福建省三明市泰寧第三中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，表達(dá)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A．-20

B．20

C．-15

D．15參考答案：A2.已知集合，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C3.已知是虛數(shù)單位.若＝，則 A. B.

C. D.參考答案：A4.已知函數(shù)（其中），則下列選項(xiàng)正確的是（）A．，都有

B．，當(dāng)時(shí)，都有

C.，都有

D．，當(dāng)時(shí)，都有參考答案：B因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以舍去C,D因?yàn)?，所以A錯，選B.

5.已知是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，設(shè)則(

)A.

B.C.D.參考答案：知識點(diǎn)：奇函數(shù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)B4B7D解析：因?yàn)椋?，所以c＜a＜b，則選D.【思路點(diǎn)撥】利用函數(shù)的周期性及奇偶性把所給的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間代入已知函數(shù)解析式，即可比較大小.6.如圖是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中,有以下5個(gè)命題：①與垂直；②與平行；③與是異面直線；④與成角；⑤異面直線。其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2

C．3 D．4參考答案：C7.若復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，且，則復(fù)數(shù)（

）A．－1

B．1

C．

D．參考答案：C，所以，故選C.8.已知l、m是兩直線，α是平面，l∥α，m⊥α，則直線l、m的關(guān)系是（）A．l∥m B．l⊥mC．l與m是相交直線 D．l與m是異面直線參考答案：B【考點(diǎn)】LP：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】由線面垂直的性質(zhì)定理及線面平行的性質(zhì)定理得直線l、m的關(guān)系為l⊥m．【解答】解：∵l、m是兩直線，α是平面，l∥α，m⊥α，∴由線面垂直的性質(zhì)定理及線面平行的性質(zhì)定理得直線l、m的關(guān)系為l⊥m．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．9.2019年是新中國成立七十周年，新中國成立以來，我國文化事業(yè)得到了充分發(fā)展，尤其是黨的十八大以來，文化事業(yè)發(fā)展更加迅速，下圖是從2013年到2018年六年間我國公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)（個(gè)）與對應(yīng)年份編號的散點(diǎn)圖（為便于計(jì)算，將2013年編號為1，2014年編號為2，…，2018年編號為6，把每年的公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)個(gè)數(shù)作為因變量，把年份編號從1到6作為自變量進(jìn)行回歸分析），得到回歸直線，其相關(guān)指數(shù)，給出下列結(jié)論，其中正確的個(gè)數(shù)是(

)①公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)與年份的正相關(guān)性較強(qiáng)②公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)平均每年增加13.743個(gè)③可預(yù)測2019年公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)約為3192個(gè)A.0 B.1 C.2 D.3參考答案：D【分析】根據(jù)和確定是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)以及相關(guān)性的強(qiáng)弱；根據(jù)的值判斷平均每年增加量；根據(jù)回歸直線方程預(yù)測年公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù).【詳解】由圖知點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，所以為正相關(guān)，又趨近于1，所以相關(guān)性較強(qiáng)，故①正確；由回歸方程知②正確；由回歸方程，當(dāng)時(shí)，得估計(jì)值為3191.9≈3192，故③正確.故選：D.【點(diǎn)睛】回歸直線方程中的的大小和正負(fù)分別決定了單位增加量以及相關(guān)型的正負(fù)；相關(guān)系數(shù)決定了相關(guān)性的強(qiáng)弱，越接近1相關(guān)性越強(qiáng).10.已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為與x軸恰有一個(gè)交點(diǎn)則使恒成立的實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A∵二次函數(shù)∴∵∴∵與軸恰有一個(gè)交點(diǎn)∴，即.∵恒成立∴恒成立，即.∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號∴故選A.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（為常數(shù)），則

；參考答案：-312.已知命題，，命題，，則

（

）

A.命題是假命題

B.命題是真命題

C.命題是真命題

D.命題是假命題參考答案：C略13.將函數(shù)的圖象沿向量平移后，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)

．參考答案：14.若平面向量=（cosθ，sinθ），=（1，﹣1），且⊥，則sin2θ的值是．參考答案：1

【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】利用向量垂直，就是數(shù)量積為0，求出cosθ﹣sinθ=0，兩邊平方，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的正弦函數(shù)公式可求sin2θ的值．【解答】解：因?yàn)椤?，所?=0，即：cosθ﹣sinθ=0，兩邊平方可得：cos2θ﹣2sinθcosθ+sin2θ=0，可得：1﹣sin2θ=0，解得：sin2θ=1．故答案為：1．15.__________參考答案：1

知識點(diǎn)：三角恒等變形

難度：1.16.在工程技術(shù)中，常用到雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)，雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)與我們學(xué)過的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有許多相類似的性質(zhì)，請類比正、余弦函數(shù)的和角或差角公式，寫出關(guān)于雙曲正弦、雙曲余弦函數(shù)的一個(gè)正確的類似公式

．參考答案：填入，，，四個(gè)之一即可．略17.已知，，那么

；參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)． （Ⅰ）已知曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，求實(shí)數(shù)的值； （Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性； （Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，求證：對于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有．參考答案：略19.已知橢圓過點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程，并求其離心率；（2）過點(diǎn)P作x軸的垂線l，設(shè)點(diǎn)A為第四象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上（點(diǎn)A不在直線l上），點(diǎn)A關(guān)于l的對稱點(diǎn)為，直線與C交于另一點(diǎn)B．設(shè)O為原點(diǎn)，判斷直線AB與直線OP的位置關(guān)系，并說明理由．參考答案：（1）見解析；（2）見解析．（1）由橢圓方程橢圓過點(diǎn)，可得．∴，∴橢圓的方程為，離心率．（2）直線與直線平行．證明如下：設(shè)直線，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，由得，∴，∴，同理，∴，由，，有，∵在第四象限，∴，且不在直線上．∴，又，故，∴直線與直線平行．20.（本小題滿分12分）2014年“雙節(jié)”期間，高速公路車輛較多。某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，將他們在某段高速公路的車速（km/t）分成六段：后得到如圖的頻率分布直方圖．（1）求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值.(2)若從車速在的車輛中任抽取2輛，求車速在的車輛恰有一輛的概率.參考答案：(1)77.5(2)【知識點(diǎn)】隨機(jī)抽樣；古典概型.I1K2解析：（1）眾數(shù)的估計(jì)值為最高的矩形的中點(diǎn)，即眾數(shù)的估計(jì)值等于

……2分設(shè)圖中虛線所對應(yīng)的車速為，則中位數(shù)的估計(jì)值為：，解得即中位數(shù)的估計(jì)值為

………5分（2）從圖中可知，車速在的車輛數(shù)為：（輛），………6分車速在的車輛數(shù)為：（輛）

………7分

設(shè)車速在的車輛設(shè)為，車速在的車輛設(shè)為，則所有基本事件有：共15種

………………

10分其中車速在的車輛恰有一輛的事件有：共8種

………11分所以，車速在的車輛恰有一輛的概率為.

………………12分?！舅悸伏c(diǎn)撥】（1）選出直方圖中最高的矩形求出其底邊的中點(diǎn)即為眾數(shù)；求出從左邊開始小矩形的面積和為0.5對應(yīng)的橫軸的左邊即為中位數(shù)；利用各個(gè)小矩形的面積乘以對應(yīng)矩形的底邊的中點(diǎn)的和為數(shù)據(jù)的平均數(shù)．（2）從圖中可知，車速在[60，65）的車輛數(shù)和車速在[65，70）的車輛數(shù)．從車速在（60，70）的車輛中任抽取2輛，設(shè)車速在[60，65）的車輛設(shè)為a，b，車速在[65，70）的車輛設(shè)為c，d，e，f，列出各自的基本事件數(shù)，從而求出相應(yīng)的概率即可．21.（本小題滿分13分）某校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖4所示，其中成績分組區(qū)間是：，，，，.

（1）求圖中的值；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語文成績的平均分；（3）若這100名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（）與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（）之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績在之外的人數(shù).分?jǐn)?shù)段

參考答案：（1）依題意得，，解得。（2）這100名學(xué)生語文成績的平均分為：（分）。（3）數(shù)學(xué)成績在的人數(shù)為：，數(shù)學(xué)成績在的人數(shù)為：，數(shù)學(xué)成績在的人數(shù)為：，數(shù)學(xué)成績在的人數(shù)為：

所以數(shù)學(xué)成績在之外的人數(shù)為：。

22.已知函數(shù)f(x)=-ax(a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若a=1，函數(shù)g(x)=(x-m)f(x)-+x2+x在區(qū)間（0，+）上為增函數(shù)，求整數(shù)m的最大值.參考答案：解：（Ⅰ）定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)；………………