第20講雙曲線高考6大?？蓟A(chǔ)題型總結(jié)【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)二：雙曲線的通徑過雙曲線的焦點(diǎn)且與雙曲線實(shí)軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通徑．通徑長為SKIPIF1<0．考點(diǎn)三：雙曲線?？夹再|(zhì)結(jié)論①雙曲線的焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)SKIPIF1<0；頂點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)SKIPIF1<0;②雙曲線上的任意點(diǎn)SKIPIF1<0到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)SKIPIF1<0；考點(diǎn)四：雙曲線焦點(diǎn)三角形面積為SKIPIF1<0（可以這樣理解，頂點(diǎn)越高，張角越小，分母越小，面積越大）【題型目錄】題型一：利用雙曲線定義解題題型二：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題型三：雙曲線焦點(diǎn)三角形面積題型四：雙曲線的漸近線有關(guān)題型題型五：雙曲線的離心率問題題型六：雙曲線的最值問題【典型例題】題型一：利用雙曲線定義解題【例1】已知雙曲線SKIPIF1<0的左右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，一條漸近線方程為SKIPIF1<0，若點(diǎn)SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)已知條件求出SKIPIF1<0的值，再利用雙曲線的定義可求得SKIPIF1<0.【詳解】解：雙曲線C的漸近線方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由雙曲線定義可知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故選：A．【例2】已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【分析】利用雙曲線的定義及余弦定理求解得答案.【詳解】在雙曲線SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0【例3】已知雙曲線，點(diǎn)為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若，則的值為．【答案】【解析】由雙曲線的方程可知【例4】已知曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，下列說法正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則曲線SKIPIF1<0為橢圓B．若SKIPIF1<0，則曲線SKIPIF1<0為雙曲線C．若曲線SKIPIF1<0為焦點(diǎn)在SKIPIF1<0軸的橢圓，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0為雙曲線，則漸近線方程為SKIPIF1<0【答案】BD【分析】根據(jù)橢圓及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可判斷ABC，由雙曲線的性質(zhì)可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，滿足SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0不為橢圓，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程知，SKIPIF1<0是雙曲線，故正確；對(duì)于C，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，若表示焦點(diǎn)在SKIPIF1<0軸的橢圓，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，若SKIPIF1<0為雙曲線，則由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即雙曲線的漸近線方程為SKIPIF1<0，故正確.故選：BD【題型專練】1.設(shè)雙曲線SKIPIF1<0的左焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為雙曲線右支上的一點(diǎn)，且SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】B【分析】依題意作出曲線圖形，點(diǎn)P在雙曲線右支上，由雙曲線定義，可得|MN|﹣|MO|=SKIPIF1<0丨PF丨﹣3﹣SKIPIF1<0丨PF2丨=SKIPIF1<0（丨PF丨﹣丨PF2丨）﹣3=SKIPIF1<0×2a﹣3=1.【詳解】由題意可知：雙曲線SKIPIF1<0焦點(diǎn)在x軸上，a=4，b=3，c=5，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)F2（5，0），左焦點(diǎn)F（﹣5，0），由OM為△PFF1中位線，則丨OM丨=SKIPIF1<0丨PF2丨，由PF與圓x2+y2=16相切于點(diǎn)N，則△ONF為直角三角形，∴丨NF丨2=丨OF丨2﹣丨ON丨2=25﹣16=9，則丨NF丨=3，∴丨MN丨=丨MF丨﹣丨NF丨=丨MF丨﹣3，由丨MF丨=SKIPIF1<0丨PF丨，∴|MN|﹣|MO|=SKIPIF1<0丨PF丨﹣3﹣SKIPIF1<0丨PF2丨=SKIPIF1<0（丨PF丨﹣丨PF2丨）﹣3=SKIPIF1<0×2a﹣3=1，∴|MN|﹣|MO|=1，故選：B．2.已知F1、F2分別為雙曲線C:SKIPIF1<0-SKIPIF1<0=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A為C上一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，0)，AM為∠F1AF2的角平分線．則|AF2|=.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用角平分線定理及雙曲線的定義求解得答案.【詳解】在雙曲線SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<03.方程SKIPIF1<0表示雙曲線的一個(gè)充分不必要條件是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】求得方程SKIPIF1<0表示雙曲線的充要條件，從而確定正確答案.【詳解】由于方程SKIPIF1<0表示雙曲線，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以在ABCD四個(gè)選項(xiàng)中，方程SKIPIF1<0表示雙曲線的一個(gè)充分不必要條件是SKIPIF1<0.故選：B、題型二：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】與橢圓SKIPIF1<0共焦點(diǎn)且過點(diǎn)SKIPIF1<0的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用雙曲線的定義可求得SKIPIF1<0的值，再由SKIPIF1<0可求得SKIPIF1<0的值，結(jié)合雙曲線的焦點(diǎn)位置可求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】橢圓SKIPIF1<0的焦點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0，由雙曲線的定義可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，雙曲線的方程為SKIPIF1<0.故選：C.【例2】已知圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0的垂直平分線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，則當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用圓的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：因?yàn)榫€段SKIPIF1<0的垂直平分線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，由圓SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，該圓的半徑SKIPIF1<0，因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，所以有SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為焦點(diǎn)的雙曲線，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0.故選：B．【例3】已知雙曲線H：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的虛半軸長為半徑的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A、B、C、D四點(diǎn)，四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則雙曲線的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線在第一三象限的漸近線傾斜角正切，再結(jié)合四邊形面積求解作答.【詳解】雙曲線H：SKIPIF1<0的漸近線方程為：SKIPIF1<0，令直線SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由對(duì)稱性不妨令點(diǎn)SKIPIF1<0分別在第一、四象限，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，則SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，而雙曲線的虛半軸長為3，即SKIPIF1<0，顯然四邊形SKIPIF1<0為矩形，其面積SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以雙曲線的方程為SKIPIF1<0.故選：B【例4】已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)M在雙曲線C的右支上，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0與C的一條漸近線l垂直，垂足為N，且SKIPIF1<0，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用中位線的性質(zhì)得到SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式得到SKIPIF1<0，最后再直角三角形SKIPIF1<0中利用勾股定理列方程得到SKIPIF1<0，即可得到雙曲線方程.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，直線l的方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中利用勾股定理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.故選：C.【題型專練】1．已知雙曲線的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離為2，焦點(diǎn)在SKIPIF1<0軸上，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為SKIPIF1<0，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線定點(diǎn)的定義，求得SKIPIF1<0，設(shè)出雙曲線方程，寫出漸近線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式，建立方程，可得答案.【詳解】由題意得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)雙曲線的方程為SKIPIF1<0，焦點(diǎn)SKIPIF1<0到其漸近線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，雙曲線方程為SKIPIF1<0，綜上，雙曲線的方程為SKIPIF1<0．故選：B．2．已知雙曲線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則雙曲線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由題意可知SKIPIF1<0，求解即可【詳解】由題意可知雙曲線方程為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以雙曲線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0，故選：B3．已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0的垂直平分線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，則當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用圓的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榫€段SKIPIF1<0的垂直平分線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，該圓的半徑為SKIPIF1<0，因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，所以有SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為焦點(diǎn)的雙曲線，所以SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0，故選：D4.已知雙曲線方程為SKIPIF1<0，焦距為6，則k的值為________.【答案】SKIPIF1<0【分析】由雙曲線焦距可得SKIPIF1<0，討論焦點(diǎn)在x軸、y軸上，結(jié)合SKIPIF1<0求k值即可.【詳解】由焦距為6，知：SKIPIF1<0，若焦點(diǎn)在x軸上，則方程可化為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得k=6；若焦點(diǎn)在y軸上，則方程可化為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即k=-6.綜上所述，k值為6或-6.故答案為：±6.5．（2022·重慶·三模）已知雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，左右頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交雙曲線C的右支于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)直線SKIPIF1<0繞著SKIPIF1<0轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，下列量保持不變的是（

）A．SKIPIF1<0的周長 B．SKIPIF1<0的周長與SKIPIF1<0之差C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BD【解析】【分析】如圖所示：當(dāng)直線SKIPIF1<0的傾斜角越小時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0的周長越大，可判斷A，根據(jù)雙曲線定義求解可判斷B，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0根據(jù)商與積的值可判斷CD．【詳解】如圖所示：當(dāng)直線SKIPIF1<0的傾斜角越小時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0的周長越大，故A不正確；SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的周長與SKIPIF1<0之差為SKIPIF1<0，故B正確；設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0不是常量，故C不正確；由SKIPIF1<0為常量，故D正確；故選：BD題型三：雙曲線焦點(diǎn)三角形面積【例1】設(shè)雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0．若△SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【思路導(dǎo)引】根據(jù)雙曲線的定義，三角形面積公式，勾股定理，結(jié)合離心率公式，即可得出答案．【解析】解法一：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)雙曲線的定義可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選A．解法二：由題意知，雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積為SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0=4，則SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．解法三：設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求的SKIPIF1<0．【例2】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是雙曲線C：SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)，M，N是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0的面積是______．【答案】72【分析】判斷四邊形SKIPIF1<0為矩形，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，結(jié)合雙曲線定義可得SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，即可求得四邊形SKIPIF1<0的面積.【詳解】由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，因?yàn)镸，N是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為矩形，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由雙曲線的定義可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0,故答案為：72【題型專練】1．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是雙曲線C：SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且位于第一象限，SKIPIF1<0，則（

）A．P的縱坐標(biāo)為SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的面積為4【答案】ABD【分析】結(jié)合SKIPIF1<0、雙曲線的定義、三角形的面積和周長等知識(shí)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由雙曲線的定義可得SKIPIF1<0①，兩邊平方得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，D正確.設(shè)P的縱坐標(biāo)為h，SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，A正確.SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0②，SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0，C錯(cuò)誤.①＋②可得SKIPIF1<0，B正確.故選：ABD2.設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0的兩個(gè)焦點(diǎn)，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上且SKIPIF1<0，則△SKIPIF1<0的面積為（）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】B【解析】由已知，不妨設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴點(diǎn)SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為直徑的圓上，[來源：Z．xx．k．Com]即SKIPIF1<0是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選B．題型四：雙曲線的漸近線有關(guān)題型焦點(diǎn)在SKIPIF1<0軸上的漸近線為SKIPIF1<0焦點(diǎn)在SKIPIF1<0軸上的漸近線為SKIPIF1<0若雙曲線的方程為SKIPIF1<0，要求漸近線只需令SKIPIF1<0，解出即可即已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程?！纠?】雙曲線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有相同的（

）A．離心率 B．漸近線 C．實(shí)軸長 D．焦點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線方程判斷焦點(diǎn)在SKIPIF1<0軸上，并求SKIPIF1<0，進(jìn)而確定離心率SKIPIF1<0、漸近線SKIPIF1<0、實(shí)軸長SKIPIF1<0和焦點(diǎn)SKIPIF1<0．【詳解】對(duì)于雙曲線SKIPIF1<0可得：焦點(diǎn)在SKIPIF1<0軸上，SKIPIF1<0則離心率SKIPIF1<0，漸近線SKIPIF1<0，實(shí)軸長SKIPIF1<0，焦點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)于雙曲線SKIPIF1<0可得：焦點(diǎn)在SKIPIF1<0軸上，SKIPIF1<0則離心率SKIPIF1<0，漸近線SKIPIF1<0，實(shí)軸長SKIPIF1<0，焦點(diǎn)SKIPIF1<0∴ABC錯(cuò)誤，D正確故選：D．【例2】雙曲線SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，則其漸近線方程為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)離心率得SKIPIF1<0關(guān)系，進(jìn)而得SKIPIF1<0關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果．試題解析：SKIPIF1<0．∵漸近線方程為SKIPIF1<0漸近線方程為SKIPIF1<0，故選A．【名師點(diǎn)睛】已知雙曲線方程SKIPIF1<0求漸近線方程：SKIPIF1<0．【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（離心率、漸近線方程）【例3】設(shè)雙曲線SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，且與SKIPIF1<0具有相同漸近線，則SKIPIF1<0的方程為________；漸近線方程為________．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】設(shè)與SKIPIF1<0具有相同漸近線的雙曲線C的方程為SKIPIF1<0，將點(diǎn)SKIPIF1<0代入C的方程中，得SKIPIF1<0．∴雙曲線的方程為SKIPIF1<0，漸近線方程為SKIPIF1<0．【例4】已知雙曲線SKIPIF1<0的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B到雙曲線同一條漸近線的距離分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則雙曲線的方程為 （）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，不妨設(shè)：SKIPIF1<0，雙曲線的一條漸近線方程為：SKIPIF1<0，據(jù)此可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，雙曲線的離心率：SKIPIF1<0，據(jù)此可得：SKIPIF1<0，則雙曲線的方程為SKIPIF1<0，故選C．【例5】設(shè)雙曲線SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)在雙曲線SKIPIF1<0上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】設(shè)雙曲線左焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在雙曲線右支，根據(jù)對(duì)稱性知四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0，根據(jù)雙曲線的定義可推得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，可知四邊形為矩形，根據(jù)勾股定理得到SKIPIF1<0的關(guān)系式，進(jìn)而得到SKIPIF1<0的關(guān)系式，即可求出漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線左焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在雙曲線右支，根據(jù)對(duì)稱性知四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形.由已知可得SKIPIF1<0，又由雙曲線的定義知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是矩形，所以SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以，雙曲線的漸近線方程為SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0.故選：A.【題型專練】1.（2022·全國·高考真題（理））若雙曲線SKIPIF1<0的漸近線與圓SKIPIF1<0相切，則SKIPIF1<0_________．【答案】SKIPIF1<0【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可．【詳解】解：雙曲線SKIPIF1<0的漸近線為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，依題意圓心SKIPIF1<0到漸近線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）．故答案為：SKIPIF1<0．2.已知雙曲線SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由題意可得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0可求出答案.【詳解】由雙曲線SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：B．3.設(shè)SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0的左，右焦點(diǎn)，SKIPIF1<0是坐標(biāo)原點(diǎn)．過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的一條漸近線的垂線，垂足為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的離心率為 （）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】試題分析：由雙曲線性質(zhì)得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后在SKIPIF1<0和在SKIPIF1<0中利用余弦定理可得．試題解析：由題可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選C．4.已知雙曲線SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在雙曲線的漸近線上，SKIPIF1<0是邊長為2的等邊三角形（SKIPIF1<0為原點(diǎn)），則雙曲線的方程為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故雙曲線方程為SKIPIF1<0，故選D．5.已知雙曲線過點(diǎn)，且漸近線方程為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】SKIPIF1<0【解析】∵雙曲線的漸近線方程為，故可設(shè)雙曲線的方程為SKIPIF1<0，又雙曲線過點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故雙曲線的方程為SKIPIF1<0．題型五：雙曲線的離心率問題【例1】已知橢圓SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）與雙曲線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）具有相同焦點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是它們的一個(gè)交點(diǎn)，則SKIPIF1<0，記橢圓去雙曲線的離心率分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由橢圓和雙曲線的定義以及余弦定理解得SKIPIF1<0，再由“1”的代換和基本不等式求得結(jié)果.【詳解】設(shè)P為第一象限的交點(diǎn)，SKIPIF1<0則由橢圓和雙曲線的定義可知，SKIPIF1<0∴在△SKIPIF1<0中由余弦定理得：SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，取得最小值為3.故選：B.【例2】雙曲線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0有共同的焦點(diǎn)SKIPIF1<0，雙曲線左焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是雙曲線右支一點(diǎn)，過SKIPIF1<0向SKIPIF1<0的角平分線作垂線，垂足為SKIPIF1<0，則雙曲線的離心率是（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由拋物線的方程得焦點(diǎn)SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于點(diǎn)SKIPIF1<0，由角平分線的性質(zhì)得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，由中位線的性質(zhì)得SKIPIF1<0，根據(jù)雙曲線的定義求得SKIPIF1<0，由雙曲線的離心率公式即可得到答案.【詳解】由拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于點(diǎn)SKIPIF1<0SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線，SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由雙曲線的定義得SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0SKIPIF1<0故雙曲線的離心率為SKIPIF1<0故選：A.【例3】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是雙曲線C：SKIPIF1<0)的左、右焦點(diǎn)，過SKIPIF1<0的直線與雙曲線C的右支相交于P、Q兩點(diǎn)，且PQ⊥SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則雙曲線C的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由雙曲線的定義可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0，即可求得離心率的值.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，由雙曲線的定義可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，所以雙曲線的離心率SKIPIF1<0.故選：B.【例4】已知雙曲線SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作一條漸近線的垂線，垂足為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的重心SKIPIF1<0在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】依次求出點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐標(biāo)，然后由點(diǎn)SKIPIF1<0在雙曲線上可建立方程求解.【詳解】不妨設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0在雙曲線上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選：B.【例5】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為雙曲線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的左、右焦點(diǎn)，A為雙曲線的左頂點(diǎn)，以SKIPIF1<0為直徑的圓交雙曲線的某條漸近線于M，N兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0，（如圖），則該雙曲線的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】先求出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用余弦定理，求出a,c之間的關(guān)系，即可得了雙曲線的離心率.【詳解】解：不妨設(shè)圓與SKIPIF1<0相交，且點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以由余弦定理得：SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A【題型專練】1．過雙曲線SKIPIF1<0內(nèi)一點(diǎn)SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的直線交雙曲線于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，弦SKIPIF1<0恰好被SKIPIF1<0平分，則雙曲線SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】設(shè)SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程相減，再結(jié)合SKIPIF1<0的關(guān)系，可得SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0，從而可得答案.【詳解】解：由題意可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.2．已知雙曲線SKIPIF1<0，左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為右支上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，O到直線SKIPIF1<0的距離為b，則雙曲線C的離心率為（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用已知條件及圖像用兩種方式求出SKIPIF1<0，建立關(guān)于SKIPIF1<0的等式，結(jié)合SKIPIF1<0及雙曲線離心率SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)方程，解出即可.【詳解】如圖所示：由SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0為右支上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，在雙曲線中：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由三角形的性質(zhì)有：SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為b，且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中位線，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，由雙曲線的定義有：SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，②聯(lián)立①②解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：B.3．已知雙曲線SKIPIF1<0的左右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線與曲線SKIPIF1<0的左右兩支分別交于點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則曲線C的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】設(shè)SKIPIF1<0，進(jìn)而結(jié)合雙曲線的定義得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進(jìn)而在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0結(jié)合余弦定理求得SKIPIF1<0，進(jìn)而得SKIPIF1<0，再求離心率即可.【詳解】解：如圖，設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，由雙曲線的定義得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故選：B4．若雙曲線SKIPIF1<0的一條漸近線被圓SKIPIF1<0所截得的弦長為SKIPIF1<0，則C的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．3【答案】C【分析】通過圓的圓心與雙曲線的漸近線的距離，列出關(guān)系式，然后求解雙曲線的離心率即可．【詳解】解：雙曲線SKIPIF1<0的一條漸近線不妨為：SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0，半徑為：2，雙曲線SKIPIF1<0的一條漸近線被圓SKIPIF1<0所截得的弦長為2SKIPIF1<0，可得圓心到直線的距離為：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故選：C．5．已知SKIPIF1<0分別為雙曲線SKIPIF1<0的左?右焦點(diǎn)，過SKIPIF1<0的直線與雙曲線交左支交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓經(jīng)