秘籍03四邊形綜合概率預(yù)測☆☆☆題型預(yù)測解答題☆☆☆考向預(yù)測①三角形全等的判定②特殊四邊形的判定四邊形綜合題是全國中考?？碱}型。好多學(xué)生因特殊四邊形的定理弄混淆而失分。1．從考點(diǎn)頻率看，三角形的綜合和四邊形的綜合會(huì)二選一，四邊形綜合題以考查特殊四邊形性質(zhì)和判定為主，除了考查四邊形的性質(zhì)和判定外，還會(huì)結(jié)合三角形的全等進(jìn)行考查。2．從題型角度看，以解答題為主，分值8-12分左右！平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)圖形邊角對(duì)角線平行四邊形對(duì)邊平行且相等對(duì)角相等對(duì)角線互相平分矩形對(duì)邊平行且相等四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相平分且相等菱形對(duì)邊平行，四邊相等對(duì)角相等對(duì)角線互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角正方形對(duì)邊平行，四邊相等四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相垂直平分、相等，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定圖形判定平行四邊形1：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。3：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。4：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。5：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。矩形1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形2：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形3：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。菱形1：四邊都相等的四邊形是菱形。2：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。3：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。正方形1：有一組鄰邊相等的矩形是正方形2：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形3：對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形4：對(duì)角線相等的菱形是正方形典例1．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F在對(duì)角線BD上，且BE＝DF．求證：(1)△ABE≌△CDF；(2)四邊形AECF是平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件根據(jù)SAS即可證明；（2）根據(jù)可得，根據(jù)鄰補(bǔ)角的意義可得，可得，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等即可得出．【詳解】（1）證明：解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，又，∴（SAS）；（2）證明：∵，∴∴，∴四邊形AECF是平行四邊形【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．典例2．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，EF過點(diǎn)O且分別交AB、DC于點(diǎn)E、F，連接DE、BF．求證：(1)△DOF≌△BOE；(2)DE=BF．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形ABCD的性質(zhì)，利用ASA即可證明△DOF≌△BOE；（2）證明四邊形BEDF的對(duì)角線互相平分，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，O是BD的中點(diǎn)，∴AB∥DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF．在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA）；（2）證明：∵△BOE≌△DOF，∴EO=FO，∵OB=OD，∴四邊形BEDF是平行四邊形．∴DE=BF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解決問的關(guān)鍵．典例3．如圖，?ABCD中，E為BC邊的中點(diǎn)，連接AE并延長交DC的延長線于點(diǎn)F，延長EC至點(diǎn)G，使CG=CE，連接DG、DE、FG．(1)求證：△ABE≌△FCE；(2)若AD=2AB，求證：四邊形DEFG是矩形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)推出∠EAB=∠CFE，利用AAS即可判定△ABE≌△FCE；（2）先證明四邊形DEFG是平行四邊形，【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，再證明DF=EG，即可證明四邊形DEFG是矩形．∴ABCD，∴∠EAB=∠CFE，又∵E為BC的中點(diǎn)，∴EC=EB，∴在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE(AAS)；（2）證明：∵△ABE≌△FCE，∴AB=CF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC，∴DC=CF，又∵CE=CG，∴四邊形DEFG是平行四邊形，∵E為BC的中點(diǎn)，CE=CG，∴BC=EG，又∵AD=BC=EG=2AB，DF=CD+CF=2CD=2AB，∴DF=EG，∴平行四邊形DEFG是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明△ABE≌△FCE是解題的關(guān)鍵．典例4．如圖，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)cm【分析】（1）利用ASA證明即可；（2）過點(diǎn)E作EG⊥BC交于點(diǎn)G，求出FG的長，設(shè)AE=xcm，用x表示出DE的長，在Rt△PED中，由勾股定理求得答案．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°，由折疊知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°，∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF=∠ADC，∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,∴∠PDE=∠CDF，在△PDE和△CDF中，,∴（ASA）；（2）如圖，過點(diǎn)E作EG⊥BC交于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD=EG=4cm，又∵EF=5cm，∴cm,設(shè)AE=xcm，∴EP=xcm，由知，EP=CF=xcm，∴DE=GC=GF+FC=3+x，在Rt△PED中，,即，解得，，∴BC=BG+GC=(cm）．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中利用勾股定理是解題的關(guān)鍵．典例5．如圖，四邊形ABCD是菱形，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F．(1)求證：△ABE≌△ADF；(2)若AE=4，CF=2，求菱形的邊長．【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）利用AAS即可證明△ABE≌△ADF；（2）設(shè)菱形的邊長為x，利用全等三角形的性質(zhì)得到BE=DF=x?2，在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD（菱形的四條邊相等），∠B=∠D（菱形的對(duì)角相等），∵AE⊥BC

AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°（垂直的定義），在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF(AAS)；（2）解：設(shè)菱形的邊長為x，∴AB=CD=x，CF=2，∴DF=x?2，∵△ABE≌△ADF，∴BE=DF=x?2（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∴AE2+BE2=AB2（勾股定理），∴42+(x?2)2=x2，解得x=5，∴菱形的邊長是5．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．典例6．如圖，在Rt中，，．點(diǎn)D是的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E.延長至點(diǎn)F，使得，連接、、．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，則的值為_______．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形即可得證；（2）設(shè)，則，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，勾股定理求得，根據(jù)，，即可求解．【詳解】（1）證明：，，∴四邊形是平行四邊形，∵，四邊形是菱形；（2）解：，設(shè)，則，四邊形是菱形；，，，在中，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，求正切，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．典例7．如圖，已知四邊形ABCD是正方形，G為線段AD上任意一點(diǎn)，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．求證：．【答案】證明見解析【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)垂直的定義可得，從而可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)線段的和差、等量代換即可得證．【詳解】證明：四邊形是正方形，，，，，，，在和中，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確找出兩個(gè)全等三角形是解題關(guān)鍵．中考四邊形綜合題常考的是平行四邊形、矩形、菱形和正方形。特殊四邊形的性質(zhì)和判定都是從邊、角和對(duì)角線這3個(gè)方面著手。做題過程中經(jīng)常還要用到三角形的全等判定（性質(zhì)）和三角形相似判定（性質(zhì)），個(gè)別難度較大的題還要做輔助線。注意模型：中點(diǎn)四邊形模型、對(duì)角互補(bǔ)模型、半角模型等。典例8．四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn)，順次連接各邊中點(diǎn)得到的新四邊形EFGH稱為中點(diǎn)四邊形．（1）我們知道：無論四邊形ABCD怎樣變化，它的中點(diǎn)四邊形EFGH都是平行四邊形．特殊的：①當(dāng)對(duì)角線時(shí)，四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形為__________形；②當(dāng)對(duì)角線時(shí)，四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是__________形．（2）如圖：四邊形ABCD中，已知，且，請(qǐng)利用（1）中的結(jié)論，判斷四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀并進(jìn)行證明．【答案】（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形見解析【分析】（1）①連接AC、BD，根據(jù)三角形中位線定理證明四邊形EFGH都是平行四邊形，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明；②根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形證明；（2）分別延長BA、CD相交于點(diǎn)M，連接AC、BD，證明，得到AC=DB，根據(jù)（1）①證明即可．【詳解】（1）解：（1）①連接AC、BD，∵點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn)，∴EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，∴EH∥FG，同理EF∥HG，∴四邊形EFGH都是平行四邊形，∵對(duì)角線AC=BD，∴EH=EF，∴四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是菱形；②當(dāng)對(duì)角線AC⊥BD時(shí)，EF⊥EH，∴四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是矩形；故答案為：菱；矩；（2）四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形．理由如下：分別延長BA、CD相交于點(diǎn)M，連接AC、BD，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，，在和中，，∴，∴，∴四邊形ABCD的對(duì)角線相等，中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形、菱形的判定、中點(diǎn)四邊形的定義，掌握中點(diǎn)四邊形的概念、矩形的判定定理、菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．典例9．正方形ABCD中，點(diǎn)E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE與BF交于點(diǎn)G．（1）如圖1，求證AE⊥BF；（2）如圖2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分線交CD于點(diǎn)H，交BF于點(diǎn)N，連接CN，求證：AN+CN＝BN；【答案】（1）見解析；（2）見解析；【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=BC，，用SAS證明，得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等量代換即可得；（2）過點(diǎn)B作，交AN于點(diǎn)H，根據(jù)正方形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，用SAS證明，得，根據(jù)角平分線性質(zhì)得，則是等腰直角三角形，用SAS證明，得AH=CN，在中，根據(jù)勾股定理即可得；【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，，在和中，∴（SAS），∴，∵，∴，∴，∴；（2）如圖所示，過點(diǎn)B作，交AN于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AC，，∵，，∴，由（1）得，，∴，∴,∴，∴，在和中，∴（SAS），∴，∵AN平分，∴，∴，，，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴BH=BN，在和中，∴（SAS），∴AH=CN，在中，根據(jù)勾股定理，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理和銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)．典例10．四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．（1）如圖，求證：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝4，CE＝2，求CG的長度；（3）當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是40°時(shí)，直接寫出∠EFC的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）2；（3）∠EFC＝130°或40°【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，證明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根據(jù)正方形的判定定理證明即可；（2）通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)E是AC中點(diǎn)，點(diǎn)F與C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解決問題；（3）分兩種情形：①如圖3，當(dāng)DE與AD的夾角為40°時(shí)，求得∠DEC＝45°＋40°＝85°，得到∠CEF＝5°，根據(jù)角的和差得到∠EFC＝130°，②如圖4，當(dāng)DE與DC的夾角為40°時(shí)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF＋∠FEC＝45°，∠PED＋∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在△EQF和△EPD中，，∴△EQF≌△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如圖2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝4，∵CE＝2，∴AE＝CE，∴點(diǎn)F與C重合，此時(shí)△DCG是等腰直角三角形，∴四邊形DECG是正方形，∴CG＝CE＝2；（3）①如圖3，當(dāng)DE與AD的夾角為40°時(shí)，∠DEC＝45°＋40°＝85°，∵∠DEF＝90°，∴∠CEF＝5°，∵∠ECF＝45°，∴∠EFC＝130°，②如圖4，當(dāng)DE與DC的夾角為40°時(shí)，∵∠DEF＝∠DCF＝90°，∴∠EFC＝∠EDC＝40°，綜上所述，∠EFC＝130°或40°．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的判定以及性質(zhì)，涉及了全等三角形的證明、等腰直角三角形等性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．典例11．（1）如圖①，在正方形中，、分別是、上的點(diǎn)，且，連接，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，在四邊形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，此時(shí)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．【答案】（1），理由見解析；（2）成立，理由見解析【分析】（1）典型的“夾半角模型”，延長到使得，先證，再證，最后根據(jù)邊的關(guān)系即可證明；（2）圖形變式題可以參考第一問的思路，延長到使得，先證，再證，最后根據(jù)邊的關(guān)系即可證明；【詳解】解：（1）證明：延長到，使得

連接

∵四邊形是正方形

∴，

又∵

∴

∴，

∵

∴

∴

又∵

∴

∴

又∵

∴（2）證明：延長到，使得

連接

∵，

∴

又∵，

∴

∴，

∵

∴

∴

又∵

∴

∴

又∵

∴【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的根據(jù)“夾半角模型”作出輔助線是解題的關(guān)鍵．1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？级＃┰诹庑沃?，分別是邊的中點(diǎn)，連接(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連接，若，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中四個(gè)等于的角．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，可證，由此即可求證；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，∵P、Q分別是邊的中點(diǎn)，，∴，∴，∴．（2）解：∵四邊形是菱形，∴，∵分別是邊的中點(diǎn)，∴，∵，∴根據(jù)直角三角形中，角所對(duì)的邊是斜邊的一半，得，由（1）可知，，∴，∴，∴，∵分別是邊的中點(diǎn)，∴，∴，綜上所述，的度數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形，含角的直角三角形的綜合，掌握菱形的性質(zhì)，含特殊角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）在正方形中，E是邊上一點(diǎn)，在延長線上取點(diǎn)F，使．過點(diǎn)F作交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)N．(1)求證：；(2)若E是的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)，以及公共角，利用即可證得；（2）根據(jù)點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，即有，在結(jié)合（1）的結(jié)論，可得，即可證明，則有．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，，∴，又∵，，∴；（2）解：，理由如下：如圖，連接，∵點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，∴，由（1）知，∴，∴，在和中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）如圖，已知、分別是平行四邊形的邊、上的高，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，且．(1)求證：四邊形是菱形；(2)當(dāng)，時(shí)，求的余切值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用等面積法證明即可；（2）可設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，解方程求出，則．【詳解】（1）證明：∵、分別是平行四邊形的邊、上的高，∴，∴，又∵，∴，∴平行四邊形是菱形；（2）解：∵，∴設(shè)，∵四邊形是菱形，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得（負(fù)值舍去），∴，在中，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，求余切值，熟知菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．4．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）在正方形中，E是邊上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合），，垂足為點(diǎn)E，與正方形的外角的平分線交于點(diǎn)F．(1)如圖1，若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，猜想與的數(shù)量關(guān)系是_________；證明此猜想時(shí)，可取的中點(diǎn)P，連接，根據(jù)此圖形易證，則判斷的依據(jù)是_______．(2)點(diǎn)E在邊上運(yùn)動(dòng)，如圖2，（1）中的猜想是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，ASA；(2)成立，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)提示，利用ASA證明，從而得到；（2）利用（1）的解題思路，在上取一點(diǎn)P，使，連接，則，同樣利用ASA證明，從而得到．【詳解】（1）∵在正方形中，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，，∵在正方形中，是等腰直角三角形平分在和中（ASA）故答案為：，ASA．（2）①成立，理由如下：如圖，在上取一點(diǎn)P，使，連接，則，由（1）得：，∴是等腰直角三角形∴在和中∴；【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定．正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若，求證：四邊形是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，證明利用即可證明出；（2）首先證明出四邊形是平行四邊形，然后結(jié)合即可證明出四邊形是菱形．【詳解】（1）∵四邊形是矩形，∴，，在和中，，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形AECF是菱形；【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)和菱形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵6．（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD中，，．點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、D重合）將沿直線翻折，使得點(diǎn)A落在矩形內(nèi)的點(diǎn)M處（包括矩形邊界）．(1)求AP的取值范圍；(2)連接DM并延長交矩形ABCD的AB邊于點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，求AP的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)可判斷出，點(diǎn)M落在CD上時(shí)，AP的長度達(dá)到最大．利用翻折的性質(zhì)和勾股定理求出和長度，再利用，即可推斷出最大長度，從而求出取值范圍．（2）利用已知條件和翻折性質(zhì)推出，從而證明，得出，再根據(jù)翻折性質(zhì)、矩形性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)推出，．在中，，即可求出長度．【詳解】（1）解：當(dāng)M落在CD上時(shí)，AP的長度達(dá)到最大，如圖所示，四邊形ABCD是矩形，，，，沿直線翻折，，，，．．，．，．．．．．AP的取值范圍是．故答案為：．（2）解：如圖，由折疊性質(zhì)得：，，，，，，．設(shè)，過M作于H，連接，由折疊性質(zhì)得：，，．，．．，．，MN為的中位線，則，在中，，，．．．（舍去）．．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的綜合題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有翻折性質(zhì)、三角形相似、中位線定理和勾股定理．解題的關(guān)鍵在于是否能判斷出M落在CD上時(shí)，AP的長度達(dá)到最大．解題的難點(diǎn)在于是否能正確畫出圖形，解題的易錯(cuò)點(diǎn)在于是否能排除的其中一個(gè)值．7．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在同一直線上，．(1)求證：．(2)連接，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)四邊形是平行四邊形，理由見解析【分析】（1）由得到，又由即可證明；（2）由得到，則，即可判斷四邊形是平行四邊形．【詳解】（1）∵，∴，即，∵，∴；（2）如圖，連接，四邊形是平行四邊形，理由如下：∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形中，交于點(diǎn)O，且，的平分線交于點(diǎn)E．(1)求證：四邊形是矩形．(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形直接證明即可；（2）先根據(jù)勾股定理求邊長，證明后，再利用勾股定理直接求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴平行四邊形為矩形；（2）解：過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，如圖所示：∵四邊形是矩形，，∴．在中，，∴，∵，∴，∵為的平分線，，∴．在和中，，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，即，解得：．【點(diǎn)睛】此題考查矩形的判定和勾股定理，解題關(guān)鍵是通過勾股定理求三角形的邊長．9．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作且，連接，，．(1)求證：是菱形；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)，得到四邊形是平行四邊形，結(jié)合得到平行四邊形是矩形，從而得到，即可得到證明；（2）由（1）得，，，結(jié)合得到是等邊三角形，得到，，最后根據(jù)勾股定理求解即可得到答案.【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是矩形，∴，∴，∴是菱形；（2）解：∵四邊形是菱形，∴，，，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，在中，由勾股定理得：，由（1）可知，四邊形是矩形，∴，，∴，即的長為；【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理及等邊三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是得到四邊形是菱形及是矩形．10．（2023·北京·模擬預(yù)測）【探索發(fā)現(xiàn)】如圖①，四邊形是正方形，分別在邊上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．如圖①，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，得到，連接(1)試判斷之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．(2)如圖②，點(diǎn)分別在正方形的邊的延長線上，，連接，請(qǐng)寫出之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．【答案】(1)．證明見解析(2)．證明見解析【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到全等三角形，再利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化進(jìn)而得出結(jié)論；（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到全等三角形，再利用全等三角形得到邊相等，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】（1）解：．證明如下：由旋轉(zhuǎn)，可知：∴點(diǎn)共線∵∴在和中∴∴∵∴（2）解：．證明如下：在上取．連接，∵，∴∴∵∴在和中，∴∴∵∴【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．11．（2023·北京·?？寄M預(yù)測）在平行四邊形中，相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作交的延長線于點(diǎn)E，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)證明，再推出，得到，推出，根據(jù)矩形的判定定理即可證明結(jié)論；（2）作垂直于于H，通過矩形的性質(zhì)結(jié)合已知條件求得、的長，進(jìn)而由勾股定理可得到答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是矩形；（2）解：如圖，作垂直于于H，則有，∵點(diǎn)O為矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，即點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)H為中點(diǎn)，即，∴，∵，∴，，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，在中，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、解直角三角形；熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．12．（2023·四川南充·統(tǒng)考二模）如圖1，P是正方形對(duì)角線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在的延長線上，．(1)比較與的大小，并說明理由；(2)當(dāng)時(shí)，求的長；(3)如圖2，把正方形改為菱形，其他條件不變，若，則的度數(shù)是________．【答案】(1)．理由見解析(2)(3)【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)可得，，利用證明，得出，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可求解；（2）由（1）可證明，，然后證明，最后利用勾股定理求解即可；（3）仿照（1）證明，得出，，利用等腰三角形的性質(zhì)可得，然后證明，即可求解．【詳解】（1）解：，理由：∵正方形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：如圖，設(shè)與交于F，由（1），，∵，∴，∵，∴，∴；（3）解：如圖，設(shè)與交于F，∵菱形，，∴，，，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴；∴，又，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，明確題意，找出所求問題需要的條件是解題的關(guān)鍵．13．（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形是正方形．(1)問題解決：如圖①，若，分別是，上的點(diǎn)，且．求證：；(2)類比探究：如圖②，若點(diǎn)，，，分別在，，，上，且，求證：F．(3)遷移應(yīng)用：如圖③，在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，求：的值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出，，根據(jù)等角的余角相等得出，即可證明；（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，得出四邊形與四邊形是平行四邊形，則，，由知：，則，即可得出；（3）過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，證明，得出，進(jìn)而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出：：：，根據(jù)是的中點(diǎn)，即可求解．【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，＋，＋，，．（2）如圖②，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．四邊形是正方形，，四邊形與四邊形是平行四邊形．，由知：，；（3）如圖③，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)．，＋，，＋，，，，，，，即，，：：：是的中點(diǎn)，，：：：【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．14．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）如圖1，正方形的邊長為5，點(diǎn)為正方形邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接．(1)證明：．(2)延長交于點(diǎn)．判斷四邊形的的形狀，并說明理由；(3)若，求線段的長度【答案】(1)見解析(2)正方形，見解析(3)3【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明，即可得出答案；（2）先證明四邊形是矩形，根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形即可證明；（3）設(shè)正方形邊長為x，在中用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：（1）由題意和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，四邊形是正方形，，即：由：，可得：，；（2）（2）四邊形是正方形，理由如下：由（1）得：，且，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形；（3）（3）在正方形中，，在正方形中，設(shè)，，則，在中，，即：，解得：（不符合題意，舍去），，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定、正方形的判定及性質(zhì)、以及勾股定理的運(yùn)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定、正方形的判定方