋31

256又

ω∈

，1，k∈Z，所以

k＝1，故

ω＝

.所以f(x)的最小正周期是56π.

π

π4(2)由

y＝f(x)的圖象過點(diǎn)4，0，得

f

＝0，5

ππ

π4即

λ＝－2sin

×

－

＝－2sin

＝－2，6

2

6即λ＝－2，5

π3

6故

f(x)＝2sin

x－

－2.

π∵x∈0，2，

5

π

π

2π∴3x－6∈－6，

3

，∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－1－2，2－2].探究提高

求三角函數(shù)最值的兩條思路：(1)將問題化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)或圖象求解；(2)將問題化為關(guān)于sinx或cosx的二次函數(shù)的形式，借助二次函數(shù)的性質(zhì)或圖象求解.π2【訓(xùn)練2】(2015·河南名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝cos2x－3＋sin

x－cos2x.求函數(shù)f(x)的最小正周期及其圖象的對稱軸方程；設(shè)函數(shù)g(x)＝[f(x)]2＋f(x)，求g(x)的值域.1

3

π解

(1)f(x)＝2cos

2x＋

2

sin

2x－cos

2x＝sin2x－6.π

π則f(x)的最小正周期為π，由2x－6＝kπ＋2(k∈Z)，得

x＝kπ

π(k∈Z)，2

＋3所以函數(shù)圖象的對稱軸方程為

x＝kπ

π(k∈Z).2

＋322

ππ(2)g(x)

＝

[f(x)]

＋

f(x)

＝

sin

2x－6

＋

sin

2x－6

＝

π

121sin2x－6＋2

－4.π1

1當(dāng)sin2x－6＝－2時(shí)，g(x)取得最小值－4，

π當(dāng)sin2x－6＝1

時(shí)，g(x)取得最大值2，1所以g(x)的值域?yàn)椋?，2.1.(1)y＝－sin

x

與y＝sin

x

的單調(diào)性正好相反，y＝－cos

x

與y＝cos

x

的單調(diào)性也同樣相反.y＝|sin

x|與

y＝|cos

x|的周期是π，y＝sin|x|不是周期函數(shù)，y＝cos|x|是周期函數(shù).對于函