函數(shù)的應(yīng)用(一)1.一次函數(shù)模型形如y=kx+b的函數(shù)為一次函數(shù)模型,其中k≠0.2.二次函數(shù)模型(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0).(2)頂點(diǎn)式:y=(a≠0).(3)兩點(diǎn)式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).3.冪函數(shù)型模型(1)解析式:y=axα+b(a,b,α為常數(shù),a≠0,α≠1).(2)單調(diào)性:其增長(zhǎng)情況由xα中的α的取值而定.【素養(yǎng)小測(cè)】1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)在選擇實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)模型時(shí),必須使所有采集的數(shù)據(jù)都適合函數(shù)模型的解析式. (

)(2)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中自變量的取值范圍由函數(shù)模型的解析式唯一確定. (

)(3)利用函數(shù)模型得到數(shù)據(jù)后,要用該數(shù)據(jù)解釋需要解決的實(shí)際問(wèn)題. (

)提示:(1)×.只要大部分?jǐn)?shù)據(jù)適合就可以.(2)×.由解析式、自變量的實(shí)際意義共同確定.(3)√.建立數(shù)學(xué)模型是為解決實(shí)際問(wèn)題服務(wù)的,得出的數(shù)據(jù)要能解釋實(shí)際問(wèn)題.2.某商品進(jìn)貨價(jià)格為30元,按40元一個(gè)銷售,能賣(mài)40個(gè);若銷售價(jià)格每漲1元,銷量減少1個(gè),要獲得最大利潤(rùn),此商品的售價(jià)應(yīng)是 (

)【解析】選A.設(shè)售價(jià)為x元,總利潤(rùn)為W元,則W=(x-30)·[40-1×(x-40)]=-x2+110x-2400=-(x-55)2+625,所以x=55時(shí),獲得最大利潤(rùn)為625元.3.甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一公園,甲同學(xué)家到公園的距離與乙同學(xué)家到公園的距離都是2km.如圖表示甲從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過(guò)的路程y(km)與時(shí)間x(min)的關(guān)系,其中甲在公園休息的時(shí)間是10min,那么y=f(x)的解析式為_(kāi)_______.

解析】由題圖知所求函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù),且各段均是直線,可用待定系數(shù)法求得y=f(x)=答案:y=f(x)=類型一一次函數(shù)模型【典例】李莊村某社區(qū)電費(fèi)收取有以下兩種方案供農(nóng)戶選擇:方案一:每戶每月收管理費(fèi)2元,月用電不超過(guò)30度,每度元,超過(guò)30度時(shí),超過(guò)部分按每度元.【思維·引】利用兩個(gè)方案的解析式解決相應(yīng)的問(wèn)題.【解析】(1)當(dāng)0≤x≤30時(shí),L(x)=2+0.4x;當(dāng)x>30時(shí)=0.5x-1,所以L(x)=(2)當(dāng)0≤x≤30時(shí),L(x)≤L(30)=14,故小李家九月份用電超過(guò)30度,由0.5x-1=34得x=70,故小李家該月用電70度.(3)方案二收費(fèi)E(x)=0.48x,x≥0,令L(x)<E(x),當(dāng)0≤x≤30時(shí),2+0.4x<0.48x,解得25<x≤30,當(dāng)x>30時(shí),0.5x-1<0.48x,解得30<x<50,綜上可得:小李家月用電量在(25,50)時(shí),選擇方案一比選擇方案二更好.【內(nèi)化·悟】怎樣求一次函數(shù)的解析式?提示:設(shè)出一次函數(shù)的解析式f(x)=kx+b(k≠0),利用條件求出系數(shù)k,b.將系數(shù)k,b代入函數(shù)解析式,即為要求的一次函數(shù)的解析式.【類題·通】用一次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的注意點(diǎn)(1)一次函數(shù)模型的應(yīng)用層次要求不高,一般情況下是本著“問(wèn)什么,設(shè)什么,列什么”這一處理的原則,求解過(guò)程也較簡(jiǎn)單.(2)用一次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),對(duì)于給出圖象的應(yīng)用題可先結(jié)合圖象利用待定系數(shù)法求出解析式.對(duì)于一次函數(shù)y=ax+b(a≠0),當(dāng)a>0時(shí)為增函數(shù),當(dāng)a<0時(shí)為減函數(shù),另外,要結(jié)合題目理解(0,b)和這些特殊點(diǎn)的實(shí)際意義.【習(xí)練·破】已知A,B兩地相距150千米,某人開(kāi)汽車以60千米/小時(shí)的速度從A地到達(dá)B地,在B地停留1小時(shí)后再以50千米/小時(shí)的速度返回A地,把汽車離開(kāi)A地的距離x表示為時(shí)間t的函數(shù),表達(dá)式為_(kāi)_______.

【解析】由題意得A,B兩地相距150千米,某人開(kāi)汽車以60千米/時(shí)的速度從A地到達(dá)B地,需要小時(shí),以50千米/時(shí)的速度返回A地,需要3小時(shí);所以當(dāng)時(shí),x=60t,當(dāng)時(shí),x=150,當(dāng)時(shí),x=150-50(t-3.5),所以x=答案:x=【加練·固】為響應(yīng)綠色出行號(hào)召,越來(lái)越多市民選擇租用共享單車出行.已知某共享單車公司為市民提供了手機(jī)支付和會(huì)員卡支付兩種支付方式,如圖描述了兩種方式應(yīng)支付金額y(元)與騎行時(shí)間x(時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系,根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題:(1)求手機(jī)支付金額y1(元)與騎行時(shí)間x(時(shí))的函數(shù)關(guān)系式.(2)李老師經(jīng)常騎行共享單車,請(qǐng)根據(jù)不同的騎行時(shí)間幫他確定選擇哪種支付方式比較合算.【解析】(1)設(shè)手機(jī)支付金額y1(元)與騎行時(shí)間x(時(shí))的函數(shù)關(guān)系式為y1=kx+b,把(0.5,0),(1,0.5)代入關(guān)系式得解得所以y1=x-0.5.(2)會(huì)員卡支付金額y2(元)與騎行時(shí)間x(時(shí))的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)2=0.75x,兩關(guān)系式聯(lián)立組成方程組解得分類討論:①x<2時(shí),選擇手機(jī)支付比較合算;②x=2時(shí),兩者一樣;③x>2時(shí),選擇會(huì)員卡支付比較合算.類型二二次函數(shù)模型【典例】山東省壽光市綠色富硒產(chǎn)品和特色農(nóng)產(chǎn)品在國(guó)際市場(chǎng)上頗具競(jìng)爭(zhēng)力,其中香菇遠(yuǎn)銷日本和韓國(guó)等地.上市時(shí),外商李經(jīng)理按市場(chǎng)價(jià)格10元/千克在本市收購(gòu)了2000千克香菇存放入冷庫(kù)中.據(jù)預(yù)測(cè),香菇的市場(chǎng)價(jià)格每天每千克將上漲元,但冷庫(kù)存放這批香菇時(shí)每天需要支出各種費(fèi)用合計(jì)340元,而且香菇在冷庫(kù)中最多保存110天,同時(shí),平均每天有6千克的香菇損壞不能出售.【思維·引】(1)銷售金額=售價(jià)×銷售量.(2)表示出利潤(rùn)=銷售總金額-收購(gòu)成本-各種費(fèi)用,再求存放時(shí)間.(3)對(duì)利潤(rùn)的表達(dá)式配方求最值.【解析】(1)由題意y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=(10+0.5x)(2000-6x)=-3x2+940x+20000(1≤x≤110,且x為整數(shù)).(2)由題意,令-3x2+940x+20000-10×2000-340x=22500,解方程得:x1=50,x2=150(不合題意,舍去),故需將這批香菇存放50天后出售.(3)設(shè)利潤(rùn)為w,由題意得w=-3x2+940x+20000-10×2000-340x=-3(x-100)2+30000,因?yàn)閍=-3<0,所以拋物線開(kāi)口方向向下,所以x=100時(shí),w最大=30000,所以李經(jīng)理將這批香菇存放100天后出售可獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是30000元.【內(nèi)化·悟】求二次函數(shù)模型的最值需要關(guān)注哪些方面?提示:需要關(guān)注以下三個(gè)方面:(1)函數(shù)的開(kāi)口方向;(2)對(duì)稱軸;(3)自變量的取值范圍.【類題·通】利用二次函數(shù)求最值的方法及注意點(diǎn)(1)方法:根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立二次函數(shù)模型后,求出函數(shù)的解析式,可利用配方法、判別式法、換元法以及函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值.(2)注意點(diǎn):利用二次函數(shù)求最值時(shí),應(yīng)特別注意取得最值時(shí)的自變量與實(shí)際意義是否相符.【習(xí)練·破】

(2019·南平高一檢測(cè))某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品所得利潤(rùn)分別為P和Q(萬(wàn)元),它們與投入資金m(萬(wàn)元)的關(guān)系有如下公式:P=m+60,Q=70+6,今將200萬(wàn)元資金投入生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,并要求對(duì)甲、乙兩種產(chǎn)品的投入資金都不低于25萬(wàn)元.(1)設(shè)對(duì)乙種產(chǎn)品投入資金x(萬(wàn)元),求總利潤(rùn)y(萬(wàn)元)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域.(2)如何分配投入資金,才能使總利潤(rùn)最大,并求出最大總利潤(rùn).【解析】(1)根據(jù)題意,對(duì)乙種產(chǎn)品投入資金x萬(wàn)元,對(duì)甲種產(chǎn)品投入資金(200-x)萬(wàn)元,那么y=(200-x)+60+70+6=-x+6+230,由解得25≤x≤175,所以函數(shù)的定義域?yàn)閇25,175].(2)令t=,則y=-t2+6t+230=-(t-6)2+248,因?yàn)閤∈[25,175],所以t∈[5,5],當(dāng)t∈[5,6)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)t∈[6,5]時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減,所以當(dāng)t=6時(shí)